2006年普通高等学校统一考试理试题参考答案(湖南卷).doc

2006年全国普通高校招生数学试题（湖南卷）（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1D2A3D4A5B6D7A8C9C10B二、填空题：本大题共5小题，每小题4分（第15小题每空2分），共20分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上11125131415，三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题满分12分）ABCD解：（I）如图，因为，所以，即（II）在中，由正弦定理得，即所以由（I），所以即解得或因为，所以，从而17（本小题满分12分）解：（I）每家煤矿必须整改的概率是，且每家煤矿是否整改是相互独立的所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是 （II）由题设，必须整改的煤矿数服从二项分布，从而的数学期望是即平均有家煤矿必须整改（III）某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，故至少关闭一家煤矿的概率是18（本小题满分14分）解法一：（I）连结，设因为与都是正四棱锥，所以平面，平面从而三点在一条直线上，所以平面（II）由题设知，是正方形，所以CABAPDQOxzy由（I），平面，故可分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是，所以于是从而异面直线与所成的角是（III）由（II），点的坐标是，设是平面的一个法向量，由得取，得所以点到平面的距离解法二：（I）取的中点，连结因为与都是正四棱锥，所以从而平面又平面，所以同理，所以平面CABAPDQOHNM（II）连结，设，由平面及正四棱锥的性质可知在上，从而四点共面取的中点，连结因为，所以，从而（或其补角）是异面直线与所成的角连结因为，所以从而异面直线与所成的角是（III）由（I）知，平面，所以平面平面过作于，则平面，所以的长为点到平面的距离连结，因为，所以又，于是即点到平面的距离是19（本小题满分14分）证明：（I）先用数学归纳法证明（i）当时，由已知，结论成立（ii）假设当时结论成立，即.因为时，所以在上是增函数，又在上连续，从而，即故当时，结论成立由（i）、（ii）可知，对一切正整数都成立又因为时，所以综上所述（II）设函数，由（I）知，当时，从而.所以在上是增函数又在上连续，且，所以当时，成立于是，即故 20（本小题满分14分）解：（I）设方案甲与方案乙的用水量分别为与 ，由题设有，解得由得方案乙初次用水量为3，第二次用水量满足方程，解得，故即两种方案的用水量分别为19与因为当时，即故方案乙的用水量较少（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得于是当为定值时，当且仅当时等号成立此时（不合题意，舍去）或将代入（*）式得故时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为与，最少总用水量是当时，故是增函数（也可以用二次函数的单调性判断）这说明，随着的值的增加，最少总用水量增加21（本小题满分14分）ABOyx解：（I）当轴时，点关于轴对称，所以，直线的方程为，从而点的坐标为或因为点在抛物线上，所以，即此时的焦点坐标为，该焦点不在直线上（II）解法一：假设存在的值使的焦点恰在直线上，由（I）知直线的斜率存在，故可设直线的方程为由消去得 设的坐标分别为，则是方程的两根，由消去得因为的焦点在上，所以，即代入有即由于也是方程的两根，所以从而又过的焦点，所以，则由，得即解得于是，因为的焦点在直线上，所以即或由上知，满足条件的存在，且或，解法二：设的坐标分别为，因为既过的右焦点，又过的焦点，所