【毕业学位论文】（Word原稿）初中数学几何变换思想的教学策略的研究-学科教学•数学

分类号： 单位代码： 10636 密 级： 公开 学 号： 专业学位硕士论文 中文论文题目 ： 初中数学几何变换思想的教学策略的研究 英文论文题目： of 论文作者 ： 胡荣萍 指导 教师 ： 张红、李昌勇 专业学位类别 ： 教育硕士 专业领域 ： 学科教学数学 论文形式： 教学研究 所在学院： 数学与软件科学学院 论文提交 日期 ： 2013 年 3 月 20 日 论文答辩日期 ： 年 月 日 川师范大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交学位论文 初中数学几何变换思想的教学策略的研究 ，是本人在导师 张红、李昌勇 指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律结果由本人承担。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而引起的学术声誉上的损失由本人自负。 学位论文作者： 签字日期： 年 月 日 四川师范大学学位论文版权使用授权书 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管 理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥有学位论文的部分使用权，即： 1）已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷版和电子版学位论文， 可以 将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 供 检索； 2）为教学、 科研 和学术交流 目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在 有关 网 络 上供阅读、浏览。 本人授权万方数据电子出版社将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。同意按相关规定享受相关权益。 （保密的学位论文在解密后 适用本授权书） 学位论文作者签名： 导师签名： 签字日期： 年 月 日 签字日期： 年 月 日 四川师范大学硕士学位论文 I 初 中数学 几何 变换 思想的教学策略的 研究 教育硕士 学科教育（数学）专业 摘要 ： 本文立足于变换思想对自然科学、现实生活的重要影响以及 现行的九年制义务教育数学课程标准 （ 2011 版 ）中 关于 几何 变换 的 思想方法 要求 ， 以 几何 变换思想方法为主线，以 初中 学生和教师对 几何变换思想的理解与认 识为研究对象，应用教育学与心理学的相关理论知识，剖析学生和教师对 几何 变换思想方法 理 解 和研究 ， 深入 挖掘 几何变换作为 理解层次的内涵， 深入 探究 初中数学 几何 变换思想 的 知识点 所包含 的数 学方法 与数学思想 ， 深入 研究 初中 学生的 对几何变换思想的 认知规律，让 初中学生学会感受数学文化 ，潜移默化地受到 几何变换思想方法的熏陶，从而 在生活中 主动地运用 几何 变换的思想方法解答具有变换性的 初 中数学 问题 。 论文共分 为 五章。 第一章 绪论，主要内容为研究背景和研究意义，国内外研究的现状，由此提出本文的研究目标，研究内容和研究方法。 第 二章 主要寻找变换思想的理论依据，为研究提供依据，揭示研究的必要性和理论支撑。 第三章 中学生对变换思想 的理解与认识 存在的现状分析 。 第四章 克服初中生变换概念理解困难的教学对策 。 四川师范大学硕士学位论文 五章 初中几何变换思想的意义 。 