2010年全国初中数学竞赛试题参考答案.doc

2010年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1若，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）解： 由题设得代数式变形，同除b2若实数a，b满足，则a的取值范围是（ ）（A）a （B）a4 （C）a或 a4 （D）a4解C因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式 0,解得a或 a4方程思想，判别式定理；要解一元二次不等式3如图，在四边形ABCD中，B135，C120，AB=，BC=，CD，则AD边的长为（ ）（A） （B）（C） （D）解：D如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F由已知可得BE=AE=，CF，DF2，于是 EF4过点A作AGDF，垂足为G在RtADG中，根据勾股定理得AD勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法4在一列数中，已知，且当k2时，（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：B由和可得，因为2010=4502+2，所以=2高斯函数；找规律。5如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，1），C（2，1），D（1，1）y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180得点P1，点P1绕点B旋转180得点P2，点P2绕点C旋转180得点P3，点P3绕点D旋转180得点P4，重复操作依次得到点P1，P2， 则点P2010的坐标是（ ） （A）（2010，2） （B）（2010，） （C）（2012，） （D）（0，2）解：B由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）记，其中根据对称关系，依次可以求得：，令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），由于2010=4502+2，所以点的坐标为（2010，）二、填空题6已知a1，则2a37a22a12 的值等于 解：0 由已知得 (a1)25，所以a22a4，于是2a37a22a122a34a23a22a123a26a1207一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t 解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得， ， 由，得，所以，x=30 故 （分） 8如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分于是，直线即为所求的直线设直线的函数表达式为，则解得 ,故所求直线的函数表达式为9如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D若CDCF，则 解： 见题图，设因为RtAFBRtABC，所以 又因为 FCDCAB，所以 即 ，解得，或（舍去）又RtRt，所以， 即=10对于i=2，3，k，正整数n除以i所得的余数为i1若的最小值满足，则正整数的最小值为 解： 因为为的倍数，所以的最小值满足，其中表示的最小公倍数由于，因此满足的正整数的最小值为 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11如图，ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是ABD和ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： （第12A题）（第12B题）（第12B题）证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以EDBC， FDBC，因此D，E，F三点共线. （5分）连接AE，AF，则，所以，ABCAEF. （10分）作AHEF，垂足为H，则AH=PD. 由ABCAEF可得，从而 ， 所以 . （20分）12如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C，求所有满足EOCAOB的点E的坐标.解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4. 故双曲线的函数表达式为.设点B（t，），AB所在直线的函数表达式为，则有 解得，.于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或t（舍去）所以点B的坐标为（，）因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以解得 （10分）（2）如图，因为ACx轴，所以C（，4），于是CO4. 又BO=2，所以.设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（，0）.因为CODBOD，所以COB=.（i）将绕点O顺时针旋转，得到.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点.（ii）作关于x轴的对称图形，得到点（1，）；延长到点，使得，这时点E（2，）是符合条件的点所以，点的坐标是（8，），或（2，）. （20分） 13求满足的所有素数p和正整数m.解：由题设得，所以，由于p是素数，故，或. （5分） （1）若，令，k是正整数，于是，故，从而. 所以解得 （10分）（2）若，令，k是正整数. 当时，有，故，从而，或2. 由于是奇数，所以，从而. 于是这不可能. 当时，；当，无正整数解；当时，无正整数解. 综上所述，所求素数p=5，正整数m=9. （20分）14从1，2，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下61个数：11，（即1991）满足题设条件. （5分） 另一方面，设是从1，2，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为， ，所以 .