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2 2圆与方程2 2 1圆的方程 第2章平面解析几何初步 重点难点重点 圆的方程的两种形式及用待定系数法求圆的方程 难点 根据条件选择恰当的圆的方程求解 1 圆的标准方程 2 圆的一般方程 1 圆的一般方程形式为 它可以配方化为 x2 y2 dx ey f 0 相等 xy 3 点与圆的位置关系 1 点与圆的位置关系有三种 点在圆外 点在圆上 点在圆内 2 设点p到圆心距离为d 圆的半径为r 则点与圆的位置有如表所示的对应关系 3 已知点m x0 y0 和圆的方程x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 则其位置关系如下表 想一想1 方程 x a 2 y b 2 r2 a b r r 表示一个圆吗 为什么 2 方程2x2 2y2 4x 3y 1 0表示圆吗 若表示圆 其圆心和半径分别是什么 答案 x2 y2 5 4 方程 x 2 2 y 3 2 49表示的圆的圆心坐标是 半径是 答案 2 3 75 若圆的方程为x2 y2 4x 6y 12 0 则该圆的圆心坐标为 答案 2 3 6 点a 0 0 与圆x2 y2 4x 5 0的位置关系为 答案 点a在圆内 本题满分14分 求圆心在直线x 2y 3 0上 且过点a 2 3 b 2 5 的圆的标准方程 思路点拨 解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径 再写方程 也可以设出方程用待定系数法求解 解 法一 设点c为圆心 点c在直线l x 2y 3 0上 可设点c的坐标为 2a 3 a 2分 名师微博据定义 求圆心 定半径 方便快捷 名师微博这里采用的是待定系数法 此法常用 勿必掌握 变式训练1 求下列各圆的标准方程 1 圆心在y x上 且过两点 2 0 0 4 2 圆心在直线2x y 0上 且与直线x y 1 0切于点m 2 1 解这个方程组 得d 8 e 6 f 0 所以 所求圆的方程是x2 y2 8x 6y 0 即 x 4 2 y 3 2 25 故所求圆的圆心坐标是 4 3 半径为5 已知圆c x 3 2 y 4 2 1 点a 1 0 b 1 0 点p在圆上运动 求d pa2 pb2的最值及相应的点p的坐标 名师点评 由于圆既是中心对称图形 又是轴对称图形 因此涉及圆上的点的问题可转化为与圆的圆心及半径有关的问题来处理 变式训练3 点a在圆c x2 y2 ax 4y 5 0上 它关于直线x 2y 1 0的对称点也在圆c上 求实数a的值 1 求圆心在直线5x 3y 8 0上 且与两坐标轴都相切的圆的标准方程 解 法一 设所求圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 圆与坐标轴相切 a b r a 又 圆心 a b 在直线5x 3y 8 0上 5a 3b 8 所以圆的方程为 x 1 2 y 1 2 1 综上所述 所求圆的方程为 x 4 2 y 4 2或 x 1 2 y 1 2 1 2 求证 无论实数m如何变化 点 4
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