高中数学由递推公式求通项公式题型总结.doc

高中数学由递推公式求通项公式题型总结第一篇:2015年新课标高考数学题型全归纳：如何由递推公式求通项公式典型例题 如何由递推公式求通项公式 高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。 下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。 类型一：an+1-an=f(n) 或 an+1=g(n) an 分析：利用迭加或迭乘方法。即：an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 或an=anan-1a2a1 an-1an-2a1 11，求数列an的通项公式。 ,an+1=an+22n+n (n+1)an （2）已知数列an满足a1=1,sn=，求数列an的通项公式。 2例1.(1) 已知数列an满足a1= 解：（1）由题知：an+1-an=1111 =-2n+nn(n+1)nn+1 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 =(1111111-)+(-)+(-)+n-1nn-2n-1122 = （2）31- 2n2sn=(n+1)an 2sn-1=nan-1(n2) 两式相减得：2an=(n+1)an-nan-1(n2) ann=(n2) an-1n-1 anan-1a2a1 an=an-1an-2a1 nn-121 =n-1n-21 =n 即： 类型二：an+1=pan+q(其中p,q为常数，pq(p-1)0) 分析：把原递推公式转为：an+1-t=p(an-t),其中t= 比数列求解。 q，再利用换元法转化为等1-p 例2.已知数列an中，a1=1,an+1=2an+3，求an的通项公式。 解：由an+1=2an+3 可转化为： an+1+3=2(an+3) 令bn=an+3,则b1=a1+3=4且bn+1=2bn bn是以b1=4为首项，公比为q=2的等比数列 bn=42n-1=2n+1 即 an=2n+1-3 类型三：an+1=pan+f(n)(其中p为常数) 分析：在此只研究两种较为简单的情况，即f(x)是多项式或指数幂的形式。 （1）f(x)是多项式时转为an+1+A(n+1)+B=p(an+An+B)，再利用换元法转为等比数列 （2）f(x)是指数幂：an+1=pan+rqn+1(pqr0) 若p=q时则转化为an+1an=n+r，再利用换元法转化为等差数列 n+1qq高中数学由递推公式求通项公式题型总结 qr p-q若pq时则转化为an+1+tqn+1=p(an+tqn),其中t= 例3.（1）设数列an中，a1=1,an+1=3an+2n+1，求an的通项公式。 （2）设数列an中，a1=1,an+1=3an+2，求an的通项公式。 n 解：（1）设an+1+A(n+1)+B=3(an+An+B) an+1=3an+2An+2B-A 与原式比较系数得：2A=2A=1 2B-A=1B=1 即an+1+(n+1)+1=3(an+n+1) 令bn=an+n+1,则bn+1=3bn且b1=a1+1+1=3 bn是b1=3为首项，公比q=3的等比数列 bn=33n-1=3n 即:an=3-n-1n (2)设an+1+t2n+1=3(an+t2n) 展开后得：an+1=3an+2n 对比得：t=1 an+1+2n+1=3(an+2n) 令bn=an+2n,则bn+1=3bn,且b1=a1+21=3 bn是b1=3为首项，公比q=3的等比数列 bn=33n-1=3n 即:an=3-2 rnn 类型四：an+1=pan(p0,an0) 分析：这种类型一般是等式两边取对数后得：lgan+1=rlgan+lgp，再采用类型二进行求解。 例4.设数列an中，a1=1,an+1= 解：由an+1=12an(a0)，求an的通项公式。 a12an，两边取对数得: a 1 lgan+1=2lgan+lg a 设lgan+1+t=2(lgan+t)展开后与上式对比得：t=lg1 a 11=2(lgan+lg) aa 11 令bn=(lgan+lg)，则bn+1=bn,且b1=lg aa 1 bn是b1=lg为首项，公比q=2的等比数列 a 原式可转化为lgan+1+lg bn=2n-1111lg，即lgan+lg=2n-1lg aaa 1-2n-1 也即an=a 类型五：an+1= f(n)an g(n)an+h(n) 分析：这种类型一般是等式两边取倒数后再换元可转化为类型二。 an-1，求an的通项公式。 