2020届高三上学期期末学业水平监测数学试题pdf版含答案

高三数学高三数学 一 填空题 一 填空题 1 已知集合 2 1 0 1 0ABx x 则AB 2 若复数z满足1 z ii 则z的实部为 3 右图是一个算法的流程图 则输出的S的值是 4 函数21 x y 的定义域是 5 已知一组数据 17 18 19 20 21 则该组数据的方差是 6 某校开设 5 门不同的选修课程 其中 3 门理科类和 2 门文科类 某同学从中任选 2 门课程 学习 则该同学 选到文科类选修课程 的概率是 7 已知函数 2 3 1 0 1 0 x x f x xx 则 8 f f 8 函数3sin 2 0 3 yxx 取得最大值时自变量x的值为 9 等比数列 n a中 若 1234 1 4 2 aaa a 成等差数列 则 17 a a 10 已知 cos 2 2 cos 则tan2 11 在平面直角坐标系xOy中 双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的右顶点为 A 过 A 做x轴 的垂线与 C 的一条渐近线交于点 B 若2OBa 则 C 的离心率为 12 已知函数 lg 2 f xx 互不相等的实数 a b满足 f af b 则4ab 的最小值为 13 在平面直角坐标系xOy中 圆 222 22210C xaxyaya 上存在点 P 到点 0 1 的距离为 2 则实数 a 的取值范围是 14 在ABC 中 3 A 点 D 满足 2 3 ADAC 且对任意 xR xACABADAB 恒 成立 则cosABC 二 解答题 15 在ABC 中 角 A B C的对边分别是 a b c 已知 3 1 cos 3 aB 1 若 3 A 求sinC的值 2 若2b 求c的值 16 如图 在四棱锥PABCD 中 PA 平面 ABCD 四边形ABCD是矩形 APAD 点 M N分别是线段 PD AC的中点 求证 1 MN平面PBC 2 PCAM 17 如图 在平面直角坐标系xOy中 椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的左右焦点分别为 12 F F 椭圆右顶点为A 点 2 F在圆 22 2 1xy 上 1 求椭圆 C 的标准方程 2 点M在椭圆 C 上 且位于第四象限 点 N 在圆 A 上 且位于第一象限 已知 13 2 AMAN 求直线 1 FM的斜率 18 请你设计一个包装盒 ABCD是边长为10 2cm的正方形纸片 切去阴影部分所示的四个 全等的等腰三角形 在沿虚线折起 使得 A B C D四个点重合于图 2 中的点 P 正好形成 一个正四棱锥形状的包装盒 图 2 所示 设正四棱锥 P EFGH 的底面边长为 x cm 1 若要求包装盒侧面积 S 不小于 75 2 cm 求x的取值范围 2 若要求包装盒容积 3 V cm最大 试问x应取何值 并求出此时包装盒的容积 19 已知函数 22 2 ln1 2 a f xaxxxxaR 1 若曲线 yf x 在1x 处的切线的斜率为 2 求函数 f x的单调区间 2 若函数 f x在区间 1 e 上有零点 求实数 a 的取值范围 20 设m为正整数 若两个项数都不小于m的数列 n A n B满足 存在正数 L 当nm 时 都有 nn ABL 则称数列 n A n B是 m L接近的 已知无穷数列 n a满足 32 841aa 无穷数列 n b的前 n 项和为 1 1 n S b 且 1 1 1 2 nnn nn S bb nN b b 1 求数列 n a的通项公式 2 求证 对任意正整数 m 数列 n a 2 1 n a 是 1 m接近的 3 给定正整数 m m 5 数列 1 n a 2 n bk 其中kR 是 m L接近的 求 L 的最小值 并求出此时的 k 均用 m 表示 参考数据ln20 69 附加题附加题 21 1 已知点 a b在矩阵 13 24 A 对应的变换作用下得到点 4 6 1 写出矩阵 A 的逆矩阵 2 求 a b 的值 21 2 求圆心在极轴上 且过极点与点 2 3 6 P 的圆的极坐标方程 22 批量较大的一批产品中有 30 的优等品 现进行重复抽样检查 共取 3 个样品 以 X 表示这 3 个 样品中的优等品的个数 