关键词 ： 初中数学；几何变换； 数学 思想； 教学设计； 教学策略 四川师范大学硕士学位论文 of on to an on (2011 to of of of of of of on of of of as of of of of of of to to by of to of of to is 四川师范大学硕士学位论文 he of of at of of of of to V, to to , of 次 V 目 次 摘要 I 第一章 绪论 1 学变换思想的作用 1 课标对中学数学变换思想的要求 1 内外相关研究简介 1 外变换思想研究举例 1 代国内关于变换的思想研究举例 4 换的概念界定 5 究的目标 6 第二章 研究的理论基础 7 于数学理解的理论 7 于建构主义的学习理论 7 于元认知理论 8 第三章 目前初中学生认识变换思想的现状暨原因分析 10 究方法 10 卷的设计 10 卷的信度 10 试的选取 10 卷调查 10 卷的统计方法 10 卷调查的统计与分析 11 中学生对几何变换认知发展的总体分析 11 中学生对几何变换的几类变换的定义的理解 11 中学生对几何变换思想的应用水平 13 谈结果的统计与分析 14 调查结果的反思 16 二学生对初中数学平面几何的不自信 16 生对几何变换的本质特征认识不清楚 16 生在生活中用到的变换思想较少 16 中生变换概念理解困难的原因分析 16 第四章 克服初中生变换概念理解困难的教学策略 18 四川师范大学硕士学位论文 初中几何变换从本质上加以理解 18 形的轴对称变换 18 形的平移变换 24 形的旋转变换 25 初中几何教学中的教学策略 29 学生熟悉的事物引入变换教学 29 鉴变换概念发展的历史 30 强元认知教学，培养学生主动学习 31 概念的实质加深理解 32 第五章 中学数学中几何变换思想对中学数学的影响 33 换思想对教学的影响 33 换思想的意义 35 换思想在解题中的重要作用 35 2 变换思想对学生的思维的促进作用 38 换思想对生活的指导作用 40 换思想在数学中体现的美学作用 40 参考文献 41 附录 43 致谢 45 绪论 1 第一章 绪论 学变换思想的 作用 数学是中国古代科学中一门重要的学科， 数学变换思想在历史的长河中扮演着重要的角色， 在周代， 周武王和 周文王 父子 把 伏羲所演绎的八卦发展成了 六十四卦。周 髀算经 中所 提到 “ 环矩可以为圆 ” ， 这 些 都 具有 变换思想的影子。 近现代， 大量数学变换成了数学学科的研究对象和研究工具，比如高等几何中的 仿射变换、射影变换 ；高等代数中的正交变换、相似变换；微分方程中的欧拉变换、拉普拉斯变换等。 其他学科对变换的要求与运用也相当普遍，在物理学中，出现了许多的变换思想，如傅里叶变换、 热力学统计物理中的 换 ，物理中 与 的变换， 地球物理中的 换 ， 地球物理中的 换 。 在化学中， 小波变换在分析化学信号处理中 起到了非常重要 的应用 ， 傅 里叶变换成像光谱技术在化学战剂遥测中的应用 也非常广泛。 在生物医学中，变换也起作非常重要的作用，连续小波 变换在生物医学信号处理中的应用，傅立叶变换红外光谱及其图像技术在生物医学中的应用，图像灰度 、 色度信息的灰度 、 色度统计非线性变换理论在生物医学中的应用。 课标对中学数学变换思想的要求 现行的九年制义务教育数学课程标准 (2011 年修订 版 )中关于几何变换思想方法，对初中学生提出了明确的要求 ， 要求掌握 如下四种几何变换 ： （ 1）图形的轴对称（ 2）图形的平移（ 3）图形的旋转（ 4）图形的相似 ，这些学习将 着重研究几何图形的变换。 