因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. （10分）设，i=1，2，3，n.由，得，所以，即11. （15分），故60. 所以，n61.综上所述，n的最大值为61. （20分）2011年全国初中数学竞赛试题考试时间：2011年3月20日9：3011：30 满分：150分答题时注意：1、用圆珠笔或钢笔作答；2、解答书写时不要超过装订线；3、草稿纸不上交。一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、设，则代数式的值为（ ）A、0 B、1 C、1 D、22、对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对（a, b）与(c, d)之间的运算“”为：（a, b）（c, d）（ac+bd, ad+bc）。如果对于任意实数u, v,都有（u, v）（x, y）（u, v）,那么（x, y）为（ ）A、（0, 1） B、（1, 0） C、（1， 0） D、（0, 1）3、已知A，B是两个锐角，且满足，则实数t所有可能值的和为（ ）A、 B、 C、1 D、4、如图，点D、E分别在ABC的边AB、AC上，BE、CD相交于点F，设，则与的大小关系为（ ）A、B、C、第4题图D、不能确定5、设，则4S的整数部分等于（ ）A、4 B、5 C、6 D、7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、两条直角边长分别是整数a, b（其中b2011），斜边长是b+1的直角三角形的个数为 .7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3 ,3,4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两个数字和为5的概率是 .8、如图，双曲线 （）与矩形OABC的边BC， BA分别交于点E， F， 且AFBF，连结EF，则OEF的面积为 .9、O的三个不同的内接正三角形将O分成的区域的个数为 .10、设四位数满足，则这样的四位数的个数为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11、已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1, 求的值.12、如图，点H为ABC的垂心，以AB为直径的和BCH的外接圆相交于点D， 延长AD交CH于点P， 求证：点P为CH的中点.13、若从1,2,3,，n中任取5个两两互素的不同的整数， 其中总有一个整数是素数，求n的最大值.14、如图，ABC中，BAC60,AB2AC. 点P在ABC内,且PA=, PB=5, PC=2, 求ABC的面积.复习题一1分解因式：3x2+5xy-2y2+x9y-42分解因式：(x2xyy2)(x2+xy+2y2)-12y45已知求abcd的值为任意正数，证明1s2.7设a，b是互不相等的正数，比较M，N的大小8求分式的值9已知：求证：pxqy+rz=(p+q+r)(x+y+z)11已知实数x，y满足等式求x，y的值12若14(a2+b2+c2)=(a2b3c)2，求abc13解方程：x22x-3丨x+1丨+3=014已知三个二次方程x2-3xa=0，2x2ax-4=0，ax2bx-3=0有公共解，试求整数a和整数b的值15如图2-178所示在ABC中，过点B作A的平分线的垂线，足为DDEAC交AB于E点求证：E是AB的中点16求证：直角三角形勾股平方的倒数和等于弦上的高的平方的倒数17如图2-179所示在ABC中，延长BC至D，使CD=BC若BC中点为E，AD=2AE，求证：AB=BC18如图2-180所示ABCD是平行四边形，BCGH及CDFE都是正方形求证：ACEG19证明：梯形对角线中点的连线平行于底，并且等于两底差的一半20如图2-181所示梯形ABCD中，ADC=90，AEC=3BAE，ABCD，E是 BC的中点求证：CD=CE21如图2-182所示梯形ABCD中，ADBC(ADBC)，AC和BD交于M，EF过M且平行于AD，EC和FB交于N，GH过N且平行于AD求证：22如图2-183所示在矩形ABCD中，M是AD的中点，N是BC的中点，P是CD延长线上的一点，PM交AC于Q求证：QNM=MNP23在(凸)四边形ABCD中，求证：ACBDABCDADBC24如图2-184所示AD是等腰ABC底边BC上的高，BM与BN是B的三等分角线，分别交AD于M，N点，连CN并延长交AB于E求证：25已知n是正整数，且n2-71能被7n55整除，求n的值学校 班级： 姓名： 座号： Q密封线九年级数学竟赛试卷题目一二三四五六总 分分数一、填空（每小题3分，共30分）1、已知是方程的一个根，则代数式 2、一名同学在掷骰子，连续抛了9次都没有点数为6的面朝上，当他掷第10次时，点数为6的面朝上是 事件。3、已知则 4、如图，O是的外接圆，则O的半径为 cm。5、已知是关于的方程的一个根，则_AB6、如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为_cm。7、如图，将一块斜边长为12cm，的直角三角板，绕点沿逆时针方向旋转至的位置，再沿向右平移，使点刚好落在斜边上，那么此三角板向右平移的距离是 cm8、如图，A是第一象限里的点，点B是点A关于原点的对称点，点C是点A关于轴的对称点，则以点A，B，C为顶点的三角形是 三角形。9、如图是正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形10、已知：关于的一元二次方程没有实数根，其中、分别为O1和O2的半径，为此两圆的圆心距，则O1和O2的位置关系为 。