1 求取出的 3 个样品中有优等品的概率 2 求随机变量 X 的概率分布及数学期望 E X 23 设集合 1 2 A 1 110 333 0 1 2 nn nnni At taaaa aA in nN 1 求 1 A中的所有元素的和 并写出集合 n A中元素的个数 2 求证 能将集合 n A 2 nnN 分 成 两 个 没 有 公 共 元 素 的 子 集 12 ss Bb bb 和 12 ll Cc ccs lN 使 得 222222 1212sl bbbccc 成立 高三数学 答案第 1 页 共 7 页 高三数学 参考答案 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共14 小题 每小题小题 每小题5 分 共计分 共计70分 分 1 1 1 2 1 3 104 05 26 10 7 7 5 1 8 12 9 64 10 22 11 212 1413 2 171 10 2 171 14 26 135 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共计小题 共计 90 分 分 15 本小题满分 14 分 解 1 在ABC 中 0 B 则sin0 B 因为 3 cos 3 B 所以 22 36 sin1 cos1 33 BB 3 分 在ABC 中 ABC 所以sin sin sin CABAB 5 分 所以sinsin sincoscossin 333 CBBB 331636 23236 8 分 2 由余弦定理得 222 2cos baacBc 则 22 3 2 12 3 cc 10 分 所以 2 2 3 10 3 cc 3 3 0 3 cc 12 分 因为 3 0 3 c 所以 30 c 即 3 c 14 分 16 本小题满分 14 分 证明 1 取PC BC的中点 E F 连结 ME EF FN 三角形PCD中 M E 为PD PC的中点 所以 EMCD 1 2 EMCD 三角形ABC中 F N 为 BC AC 的中点 所以 FNAB 1 2 FNAB 因为四边形ABCD是矩形 所以 ABCD ABCD 高三数学 答案第 2 页 共 7 页 从而 EMFN EMFN 所以四边形EMNF是平行四边形 4 分 所以 MNEF 又 EF平面PBC MN平面PBC 所以 MN平面PBC 6 分 2 因为 PA平面ABCD CD平面ABCD 所以 PACD 因为四边形ABCD是矩形 所以 ADCD 8 分 又因为 PAADA PA 平面PAD AD 平面PAD 所以 CD平面PAD 又 AM平面PAD 所以 CDAM 10 分 因为 APAD M 为PD的中点 所以 AMPD 又因为 PDCDD PD 平面PCD CD 平面PCD 所以 AM平面PCD 12 分 又 PC平面PCD 所以 PCAM 14 分 17 本小题满分 14 分 解 1 圆 A 22 2 1 xy的圆心 0 2 A 半径1 r 与 x 轴交点坐标为 0 3 0 1 点 2 F在圆 A 22 2 1 xy上 所以 0 1 2 F 从而2 a 1 c 所以312 2222 cab 所以椭圆C的标准方程为 1 34 22 yx 4 分 2 由题 设点 11 yxM 0 20 11 yx 点 22 yxN 0 0 22 yx 则 11 2 AMxy 22 2 ANxy 由 13 2 AMAN知点 A M N 共线 5 分 直线 AM 的斜率存在 可设为 k k 0 则直线 AM 的方程为 2 yk x 由 22 2 2 1 yk x xy 得 2 2 2 2 1 2 1 1 1 k x k kk y k 或 2 2 2 2 1 2 1 1 1 k x k kk y k 所以 22 22 11 2 11 kkk N kk 7 分 高三数学 答案第 3 页 共 7 页 由 22 2 1 43 yk x xy 得 2222 34 1616120 kxk xk 解得 2 0 x y 或 2 2 2 86 34 12 34 k x k k y k 所以 2 22 8612 3434 kk M kk 10 分 代入 13 2 AMAN得 222 2222 86121311 2 3434211 kkkkk kkkk 