介 外变换思想研究举例 勒斯的 变换 思想 泰勒斯 ( 公元前 7 至 6 世纪的古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，希腊最早的哲学学派 米利都学派（也称爱奥尼亚学派）的创始人。“科学和哲学之祖 ”，泰勒斯是古希腊及西方第一个有记载有名字留 下来 的 伟大的数学家，在数学领域，命题的证明是由他率先引入的，这种证明的引入，使人们认识事物从经验上升到理论。接下来就 泰勒斯的 几何 变换 思想在 初中 数学中的体现 具 体的 几个例子 。 中华人 民共和国教育部制定九年制义务教育数学课程标准（ 2011 年修订搞） S 北京 :北京师范大学出版社 ,2012 年 四川师范大学硕士学位论文 2 (1)金字塔 高度 的估 测 泰勒斯 为了测得金字塔的高度，通过研究，他发现 我们人的身高和人的影子具有某种关系，而这种关系可以类比到金字塔和它的影子的关系，其实，这正是几何变换中的相似变换。利用这种关系，是有可能测出金字塔的高度的。在后来，一些数学家对他的这种估测金字塔的高度的方法进行了研究 ，得出了两种可能性。第一种可能是，在某种特定的环境下， 人的身高和影子一样长，那么，金字塔和他的 影子也应该是一样长，测量出金字塔的影子 就能量出金字塔的高； 这正是几何变换下的一种恒等变换。 另一种 可能 是应用比例原理，不受时间所限， 在任何时刻，人的影子和人 的身高之比是等于金字塔的影子和金字塔的高度之比 ， 这正是射影变换下的对应边比例的不变性， 是相似变换的体现。而这种相似变换 ，则是 我们初中学生在八年级下的学习中所要学习的相似，是初中几何中的重点内容，在这章的学习中，学生要通过具体的实例理解生活中的相似模型 ，借助相似比原理解决生活中无法直接测量的问题。但是不管我们现在怎 么认为都无法否认 泰勒斯的 变换思想。 (2)泰勒斯 的几何 命题 中的变换思想 ： 等腰三角形两底角相等。 今天，我们明白，等腰三角形是关于顶角的角平分线（或者底边的中垂线、底边上的高）所在的直线为对称轴的 轴对称图形 。 也能看成是一个直角三角形绕直角边翻折而成，这正是轴对称变换的体现。 只是泰勒斯本人没有把对称轴明示出来。 但他的发现为后人的研究指明了方向。 圆的直径将圆平分。 在今天初中学生所学的任何一种版本的教材中，都明确写到 :“圆关于它的直径成轴对称图形”。 圆是一个非常特殊的图形，从轴对称变换的角度上来看，它是关于任何一条直径成轴对称变换。但是我们从中心对称的角度来看，它同时也是成中心对称的，即旋转变换的特例 ，圆以圆心为旋转中心，旋转任意角度都会重合 。甚至，它还是关于面对称的。所以圆是轴对称图形也是 旋转变换 图形， 还是 面对称图形。 圆就是一个非常完美的几何图形。 两角夹 与 一边 对应 相等的两个三角形全等。 现行 初中 教材以北师大版教材为例，在全等三角形的学习时，引入这样一个 例子：我解放军战士要炸毁河对面敌人的碉堡，但无法测出我军距离碉堡的距离，这是一位解放军战士想到了这样一个办法，如图 绪论 3 象成上边图像， 教材中所引入的这个例子，测量敌人阵地的测量方法，从 纯数学的 知识 角度 用到了 数学中 俯角的知识， 如果在继续挖掘，还可以把 人与地面的位置关系 抽象出来 垂直 ，这种垂直的关系的建立实际上是一种数学模型的建立 。 但是实际上从本质来说，用到了对称变 换中的平移变换，也可以看做是轴对称变换，当然也可看作是 旋转变 换 中的中心对称变换 。 两直线相交，对顶角相等。 我们作如下分析： （ 抽象成如图 线 ，构成了两对对顶角，从轴对称变换来理解， 旋转变换来理解， 180度 而 变 成。 在今天我们看来这个异常简单的 命题 可以从这几个方面加以解释，第一种，旋转变换的特殊情况中心对称变换。第二种，轴对称变换。但不管是哪一种，都体现了变换 下的 的不变性。 