宜宾市一中高2013级自主招生数学辅导资料二

宜宾市一中高 2013 级自主招生数学辅导资料 导数函数不等式综合 二 构造函数与参变分离 李波 1 直接构造函数 讨论函数单调性并结合特殊点的函数值或导数值 4 2 1 2 2 ln 1 1 1 210 1 1 2 1 1 3 ln21 41 11 1 0 2 1 ln ln 1 0 n i xax f xyf xfxya x i xf xm xmn i axxm xg xxm xg xx mxxm g xm x 例 曲线在 处的切线与垂直求 若 恒成立 求的范围 求证 解 由题意即对 恒成立 令 注意到 当 22 2 22 12 0 0 1 1 0 0 1 4 1 2 12 1 1 40 0 1 1 1 0 2 111 411 4 0 001 222 1 g xg xg xg mk xmxxmmmm mmg xg xxg xg mm mk xxx mm x 在 上单增 矛盾 当 令 当时 在 上单减 满足题意 当时 的两根为 当 22 2 1 2 1 0 1 1 0 2 111 3 2 1ln 22 ln 21 ln 21 ln 21 ln 23 ln3ln1 4 41 2141 2121 ln 21412 212 n i xg xg xxg xgm mxxx x i nnnn i kkkk kkkk 时 在 上单增 矛盾 由取 当时 恒成立 原不等式即证 即证 21 121 k x k PSn 取即可 此题由配对原则 反用裂项求和的方法将左方分拆成个式子的和 易发现要证明的不等式 23 23 2 1 1 ln1 1 2 2 01 2 0 2 ln2 341111 3 lnlnln 2 ln 1 01 23 f xaxxg xxf xa xf xg xg xf x n xxxx nn nn 练习 求的单调区间 时 求证 对任意 恒成立可拓展为证明 求证 由在 上恒成立 取即可 0 0 1 2 2ln2 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ln2 2 min max 2 aaxfxfxf e e efxfexfaRa x xa xxf 的范围恒成立 求 上的最值 在 求 练习 练习 3 已知函数是常数 1 当时 求函数在区间上Raxaxxf 2 1 ln 2 1 a xf 1 e 的最大值和最小值 2 若在区间上 函数的图像恒在直线下方 求实数的取值 1 xfaxy2 a 范围 1 1 2 2 2 2 1 4 201021 10 0 2 1 0 0 21 0 0 2 1 021 0 0 0 2 x xxx eaxxaa f xeaxxffxeaxg x gg xea xaag xg xfxfxf f xf x 练习新课标卷一题 已知在上恒成立 求的取值范围 解 当即时 即在0 单增 在0 上单增 0 0 1 20ln2 0 ln2 0 0 ln2 2 0 ln2 0 0 0 ln2 0 0 x f ag xeaxaxag xg xfxa xafxfxaf xf PS 不等式恒成立 当时令 时即在 上单减 时 时不合题意 此题直接采用参变分离要三次求导并利用罗比塔法则 2 222 000 111111 limlimlim1 2222 xxxx x xxx exeeex aexx xxx 此题可以采用一种特定的参变分离来解决 再证 即证 练习 5 设函数 f x x 1 ln x 1 若对所有的 x 0 都有 f x ax 成立 求实数 a 的取值 范围 方法和练习 4 一致 1a 22 min 2 2 6 2ln 2 1 2 1 11 1 7 ln1 1 21 2 11 2 ln 1 10 0 2 f xxxg xaxaxf x xf xg xa a f xxxaxf xxyxa xa f xxaxxaa x 练习 已知函数 求 当时 恒成立 求的取值范围 练习 当在处的切线与平行 求 若在时恒成立 求的范围 2 1 1 0 1 ln 2 22 xfxga xxfxxxexgxxaxxf x 证明 的值 求 处有极值在 且 已知函数例 0 0 0ln1 1ln 0 0 10 01 1 01 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1ln 2 0 1 min xfxgxh chccce cccechxhccxh cmcemm xmxm xexxmxexmxe x x xh xxxxexfxgxh a c c xxx x 上单增 上单减 在且 使得 存在唯一 的零点最多一个上单增 在 令 令 解 2 参变分离 利用函数单调性求最值 有时二次求导并利用罗比塔法则 单增 令 上恒成立 设 在即略 解 时恒成立 求在 求证 的切线方程 在求 已知函数例 0 4 0 3 0 1 1 ln2 1 ln2 1 ln 1 1 ln 3 2 02ln1 1 10 1 1 3 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1ln 1 2 max 2 21 21 21 hhxh x xhxxxh x xx xg x xxx xgk x xxx yx kxxkxxxfZkxfxf xx f xxfxfxxxf 3 43 43 1 2 1 ln 1 0ln2 43 max00 0 000 0 000 0min 000000 直接构造函数也可 且 增 上减 在 使得 PS kZkxkx x xxx x xxx xgxg xxxgxxxhx 1 1 2 2 3 1 1 ln 1 2 2 1 aa xxfeaaexf x a xxf 的范围上恒成立 求 在的值 求上的最小值为 在若 练习 2 11 2 1 2 01 1 2 x x e f xf xxaxaa xef x 练习 已知函数求的最小值 恒成立求的范围 2 3 ln1 1 2 0 0 f xaxxf xf xaae 练习 已知函数求的单调区间 若恒成立求的范围 32 32 4 2 2 380 2 0 ln 1 1 3 21 2 0 1 1 x f xaxbxcxh xf xfxy hg xkxeyxf xk f xxxxkxf xg xmxmm 练习 的导函数为 在 处的切线为 与的图像在原点处有相同的切线求以及 时恒成立 求的范围 2 sin cos2sin 0 1 0 2 1 0 2 1 1 2 sincos 0 0 22 sin 0 cos f xmxxg xaxxx a mmxf xg xa f xm xxaxxxx xx a xx 例 已知函数 若过曲线上任意不同两点的直线 的斜率均大于 求的最小值 若 对 恒成立 求的范围 解 即函数单调递增 易知 即在 上恒成立 显然 时结论成立的 在 2 22 2 22 00 sinsinsin cos 2coscos sinsinsin cossin1 cos 0 0 limlim20 cos2coscossin xx xxxxxxx h xh x xxxx xxxxxxxx h xa xxxxxxx 上恒成立设 在 单增 2 1 ln 1 1 x 2 0 2 1 2 f xxg xxh xfg xxf xkg x k 练习 已知函数 求的最值 恒成立 求的取值集合 10 2 1 1 1 1ln 3 2 的范围恒成立 求实数 不等式 若 证明 已知函数例 aaxxxfx xxf x x x xxf 2 ln12ln1 1 10 0 1 ln 2 1ln 1 22 1 1ln 1 22 2ln1 1 1ln 10 1ln 1ln 10 0 2 1 min 2 3 2 2 min 22 数来解此题还可以直接构造函 上单减 在 令 显然令 时 原不等式等价于当 时 不等式成立 当略 ahxhxh xxxxxxxx xx xxxx xhh x xx xh x x xx a x xx ax Rax 1 1 2 2 3 1 1 ln 3 2 1 1 1 0 2 1 1 1 2 1 0 1 3 1 1 0 1 2 1 4 12 1 0 1 2 2 max aaxxf eaexf x a xxf a