22 49 5251 0 kk 又 k 0 得 3 2 k 13 分 所以 2 3 1 M 又 0 1 1 F 可得直线MF1的斜率为 4 3 1 1 2 3 14 分 18 本小题满分 16 分 解 1 在图 1 中连结 AC BD 交于点 O 设 BD 与 FG 交于点 M 在图 2 中连结 OP 因为 ABCD 是边长为210cm 的正方形 所以 OB 10 cm 由 FG x 得 2 x OM 2 10 x BMPM 2 分 因为 22 10 xx OMPM 即所以100 x 4 分 因为 2 20 2 10 2 2 1 4xx x xPMFGS 6 分 由7520 2 xx 得15 5 x 所以105 x 答 x的取值范围是105 x 8 分 图 1 图 2 高三数学 答案第 4 页 共 7 页 2 因为在OMP RT中 222 PMOPOM 所以x xx OMPMOP10100 2 2 10 2222 5422 10100 3 1 10100 3 1 3 1 xxxxOPFGV 100 x 10 分 设 54 10100 xxxf 100 x 所以 8 5005004 343 xxxxxf 令0 x f 得08 xx或 舍去 12 分 列表得 所以当 x 8 时 函数 xf取得极大值 也是最大值 14 分 所以当 x 8 时 V 的最大值为 3 5128 答 当 x 8 cm 时 包装盒容积 V 最大为 3 5128 cm 3 16 分 19 本小题满分 16 分 1 函数 f x的定义域为 0 2 1 22 ln 2 2 1 ln222 1 ln1 fxaxxaxxaxaxxaxaxx x 2 分 则 1 2 1 2 fa 所以0 a 3 分 此时 2 ln1 f xxx 定义域为 0 2 ln1 fxx 令 0 fx 解得 1 e x 令 0 fx 解得 1 e x x 0 8 8 8 10 f x 0 f x 极大值 高三数学 答案第 5 页 共 7 页 所以函数 f x的单调增区间为 1 e 单调减区间为 1 0 e 6 分 2 函数 22 2 ln1 2 a f xaxxxx在区间 1 e 上的图象是一条不间断的曲线 由 1 知 2 1 ln1 fxaxx 1 当0a 时 对任意 1 e x 10 ln10 axx 则 0 fx 所以函数 f x在区 间 1 e 上单调递增 此时对任意 1 e x 都有 1 10 2 a f xf成立 从而函数 f x 在区间 1 e 上无零点 8 分 2 当0 a时 令 0 fx 得 1 e x或 1 a 其中 1 1 e 若 1 1 a 即1 a 则对任意 1 e x 0 fx 所以函数 f x在区间 1 e 上 单调递减 由题意得 1 10 2 a f 且 22 e e2ee10 2 a fa 解得 2 2 2e1 2 3e a 其中 2 22 2 2e1 3e4e2 1 0 3e3e 即 2 2 2e1 1 3e 所以a的取值范围是21 a 10 分 若 1 e a 即 1 0 e a 则对任意 1 e x 0 fx 所以函数 f x在区间 1 e 上单调递增 此时对任意 1 e x 都有 1 10 2 a f xf成立 从而函数 f x在 区间 1 e 上无零点 12 分 若 1 1e a 即 1 1 e a 则对任意 1 1 x a 0 fx 所以函数 f x在区 间 1 1 a 上单调递增 对任意 1 1 x a 都有 1 10 2 a f xf成立 对任意 1 e x a 0 fx 函数 f x在区间 1 e a 上单调递减 由题意得 22 e e2ee10 2 a fa 解得 2 2 2e1 3e a 其中 222 2 2e1 13e4e2e2 0 e3e3e3e 即 2 2 2e1 1 e3e 所以a的取值范围是 2 2 2e1 1 3e a 15 分 综上可得 实数a的取值范围是 2 2 2e1 2 3e a 16 分 高三数学 答案第 6 页 共 7 页 20 本小题满分 16 分 解 1 设等比数列 n a公比为q 由 32 8 4 1aa得 2 11 8 4 1a qa q 解得 1 1 2 aq 故 1 2 n n a 3 分 2 222 11113113 1 1 24224224 nn nnnn