从今天的数学几何学习来看 ，这些知识并不难，甚至，我们可以从直观加以判断，但是，泰勒斯 确从数学思维的角度加以分析并判断这些知识的正确性。当然，他可能也有直观的判断或者是经验。但他对知识的这种研究和追求促使数学的发展具体的、实验的阶段向抽象的、理论的阶段过渡。 这 对数学的发展作出了重要的贡献 。 同时这四个命题为我们今天的几何学习奠定了基础。泰勒斯对数学的追求还 给我们今天的教学带来了启发，他的思想从无形中告诉我们在教育学生对数学的学习不仅要记住法则、公式、定义，更重要的是需要学生能从几何中的公理化体系来思考问题学习几何。同时希望学生 增强对 数 学文化的理解，从数学产生的背景来研究，挖掘出数学的本质和根源。 四川师范大学硕士学位论文 4 尔蔓外尔的变换思想 赫尔曼外尔 (， 20 世纪最伟大的数学家之一，论著对称一书，外尔在该书中提出对称思想，在这本书中，外尔通过大量的例子和大量的精美艺术和生物图片生动但不失严谨的描述了双侧对称、平移对称和旋转对称等多种概念。这正是我们所研究的变换 思想 。 外尔在 他的论著对称一书中给出了双侧对称性 精确的几何定义：“一个物体，即一个空间构 形，如果在关于给定平面 E 的反射下变成为 其自身，我们就说它关于 E 是对称的”。 他 借助几何图形还 指出“几何对称性就是指诸如反射和旋转的那样的操作”。 我们在现行的初中数学教材中能找到轴对称、旋转、平移这些知识。如果把外尔的概念做如下变化：平面换成线，空间换成平面，与轴对称类似。平面换成点，与中心对称类似。 外尔还给出了变换自同构的定义：空间的一个映射 S 将其中每一点 p 映为点 : ,: ,若其中一个是另一个的逆映射，（即 S将 p 映为 p ,而 S将 p映回到 p，反之亦然） ,则我们把它们称为两个一对一的映射或变换 。数学家把能保持空间结构的变换 如果我们按亥姆霍兹的方式来定义空间的结构，这就意味着该变化将任意两个叠合图形映射为两个叠合图形 称为自同构 。 现在我们的初中几何中所学习的 轴对称变换、相似变换、旋转变换 都是以此为理论依据 。 如果我们对我们的课堂教学进行反思，不难发现，我们对知识的讲解偏重，往往 就题论题， 甚至 对学生进行机械的训练，很少 甚至没有 让学生直观感受图形的美丽和图形所反映的数学思想 和方法。外尔的观点告诉我们或者是 启发我们： 我们在 初中 数学 几何 的教学 时 ，不仅仅是知识的简单传授 ，数学知识只是一个载体 ，更重要的是让学生 通过数学知识的学习，体会数学知识的学习时所蕴藏的数学思想和方法， 把这些数学思想和方法带到我们的生活中去，用数学的眼光观察生活、欣赏美景，用数学的思维 陶冶情操、创造美感。 把数学中的思想和方法 带入 人们 一生的生活中。 代 国内关于变换的思想研究 举例 钦教授对变换思想方法的研究 代钦教授主要从古代数学入手， 从对称变换所带来的美学进行了研究，代钦教授借助中国古代数学有记载的一些资料比如甲骨文 的资料、杨辉的三角数、出入相补原理等进行了详细的研究， 并全面评价了 中国传统数学中所蕴藏的美 学。 （德国）赫尔曼外尔，对称 M，冯承天，陆继宗译 ,上海科技教育出版社， 2005年 中学数学对称思想研究 刘盛利 -内蒙古师范大学硕士论文 D （德国）赫尔曼外尔，对称 M，冯承天，陆继宗译 ,上海科技教育出版社， 2005年 绪论 5 所以，对 初 中学生而言， 在学习数学知识的同时，要能体会数学所带来的美学， 初中几何变换的知识就能展现数学的美，在教学时，我们 以 所学 数学知识为载体， 不停的引导学生从美学的角度去看变换问题， 挖掘数学思想和数学方法，应用数学思想和方法解决生活中的实际问题，学会用数学理性的思维冷静的处理问题。 