3an-1+1 13an-1+11 解：原式两边取倒数得： =3+anan-1an-1 1 设bn =,则bn-bn-1=3,且b1=1 an 1 bn是b1=为首项，公差d=2的等差数列 3 例5.已知数列an满足：a1=1,an= bn=1+(n-1)3=3n-2 即an= 1 3n-2第二篇:2015届高考数学(新课标) 题型全归纳 如何由递推公式求通项公式典型例题 如何由递推公式求通项公式 高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。 下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。 an+1 类型一：an+1-an=f(n) 或 a=g(n) n 分析：利用迭加或迭乘方法。即：an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1an= anan-1或 aa2 a1 n-1an-2a1 例1.(1) 已知数列 ana1=1,an+1=an+1 满足2n2+n，求数列an的通项公式。 1,sn= (n+1)an （2）已知数列 ana1=满足 2，求数列 an的通项公式。 an+1-an= 1解：（1n2+n=1n(n+1)=1n- 1 ）由题知： n+1 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 =( 1111111n-1-n)+(n-2-n-1)+(1-2)+2 31 = 2-n （2） 2sn=(n+1)an 2sn-1=nan-1(n2) 两式相减得：2an=(n+1)an-nan-1(n2) ana=n (n2)高中数学由递推公式求通项公式题型总结 即：n-1n-1 an= anan-1a a2 aa1 n-1an-21=nn-12 n-1n-2 11 - 1 - =n 类型二：an+1=pan+q(其中p,q为常数，pq(p-1)0) an+1-t=p(an-t),其中t= 分析：把原递推公式转为：求解。 例2.已知数列 q 1-p，再利用换元法转化为等比数列 an中，a1=1,an+1=2an+3，求an的通项公式。 解：由an+1=2an+3 可转化为： an+1+3=2(an+3) 令bn=an+3,则b1=a1+3=4且bn+1=2bn bn是以b1=4为首项，公比为q=2的等比数列 n-1 bn=42 即 an=2 =2n+1 -3 n+1 类型三：an+1=pan+f(n)(其中p为常数) 分析：在此只研究两种较为简单的情况，即f(x)是多项式或指数幂的形式。 （1）f(x)是多项式时转为an+1+A(n+1)+B=p(an+An+B)，再利用换元法转为等比数列 n+1 an+1=pan+rq(pqr0) f(x)（2）是指数幂： an+1an =n+rn+1 q若p=q时则转化为q，再利用换元法转化为等差数列 若pq时则转化为例3.（1）设数列 an+1+tqn+1=p(an+tqn),其中t= qr p-q an中，a1=1,an+1=3an+2n+1，求an的通项公式。 nanan的通项公式。 a1=1,an+1=3an+2 （2）设数列中，求 解：（1）设an+1+A(n+1)+B=3(an+An+B) an+1=3an+2An+2B-A - 2 - 2A=2A=1 2B-A=1B=1 与原式比较系数得： 即an+1+(n+1)+1=3(an+n+1) 令bn=an+n+1,则bn+1=3bn且b1=a1+1+1=3 bn是b1=3为首项，公比q=3的等比数列bn=33n-1=3n n 即:an=3-n-1 n+1nan+1+t2=3(an+t2)(2)设 展开后得：an+1=3an+2 对比得：t=1 n an+1+2n+1=3(an+2n) n1bn=an+2,则bn+1=3bn,且b1=a1+2=3令 bn是b1=3为首项，公比q=3的等比数列bn=33n-1=3n即:an=3n-2n r an+1=pan(p0,an0)类型四： 分析：这种类型一般是等式两边取对数后得：lgan+1=rlgan+lgp，再采用类型二进行求解。 例4.设数列 an中， a1=1,an+1= 12 an(a0)an的通项公式。 a，求 an+1= 解：由 12 ana，两边取对数得: 1高中数学由递推公式求通项公式题型总结 a t=lg 1a lgan+1=2lgan+lg 设lgan+1+t=2(lgan+t)展开后与上式对比得： 原式可转化为lgan+1+lg 11=2(lgan+lg)aa高中数学由递推公式求通项公式题型总结