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文档简介
利用直线参数方程t的几何性质解题山东平邑县第一中学(273300)李志勤过定点、倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数),其中t表示直线上以定点为起点,任意一点M(x,y)为终点的有向线段的数量,由此,易得参数t具有如下 的性质:若直线上两点A、B所对应的参数分别为,则性质一:A、B两点之间的距离为,特别地,A、B两点到的距离分别为性质二:A、B两点的中点所对应的参数为,若是线段AB的中点,则,反之亦然。 在解题时若能运用参数t的上述性质,则可起到事半功倍的效果。应用一:求距离例1、直线过点,倾斜角为,且与圆相交于A、B两点。(1)求弦长AB.(2)求和的长。解:因为直线过点,倾斜角为,所以直线的参数方程为,即,(t为参数),代入圆方程,得,整理得(1)设A、B所对应的参数分别为,所以,所以(2)解方程得,所以,应用二:求点的坐标例2、直线过点,倾斜角为,求出直线上与点相距为4的点的坐标。解:因为直线过点,倾斜角为,所以直线的参数方程为,即,(t为参数), (1)设直线上与已知点相距为4的点为M点,且M点对应的参数为t,则,所以,将t的值代入(1)式,当t4时,M点的坐标为;当t4时,M点的坐标为,综上,所求M点的坐标为或. 点评:若使用直线的普通方程,利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦,而使用直线的参数方程,充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较容易。应用三:解决有关弦的中点问题例3、过点,倾斜角为的直线和抛物线相交于A、B两点,求线段AB的中点M点的坐标。解:直线过点,倾斜角为,所以直线的参数方程为,(t为参数),因为直线和抛物线相交,将直线的参数方程代入抛物线方程中,得:,整理得,设这个二次方程的两个根为,由韦达定理得,由M为线段AB的中点,根据t的几何意义,得,易知中点M所对应的参数为,将此值代入直线的参数方程得,M点的坐标为(2,1)
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