正方形的性质与判定－教材习题解答.doc

随堂练习(教材第24页)(1)已知:如图(1)所示,四边形ABCD是菱形,且ABC90.求证:四边形ABCD是正方形.证明:连接BD,四边形ABCD是菱形,BD平分ABC,ABD45,在菱形ABCD中,ABAD,ADBABD45,BAD90,同理,可证BCD90,菱形ABCD也为矩形,四边形ABCD是正方形.(2)已知:如图(2)所示,四边形ABCD是矩形,且ACBD,垂足为点O.求证:四边形ABCD是正方形.证明:四边形ABCD是矩形,ODOB.又ACBD,ABAD,同理,ABBCCD,矩形ABCD也为菱形,四边形ABCD是正方形.习题1.8(教材第25页)1.已知:如图所示,四边形ABCD是菱形,AC,BD相交于点O,且ACBD.求证:四边形ABCD是正方形.证明:四边形ABCD是菱形,四边形ABCD也是平行四边形,又ACBD,四边形ABCD也为矩形,四边形ABCD是正方形.2.证明:连接AC交BD于点O,四边形ABCD是正方形,OAOC,ODOB,ACBD,又BEDF,OFOE,四边形AECF是菱形.3.解:四边形EFGH是正方形.证明如下:在正方形ABCD中,ABBCCDAD,ABCD90,AEBFCGDH,BECFDGAH,EAHFBEGCFHDG,HEEFFGGH,AEHBFE,四边形EFGH是菱形.在RtBEF中,BFEFEB90,AEHFEB90,HEF90,四边形EFGH是正方形.4.解:重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的14.证明如下:重叠部分为等腰直角三角形时,重叠部分的面积为正方形ABCD面积的14,即SAOBSBOCSCODSAOD14S正方形ABCD.重叠部分为四边形时,如图所示,设OA与AB相交于点E,OC与BC相交于点F.四边形ABCD是正方形,OAOB,EAOFBO45,AOBD.又AOE90-EOB,BOF90-EOB,AOEBOF,AOEBOF.SAOESBOESBOFSBOE,SAOBS四边形EBFO.又SAOB14S正方形ABCD,S四边形EBFO14S正方形ABCD.复习题(教材第26页)1.解:设该菱形为菱形ABCD,两对角线交于点O,则AOB为直角三角形,直角边长分别为2 cm和4 cm,则由勾股定理,得ABOA2OB2224225(cm),即菱形的边长为25 cm.2.解:四边形ABCD是正方形.理由如下:由OAOBOCOD易证得四边形ABCD是矩形.又OAOB22AB,OA2OB2AB2,AOB90,四边形ABCD是正方形.3.解:不一定,还有可能是矩形.4.已知:如图所示,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC60 cm,周长为200 cm.求:(1)BD的长;(2)菱形的面积.解:(1)因为菱形四边相等,对角线互相垂直平分,所以AB1420050(cm),ACBD且OAOC12AC126030(cm),OBOD.在RtAOB中,OBAB2-AO2502-30240(cm).所以BD2OB80 cm.(2)S菱形ABCD12ACBD1260802400(cm2).5.已知:如图所示,在四边形ABCD中,对角线ACBD,且ACBD,E,F,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFPQ为正方形.证明:E,Q分别为AB,AD的中点,EQ12BD.同理FP12BD,EF12AC.EQFP.四边形EFPQ为平行四边形.ACBD,EFEQ.EFPQ为菱形.ACBD,EFEQ.QEF90.菱形EFPQ是正方形.6.解:四边形ABCD是正方形,ADEC,DAC45,DAEE.ACCE,ECAE.CAEDAE,DAE12DAC124522.5.7.解:(1)是正方形.因为此菱形的对角线相等,对角线相等的菱形是正方形.(2)是正方形.因为此四边形的对角线互相垂直、平分且相等,所以这个四边形是正方形.8.证明:DEAF,DFAE,四边形AEDF是平行四边形.AEDF,EADADF.AD平分BAC,EADDAF,ADFDAF,AFDF,四边形AEDF是菱形.9.证明:如图所示,BEAC,ME为RtBEC的中线,ME12BC.同理,MF12BC,MEMF.10.已知四边形ABCD是正方形,对角线ACBDl.求正方形的周长和面积.解:在正方形ABCD中,ABBC,ABC90.在RtABC中,AB2BC2AC2,2AB2l2,所以AB22l.所以正方形的周长为4AB422l22l,S四边形ABCDAB222l212l2.11.证明:PCOD,PDOC,四边形CODP是平行四边形,四边形ABCD是矩形,ODOC.平行四边形CODP是菱形.12.证明:四边形ABCD是矩形,OAOBOCOD,AMBPCNDQ,OMOPONOQ,四边形MPNQ是平行四边形,MNPQ,四边形MPNQ是矩形.13.证明:由题意得ACBCEDDFC90,四边形CEDF是矩形,CD平分ACB,ECD45,EDC45,CEED.矩形CEDF是正方形.14.解:由题意得AP4t cm,DQ(20-t) cm,当四边形APQD为矩形时,则APDQ,即4t20-t,t4.15.解:重叠部分是等腰三角形.理由如下:由折叠可知DBCDBF,又在矩形ABCD中,ADBC,DBCADB,DBFADB,BFD是等腰三角形.16.解:由题意知矩形ABCD矩形FGCE,ABFG,BCGC,ACFC,ABCFGC,ACBFCG.ACBACD90,FCGACD90,即ACF90.ACCF,ACF是等腰直角三角形.AFC45.17.提示:小颖的这块纱巾不一定是正方形.根据老板的方法,只能说明这块纱巾的两组对角分别相等,四条边都相等,这只能保证纱巾是菱形,并不能保证它是正方形.正方形的对称轴共有四条,除了两条对角线所在的直线外,还有两条是两组对边中点所在的直线.所以只要拉起一组对边的中点将纱巾对折,看另一组对边是否重合.若另一组对边不能重合,那么此纱巾不是正方形;若另一组对边能重合,那么此纱巾一定是正方形.18.证明:ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,H,CDFADF,DCFBCF,又在ABCD中,ADBC,ADCBCD180,CDFFCD90,F90,同理,HHEFHGF90,四边形EFGH是矩形.19.提示:如图所示.20.提示:举例如下:四边形平行四边形正方形21.已知线段a,b.