奠宙教授 从美学的角度看变 换思想 数学是一种美，学数学要从美的角度来看待，数学的美的概念最早 提出 是由徐利治 教授，自 此以后，从美学的角度研究数学的论著数不胜数了 。 但是，我们中学数学的研究不能仅仅对数学美的论述 ， 而是要使学生在数学学习的过程中如何去展现美，在生活中如何去感受美，如何去欣赏美，当然更重要的是让学生 能够去创造美， 用数学的美去看待生活，指导生活。 张奠宙教授 说：“几何学常常带给人们直观的美学形象 全方位对称图形，美观、匀称、无可非议。正三角形、五角形等常用的几何图形都因对称和谐而受到人们喜爱 ” 。 盛利老师从对称的角度看变换思想 刘盛利老师在教育硕士毕业论文中专门对对称思想 (包 括代数和几何中的对称思想 )作了系统的研究，在几何的对称上重点研究了轴对称和中心对称，从点的对称到图形的对称都进行了研究，较为详细。但是刘老师只研究了 轴对称和中心 对称 变换 思想 ， 缺少了旋转变换、平移变换 思想 。 初中 几何变换的思想没有全部体现出来。 换的概念界定 变换概念：在现代汉语词典中解释为： (1) 改换 ； (2) 用同类之物交换或代替 ，变换的英文翻译： to 从汉语词典的释义和英文翻译来看，变换就是使 事物的形式或内容由一种换成另一种。 包括就对象进行移动、旋转、镜像、比例缩放和倾斜。 在数学中，变换从集合的角度进行了定义： 非空集合 A 到自身的一个映射 f： AA 称为集合 A 的变换。 但是，在初中所涉及到的具体变换，更多体现了变换的汉语释义。高中所涉及到的变换内容不仅体现了变换的汉语释义，也体现了从集合观点的数学定义。 在中学教学中，一种观点把变换作为一种解题方法 ，该观点认为：数学变换方法就是在研究和解决数学问题时，采用迂回的手段来达到目的的方法。其特征 徐利治，徐利治论数学方法学 M，山东教育出版社， 2001 年 张奠宙，数学教育经纬 M，南京，江苏教育出版社， 2003 年 四川师范大学硕士学位论文 6 是利用变换，使复杂问题简单化，使难的问题向容易的问题转化。使未解决的问题向以解决的问题转化。例如，恒等变换方法，分割变换方法等。 一种观点把变换作为一种快速解题的工具，该观点认为解数学题的一般思维过程就是“观察 联想 变换”观察为联想提供了思维的视角信息，联想为变换提供了可能的方向和线索。 在现行的教学中，初中就具体的变换进行了教学，没有把变换作为一种思想来传递给学生。 本文中所涉及到的几何变换，不仅 指 具体的变换 操作（平移、旋转、轴对称、相似），而且 上升为数学 变换思想 ，并能将它进行合理地 应用。 数学变换思想 从其 诞生以来 就不断被 发展、演变 ，同时 不论是数学界的教育家还是一线的数学教师 对 变换思想 的教学和理解的 研究也不断地进行 本文主要参阅近十多年来的研究文献， 绝大部分研究都是从解题角度对变换思想进行探讨的，都重于用变换思想解题，轻于作为一种思想传递给学生。这些研究 有从教育学角度研究的，也有从心理学角度研究的， 或者侧重于从数学 解题 的角度来认识和理解 数学变换 ，或者侧重于对学生 变换 的 运用 过程进行研究，对教学 提出建议 尽管关于变换思想 的研究工作取得了多方面的成果，但 是学生把变换作为一种解决问题的思想还是不太令人满意，所以 许多研究仍待进一步发展，必须 让学生 对数学学习 有 一种思想的高度理解。 我们 初 中教师让学生做的大量 关于变换的练习 几 乎都是解题技能的训练， 很少是关于体现用数学思想解决问题的 ， 所以，学生对变换思想 的理解水平究竟如何 ？ 是一个有必要去调查和研究的问题 本课题研究的主要问题是： 1) 初 中生 对变换 概念的理解 存在 哪 些困难 即原因分析 ？ 2) 几何变换在解决问题中的应用 ? 3）初中几何变换 的实质 对教学产生的影响？ 4）初中几何变换的意义？ 