aa 5 分 对任意正整数m 当 n N 且nm 时 有 111 0 222 mn 则 2 11313 1 22444 n 即 2 1 1 nn aa 成立 故对任意正整数m 数列 n a 2 1 n a 是 1 m接近的 8 分 3 由 1 1 1 2 nnn nn S bb b b 得到 11 1 2 nnnnn S bbb b 且 1 0 nn bb 从而 1 0 nn bb 于是 1 1 2 nn n nn b b S bb 9 分 当1n 时 1 2 1 21 2 bb S bb 1 1 b 解得 2 2b 当2n 时 11 1 11 2 2 nnnn nnn nnnn b bbb bSS bbbb 又0 n b 整理得 11 2 nnn bbb 所以 11nnnn bbbb 因此数列 n b为等差数列 又因为 1 1 b 2 2 b 则数列 n b的公差为1 故 n bn 11 分 根据条件 对于给定正整数m 5m 当 n N且nm 时 都有 22 1 2 n n n bk nkL a 成立 即 22 22 nn LnkLn 对1 2 3 nm 都成立 12 分 考察函数 2 2xf xx 2 ln22 x fxx 令 2 ln22 x g xx 高三数学 答案第 7 页 共 7 页 则 2 2 ln2 2 x g x 当5x 时 0g x 所以 g x在 5 上是增函数 又因为 5 5 2 ln2 100g 所以当5x 时 0g x 即 0fx 所以 f x在 5 上是增函数 注意到 1 1f 2 4 0ff 3 1f 5 7f 故当1 2 3 nm 时 2 2nLn 的最大值为 2 2mLm 2 2nLn 的最小值为1L 14 分 欲使满足 的实数k存在 必有 2 21 m LmL 即 2 21 2 m m L 因此L的最小值 2 21 2 m m 此时 2 21 2 m m k 16 分 高三数学 答案第 1 页 共 2 页 数学 附加题 参考答案 21 选做题 在 选做题 在 A B C 三小题中只能选做两题三小题中只能选做两题 每小题 每小题 10 分 共计分 共计 20 分 分 A 解 1 1 3 2 2 1 1 2 A 4 分 2 点 a b在矩阵 1 3 2 4 A 对应的变换作用下得到点 4 6 所以 4 6 A a b 6 分 所以 1 3 2 441 2 6161 1 2 A a b 8 分 所以1 1 ab 得2 ab 10 分 B 解 因为所求圆的圆心在极轴上 且过极点 故可设此圆的极坐标方程是2 cos r 又因为点 2 3 6 P在圆上 所以2 32 cos 6 r 解得2 r 因此所求圆的极坐标方程是4cos 10分 C 解 函数 26 1 xx y x 的定义域为 0 10 x 2 分 2 26 1 4 1 999 1 42 1 42 1111 xxxx xx xxxx 当且仅当 9 1 1 x x 即4 x时取到 8 分 所以当4 x时 函数 26 1 xx y x 的最小值为 2 10 分 必做题 第 必做题 第 22 题 第题 第 23 题 每题题 每题 10 分 共计分 共计 20 分 分 22 解 1 记 取出的 3 个样品中有优等品 为事件 A 则A表示 取出的 3 个样品 中没有优等品 3 343 1 0 3 1000 P A 所以 343657 11 10001000 P AP A 3 分 答 取出的 3 个样品中有优等品的概率是 657 1000 4 分 2 3 0 3 XB 3 3 0 3 1 0 3 0 1 2 3 kkk P XkCk 6 分 随机变量 X 的分布如下表 高三数学 答案第 2 页 共 2 页 X0123 P 343 1000 441 1000 189 1000 27 1000 8 分 10 9 1000 27 3 1000 189 2 1000 441 1 1000 343 0 XE 答 随机变量 X 的数学期望是 10 9 10 分 23 解 1 110 3 0 14 5 7 8 i At taaaA i其中 所以 1 A中所有元素的和为 24 集合 n A中元素的个数为 1 2 n 2 分 2 取2 n sl 下面用数学归纳法进行证明 当2 n时 2 13 14 16 17 22 23 25 26