转化思想是数学解题的一把金钥匙.doc

“五四杯”论文B类转化思想是数学解题的一把金钥匙建湖县颜单中学 陈国华关键词：转化思想、解决问题、培养能力论点摘要：一、未知转化为已知 二、一般转化为特殊 三、特殊转化为一般 四、数转化为形五、形转化为数 六、分散转化为集中七、局部转化为整体 八、运动转化为静止九、静止转化为运动 十、空间转化为平面数学课程标准中指出：数学学习应当使学生“形成解决问题的一些策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神”。因此，我们在数学教学中应当结合具体的教学内容，渗透数学转化思想，有意识地培养学生学会用“转化”思想解决数学问题。即在解题过程中根据解题的目标，不断探索和调整解题方向，从不同的角度、不同的侧面将问题进行适当的转化，以达到解决问题的目的。掌握转化思想有利于培养和发展学生数学思维能力，有利于培养和发展学生解决实际问题的能力，有利于提高学生数学应用意识。下面举例说明常见的转化思想在初中数学解题中的应用。一、未知转化为已知数学问题中的条件有的比较复杂。需要通过挖掘其隐含的因素把未知条件变为已知条件从而使问题得到解决。例1：如图(1)，已知在ABC中BDAC,CEAB，M为BC的中点，N为ED的中点。求证：MNED。分析：要证MNED，很难找到直接方法。但如果把要证的结论“MNED”看成已知，并联系“N为ED的中点”，就不难想到等腰三角形的性质，从而想到连结EM、DM，先证EM=DM。再由等腰三角形的三线合一可得MNED。二、一般转化为特殊哲学原理告诉我们，一般性和特殊性可以互相转化，一般性寓于特殊性之中，我们可以从问题的特殊性入手，在一般情况下难以发现的规律，在特殊条件下比较容易暴露.如构建特殊点、线、角、等，去探索研究问题的一般性。例2：在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上的任意一点，PEBD，PFAC，E、F分别是垂足，求PE+PF的值。分析：如图(2)，由于P是AD上任一点，故直接求PE+PF较困难。我们可以作特殊化处理,让点P与点A重合，这时PF=0，PE就是图中AM，问题就转化为求AM的长了,即有PE+PF=AM。三、特殊转化为一般 当我们遇到某些特殊问题感到很难解决时，也可适当放宽条件或改变一些条件的限制，把问题转化为一般的问题加以研究，先解决一般问题再把解决一般问题的技巧、方法或结果应用到特殊问题上，最终获得问题的解决。例3：若ab1，且5a2+2100a+9=0，9b2+2100b+5=0，则的值是（ ）（A） （B） （C） （D）解析：若由题设条件分别求出a，b代入求值，则相当麻烦。现将其中一个等式进行变形得：5+9=0，结合已知等式+2100a+9=0可以看出a、是方程+2100x+9=0的根。又a，即a与是此方程的相异实根，故由韦达定理可知a=，故选A。四、数转化为形有些代数问题条件中的数量关系以某种方式与几何图形相关联则可以通过作出与其相关联的图形背景，借助图形的直观性将代数问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来，从而利用几何关系来求解。例4：已知a、b、c、d为正数，且a2+b2=c2+d2，ac=bd，求证a=d，b=c。分析：由于题设条件很象勾定理的形式，因而可通过构造有公共斜边的两个直角三角形来研究。证明：如图(3)由题设可作RtABC和RtADC，使B=D=90，Bc=a，AB=b，AD=c，CD=d。ac=bd，即BCAD=ABCD，故RtABCRtADC，而AC为公共边，RtABCRtADCBC=CD，AB=AD即a=d，b=c五、形转化为数把几何图形问题中的变量用字母来表示，用代数中的方程思想将几何图形问题转化为代数问题,这是解决几何问题的一种常用行之有效的方法。例5：如图(4)已知a、b、c为RtABC的三边之长，c为斜边，RtABC的内切圆半径为r,求证：r=（a+bc）。证明：设CE=x，EA=y，FB=z，易得OECD是正方形，则r=x。依题意得： +得，x+y+z=（a+b+c） 代入得x=（a+bc），即r=（a+bc）。六、分散转化为集中有些题目中的条件或者需解决的对象比较分散，难以进行研究，因而转化为研究问题的整体形式或结构，往往可以达到事半功倍之效。例6：如图(5)，在高2米坡角为30楼梯表面铺上地毯，地毯的长至少需要多少米？解析：若先求铺在各级台阶的地毯的长度，再求和，非明智之举。现用平移的方法，从整体上考虑，各级台阶的高度之和等于BC长，宽度之和等于AC长，所以只需求AC+BC的长度就确定了地毯的最小长度。七、局部转化为整体在解几何题有时根据原图形的特点通过添加适当的辅助线，构造成我们熟知的图形，再利用这些熟知的图形性质,沟通条件与结论之间的联系，就可以将问题化难为易。如图(6)，凸五边形ABCDE中，有A=B=120，EA=AB=BC=2，CD=DE=4求它的面积。解析：延长EA、CB交于点F，EAB=CBA=120，可得FAB为等边三角形。EA=AB=BC=2，CD=DE=4，FE=FC=CD=DE=4，四边形PCDE为菱形。过C作CGDE,垂足为G。易得CG=。SABCDE=S菱形FCDESFAB=422=八、运动转化为静止事物的运动都是相对的，由于参照物的不同，原来动的对象变为不动，而原来不动的对象变为运动，在解题时，有时可变换角度，运动问题可以转化为静止问题来研究。例8：某气象台A正西方向300公里有一台风中心，现正以40公里/小时的速度向东北方向移动，距台风中心250公里以内的地方均受到其影响，问从现在起多长时间后，气象台会受台风影响？影响会持续多长时间？分析：直接解题时，不动的是气象台A，移动的是台风中心及其影响区域，由于影响范围为一簇圆覆盖的平面区域，因而解题时计算繁琐，按动静互换策略，假设台风中心不动，而气象台A沿西方向以40公里/小时的速度移动，则问题就转化为求气象台A进入台风区域的时刻及A穿越这块区域所需的时间。如图（7），设台风中心O不动，影响范围为半径250公里以内的圆面，OA=300，OAD=45，连OB、OC不难得出：AB=AEBE=15050，BC=100.t1=2.0，t2=6.6，即从现在起约2个小时后气象台遭受台风影响，持续时间约6.6小时。九、静止转化为运动有的数学问题，在静止状态下往往解题繁难，如果我们把本来静止的问题转化为运动问题,变静态为动态,即通过研究变动的一般状态来考虑确定的特殊的情形，有时会事半功倍。例9：如图（8），在RtABC中，B=90，AD是BC边上的中线，CAD=，求证：sin. 分析：根据题意，RtABC中，点B在以AC为直径的半圆上运动，点D保持BD=DC，问题即为何时CAD=最大？此时sin是否等于？显然，当B在以AC为直径的半圆上运动时，BC的中点D应在以OC为直径的半圆上运动（图9），故只有当AD与半圆O相切时最大。此时，因为ODAD所以sin=，故sin.十、空间转化平面在立体图形上有时求折线段或曲线段的长度，直接求无从下手。我们可以把立体图形通过展开为平面图形这样立体图形上两点之间的曲线段或折线段问题就转化平面上的线段问题了。例10：如图（10）已知圆锥的母线长OA=6，底面的圆的半径为2，一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处。则小虫所走的最短距离为（ ）。（A）12 （B）4