根据以上研究问题，本文 客观地揭示目前初中生理解变换概念的现状，探讨造成初 中生 变换思想 理解困难的主要原因 ；进而提出克服初 中生 变换理解 困难的一些教学对策 通过这样的研究，能够对初中生变换的有效教学带来一定的借鉴作用 。 研究的 理论基础 7 第二章 研究的理论基础 数学教育家 为数学理解有“工具性理解”和“关系性理解”之分 知道符号所代表的事物或操作的规则，但不知道其逻辑依据；而关系性理解是指对符号的意义、获得符号所代表的 事物意义的途径、规则的逻辑依据等有深刻的认识“理解”不是单方面的，它有多个侧面、多个成分，它是一个发展、变化的“范围” 。 例如，学生在处理这个问题。 为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图 示 在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点 C 和点 D 处， A， ，已知 25 15 10问：图书室 E 应该建在距点 ，才能使它到两所学校的距离之和最短？ 图 生在研究这个问题时，无法将到两所学校的距离之和最短形成符号语言，造成理解困难。由于 E 点的运动 性，使得 段距离一致处于变换之中，学生对这种关系感到非常模糊。无法理解。 建构主义学习理论 是由 行为主义发展到认知主义 这两者的区别在于： 行为主义认为学习就是通过强化建立刺激与反应之间联接的链 ； 在学习过程中，教师的主要作用是知识的传递或传授 。 这是典型的传授式教学模式。 而 认知主义者较行为主义 最大的进步之处在于确认了学生 内部的认知过程， 从内化上来理解的 建构主义者则更进一步认为世界是客观存在的，但是对世界的理解和赋予意义却是由每个人自己决定的 由于个体的经验不同，对外部世界的理解便也不同 。 大部分建构主义者对学习有以下共识 ： 学习者以自己的方式建构自己的理解 ；新的学习依靠原有的经验 ； 社会性的互动可以促进学习 ； 有意义的学习发生于真 K 1986. A of 0of 高中数学课程中圆锥曲线的教学研究 徐忠才 -西北师范大学硕士论文 郑毓信 ,梁贯成 数学学习心理学的现代研究 M上海 :上海教育出版社 8 实的学习任务中 。 例如，在上述问题中，如果学生能快速建构自己的理解，把原有的经验结合起来，在大脑中提取出已有的知识，在平面中，两点 之 间 线段 的距离最短， 但是 段位于同侧，故就会提取另一个知识点，通过对称思想可以转化到异侧。如 图 了上述问题的解决方法，学生就能很快建构起解决这类问题的思想方法了，那么，在解决下列问题时就应该是轻而易举的事了。 例如 ： 如图 方形 ，边长为 4， E 是 一点， ，点 P 是异于 A、 C 的一动点，求 B 的最小值。 面问题中，可以把正方形变成棱形。通过对这一类问题的研究，学生建构起解决这类问题的模型，这类问题模型的特点就是：图形具有轴对称性，求的是两条线段之和最小值，动 点在对称轴上变化，两定点在对称轴的同侧。学生会类比，如果两定点在对称轴的异侧呢？应该是求两线段的差的最大值。由于学生对知识的建构，促成了对一类问题的统一解法，达到了多题一解的目的。 元认知通常被简单地认为是“对思考的思考”（ 或对自己的认知过程的认知 。 