二、选择题（每小题3分，共18分）11、下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C DABC12、如图所示，电路图上有A、B、C三个开关和一个小灯泡，闭合开关C或者同时闭合开关A、B，都可使小灯泡发光现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于（ ）A、 B、 C、 D、13、已知：是两个连续自然数，且设，则（）总是奇数总是偶数有时是奇数，有时是偶数 有时是有理数，有时是无理数14、如图，O内切于，切点分别为D，E，F，已知，连接OE、OF、DE、DF，那么等于（ ）A、B、C、D、15、为执行“一免一补”政策，我市2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（）16、如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（） 三、解答题（第17题6分，18、19题7分共20分）17、计算：18、如图，中，求斜边上的高 19、小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏她们用四种字母做成10只棋子，其中A棋1只，B棋2只，C棋3只，D棋4只 “字母棋”的游戏规则为： 游戏时两人各摸一只棋进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋不放回；A棋胜B棋、C棋；B棋胜C棋、D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋；相同棋子不分胜负 (1)若小玲先摸，问小玲摸到C棋的概率是多少? (2)已知小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9只棋中随机摸一只，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少? (3)已知小玲先摸一只棋，小军在剩余的9只棋中随机摸一只，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概率最大?四、每小题8分，共16分。20、如图，已知为等边三角形，M为三角形外任意一点。（1）请你借助旋转知识说明；（2）线段AM是否存在最大值？若存在，请指出存在的条件；若不存在，请说明理由。21、如图，已知：AB是O的直径，AC是弦，CD切O于点C，交AB的延长线于点D，BD=5。（1）求证：CA=CD；（2）求O的半径。五、第22题8分，第23题9分共17分22、某超市销售一批羽绒服，平均每天可售20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价，如果每件羽绒服降阶1元，平均每天可多售出2件，如果超市要保证平均每天要盈利1200元，同时又要顾客得到实惠，那么每件羽绒服应降价多少元？学校 班级： 姓名： 座号： Q密封线23、已知x1，x2 是关于x的方程（x2）（xm）=（p2）（pm）的两个实数根（1）求x1，x2 的值；（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值六、第24题9分，第25题10分共19分24、已知：如图，ACD=90，AC=2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将ACB沿AB边所在的直线翻折得到ADB，过点D作DFCG于点F。（1）当BC= 时，判断直线FD与以AB为直径的O的位置关系，并加以证明；（2）如图，点B在CG上向点C运动，直线FD与AB为直径的O交于D、H两点，连接AH，当CAB=BAD=DAH时，求BC的长。F图1ABCEDHG（2ba）25、在图15中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE2b，且边AD和AE在同一直线上操作示例当2ba时，如图1，在BA上选取点G，使BGb，连结FG和CG，裁掉FAG和CGB并分别拼接到FEH和CHD的位置构成四边形FGCH思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将FAG绕点F逆时针旋转90到FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故CHDCGB，从而又可将CGB绕点C顺时针旋转90到CHD的位置这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FMAE于点M（图略），利用SAS公理可判断HFMCHD，易得FH=HC=GC=FG，FHC=90进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形实践探究（1）正方形FGCH的面积是 ；（用含a，b的式子表示）图3FABCDE图4FABCDE图2FABC(E)D（2ba）（a2b2a）（ba）（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2、图3、图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图F图5ABCED（ba）联想拓展小明通过探究后发现：当ba时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移当ba时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由附参考答案：一、1、1；2、随机；3、；4、2；5、1或2；6、；7、 8、等腰直角三角形；9、如图所示：10、外离（注：写“相离”者不给分）二、11、D; 12、C; 13、D; 14、A; 15、B; 16、C;三、17：解：原式21（）3分315分26分18、解：AC2分SABCACBC=CDAB3分CD=7分19、（2007苏州中考题）解：(1)小玲摸到C棋的概率等于；1分(2)小玲在这一轮中胜小军的概率是3分(3)若小玲摸到A棋，小玲胜小军的概率是；若小玲摸到B棋，小玲胜小军的概率是；若小玲摸到C棋，小玲胜小军的概率是；若小玲摸到D棋，小玲胜小军的概率是由此可见，小玲希望摸到B棋，小玲胜小军的概率最大7分。20、（数学理报2007下期末专号）（1）将BMC绕B点逆时针方向旋转，使C点与A点重合，得BMA。1分MBM=600 、BM=BM、AMMC；BMM为正三角形；M M=BM。2分 若M在AM上，则AM=AM+M M=BM+MC3分 若M不在AM上，连结AM、MM，在AMM中，根据三角形三边关系可知：AMAM+M M，AMBM+MC。5分（2）线段AM有最大值。6分当且仅当M在AM上时，AMBM+MC；存在的条件是：ABM=600 。8分21、（1）连结OC，1分CD是O的切线，OCD=900 , 2分OCA=ACD-OCD=1200 - 900 =300 ; OAC=OCA=3003分 又ADC=1800 - ACD - OAC=1800 -1200 -300=300=OAC4分 CA=CD.5分 （2）ADC =300 OC=OD=OB6分 B是OD的中点， OB5，即O的半径为5。8分22、解：