导数的应用(一).doc

导数的应用（一）一、课标要求1、结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 2、结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超多三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超多三次的多项式函数的最大值、最小值。3.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 二、知识归纳1、导数应用的知识网络结构图：2、规律方法（1）求有导数函数y=f(x)单调区间的步骤： i）求f(x)； ii）解不等式f(x)0（或f(x)0）； iii）确认并指出递增区间（或递减区间）。 （2）求有导数的函数y=f（x）的极值的步骤： i）求导数f(x)； ii）求方程f(x)=0的全部实根； iii）检查f(x)在方程f(x)=0的根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值。（3）设y=f（x）在a，b上有定义，在(a，b)内有导数，求f（x）在a，b上的最大值和最小值的步骤： i）求f（x）在（a，b）内的极值； ii）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，确定f（x）的最大值与最小值。在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点（单峰函数），那么，只要根据实际意义判定最值，不必再与端点的函数值作比较。三、例题精讲例1:讨论函数 的单调性.解:函数的定义域为 当x1时, 故当x1时, 当0x1时,故当0x1/2时, ;当1/2x1时,因此,函数在(-,0)和(1/2,1)上是增函数,而在(0,1/2)和(1,+)上是减函数.例2:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2),且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直. (1)求a、b的值； (2)若f(x)在区间m,m+1上单调递增,求m的取值范围.解：由题意得:故f(x)的单调递增为(-,-2和0,+).即m+1-2或m0,故m-3或m0.xy例3: 如图,在二次函数f(x)= 4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积.解:设B(x,0)(0x2), 则A(x, 4x-x2).从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0x0,则下列关系一定成立的是（ ）A.f(0)0C.f(1)f(0)D.f(1)0,所以函数f(x)在区间0,1上是增函数.又函数f(x)的图象是连续的,所以f(1)f(0).但f(0)、f(1)与0的大小是不确定的.答案:C2.函数y=xlnx在区间(0，1)上是（ ）A. 单调增函数B.单调减函数C.在(0，)上是减函数，在(,1)上是增函数D.在(0，)上是增函数，在(,1)上是减函数分析：本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性.解：y=lnx+1,当y0时，解得x.又x(0,1),x1时，函数y=xlnx为单调增函数.同理，由y0且x(0,1)得0x,此时函数y=xlnx为单调减函数.故应选C.答案：C3.设f(x)是函数f(x)的导函数,y=f(x)的图象如下图所示,则y=f(x)的图象最有可能是分析:本题主要考查函数的导数与图象结合处理问题.要求对导数的含义有深刻理解、应用的能力.解:函数的增减性由导数的符号反映出来.由导函数的图象可大略知道函数的图象.由导函数图象知:函数在(,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,+)上递增;函数f(x)在x=0处取得极大值,在x=2处取得极小值.答案:C4.已知函数f(x)=3x35x+1,则f(x)是A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数分析：本题考查导数函数的奇偶性.解题的关键是对函数求导,但求导不改变函数的定 义域.解：f(x)=3x35x+1，f(x)=9x25(xR). f(x)=f(x)，f(x)是偶函数.答案：B5.若函数y=x33bx+3b在(0，1)内有极小值，则A.0b1B.b0D.b0, x=.又x(0,1), 01.0b0),L=2.令L=2=0,得x=16或x=16.x0,x=16.L在(0,+)上只有一个极值点,它必是最小值点.x=16,=32.故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省.注：本题也可利用均值不等式求解.9.(本小题12分)已知函数y=ax与y=在区间(0，+)上都是减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.分析：本题主要考查利用导数确定函数的单调区间.可先由函数y=ax与y=的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.解：函数y=