它最先由弗拉维尔提出他指出，元认知通常被广义地定义为任何以认知过程及其结果为对象的知识，或是任何调节认知过程的认知活 郑毓信 ,梁贯成 数学学习心理学的现代研究 M上海 :上海教育出版社 A 4,究的 理论基础 9 动，它之所以被称为元认知， 是因为其核心意义是对认知的认知 ， 数学解题 中所谓的“元认知”，亦是指解题者对于自身所从事的解题活动（包括解题策略的选择、整个过程的组织、目前所从事的工作在整个解题过程中的作用等）的自我意识、自我分析（包括评估）和自我调整 不成功的解题者往往不加思考地采取某一方法或解题途径，或总是在各种可能的“解题途径”之间徘徊，而对自己在干什么，特别是对为什么要这样干缺乏明确的认识；另外，在沿着某一途径走下去时，则又往往不能对自己目前的处境作出清醒的评估并由此而作出必要的调整，而只是“一股劲地往前走”，直到最终陷入僵局而一无所措 一个好的解题者则清醒地表现出如 下的“素质”：在具体地采用某一方法或解题途径前应对各种可能性进行仔细的考虑；在整个解题过程中则能做到“心中有数”，即清楚地知道自己在干什么和为什么要这样干；他们并能对目前的处境作出清醒的评估，从而作出必要的调整，特殊地，即使出现了错误 ，他们也不会简单地抛弃已有的工作，而是力图从中吸取有益的成分；最后，在成功地解决了问题以后，他们又能自觉地对所进行的工作进行回顾，特别是考虑是否存在更为有效的解题途径 。 例如，如下问题的处理： 在矩形 ， 2， ， E、 F 分别是 的动点，求 F+如图 生在这个问题的解决时，往往不知道怎么办？成功的解题者会固定一个动点找到 F 的最小值，在研究另一段的最小值。 从而成功解决这个问题，从认知角度上讲，解题者明白自己该干什么，明白自己用何种知识解决此题。当学生固定一个动点后，就完全转化为 图 图 问题了。找到 F 的最小值后，其实 E 点就确定，接下来仿照此法寻找 F 点。 张大均 M北京 :人民 教育出版社 ,2004 问题解决与数学教育 禹辉煌 -湖南师范大学硕士论文 D 问题解决与数学教育 禹辉煌 -湖南师范大学硕士论文 D 郑毓信 ,梁贯成 数学学习心理学的现代研究 M上海 :上海教育出版社 四川师范大学硕士学位论文 10 第三章 目前初中学生认识变换思想的现状暨 原因分析 初中生变换 学习的实证 调查与分析 卷的设计 首先要 了解 初中生 对 变换思想 的理解状况，设计了 一 份调查问卷问题的选择是 在基于 分析 了初中 数学的课程标准 （ 2011）的前提下 ，按本研究的目的精心挑选和改编而成 调查的对象是成都七中初中学校 2014 级学生，所涉及到的问题共有 14 道题，其中选择题 9 道，填空题 3 道，作图题一道，解答题一道。其中问题 1 到 7 分别考查学生对初中几何变换的几种 具体 变换 的概念的理解程度，目的是了解学生对几何变换的表象理解。问题 10 到 12 是以填空题的形式出现，主要考察学生对变换在折叠中的运用， 目的是了解学生能否灵活运用几何变换中的不变性解决问题。问题 13 到 14 考查学生解决问题的能力， 13 题以作图题的形式出现，看学生是否具有转化的意识， 14 题考查学生对实际问题的研究能力。（详见附录） 卷的信度 用问卷测试了同一水平不同教师任教的的两组学生， 测试的结果相关程度高 从测试的情况进行分析，两组学生回答的比率基本接近，从 32 个选取的样本可以看出学生答题的效果差不多， 说明这份测验题的可信程度高 ，能够用于测验和分析。 试的选取 选取 成都七中初中学校初 2014 级 1 到 10 班 做问卷容量 比较大，样本 也 较具代表性 在这次调查中共发出问卷 445 份，收回 445 份，其中有效问卷 445 份，回收率 100%。 问卷调查安排在 2012 年 12 月， 初 2014 级 学生已经完成 问卷上所出现的 全部课程 。 卷调查 2012 年 12 月 24 日下午第四节， 对 2014 级全体学生进行问卷调查，问卷调查采用闭卷的形式，由各班班主任和部分数学教师监考，学生在答题的过程中，不讨论，不问监考老师，测试时间为 30 分钟。 卷的统计方法 依据教育测量学和教育统计学的原理 ，本实证调查的数据用 件管理，并用 统计函数进行统计分析并绘制出 统计图 采用定量的方式得出了研究目前初中学生认识变换思想的现状暨 原因分析 11