高考数学一轮复习 第三章 数列课件 文 新人教A版.ppt

考向案 高频考点一 等差数列 1 2012年江西卷 观察下列事实 x y 1的不同整数解 x y 的个数为4 x y 2的不同整数解 x y 的个数为8 x y 3的不同整数解 x y 的个数为12 则 x y 20的不同整数解 x y 的个数为 a 76 b 80 c 86 d 92 整数解 x y 的个数为4n 所以 20的不同整数解 x y 的个数为80 故应选b 答案 b 解析 通过观察可以发现 的值为1 2 3时 对应的 x y 的不同整数解个数为4 8 12 可推出当 n时 对应的不同 2 2011年江西卷 设 an 为等差数列 公差d 2 sn为其前n项和 若s10 s11 则a1等于 a 18 b 20 c 22 d 24 解析 由s10 s11 得a11 s11 s10 0 a1 a11 1 11 d 0 10 2 20 故选b 答案 b 从江西卷近几年试题的命题特点可以看出 不仅有单独考查等差数列的基本内容 也有以数列为背景综合考查学生对知识之间的联系和把握 考查学生的基本能力和思维方式 试题的位置一般靠前 以小题为主 主要是基础题 要求学生有一定的推理和运算能力 所以我们在复习的过程中要注意培养学生这方面的能力 角度探究 1 在等差数列 an 中 已知a4 a8 16 则a2 a10等于 a 12 b 16 c 20 d 24 解析 法一 由性质得a4 a8 a2 a10 16 法二 设首项为a1 公差为d 则a4 a8 2a1 10d 16 a2 a10 2a1 10d 16 答案 b 案例落实 2 设等差数列 an 满足a3 5 a10 9 1 求 an 的通项公式 2 求 an 的前n项和sn及使得sn最大的序号n的值 2 由 1 知sn na1 d 10n n2 因为sn n 5 2 25 所以当n 5时 sn取得最大值 解析 1 由an a1 n 1 d及a3 5 a10 9得解得 数列 an 的通项公式为an 11 2n 3 设 an 是公比不为1的等比数列 其前n项和为sn 且a5 a3 a4成等差数列 1 求数列 an 的公比 2 证明 对任意的k n sk 2 sk sk 1成等差数列 解析 1 设数列 an 的公比为q q 0 q 1 由a5 a3 a4成等差数列 得2a3 a5 a4 即2a1q2 a1q4 a1q3 由a1 0 q 0得q2 q 2 0 解得q1 2 q2 1 舍去 所以q 2 2 法一 对任意的k n sk 2 sk 1 2sk sk 2 sk sk 1 sk ak 1 ak 2 ak 1 2ak 1 ak 1 2 0 所以 对任意的k n sk 2 sk sk 1成等差数列 法二 对任意的k n 2sk sk 2 sk 1 2sk sk 2 sk 1 2 1 qk 2 qk 2 qk 1 q2 q 2 0 因此 对任意的k n sk 2 sk sk 1成等差数列 1 2012年江西卷 等比数列 an 的前n项和为sn 公比不为1 若a1 1 且对任意的n n 都有an 2 an 1 2an 0 则s5 解析 设数列的公比为q 由an 2 an 1 2an 0 得anq2 anq 2an 0 显然an 0 所以q2 q 2 0 又q 1 解得q 2 又a1 1 所以s5 11 答案 11 高频考点二 等比数列 2 2011年江西卷 1 已知两个等比数列 an bn 满足a1 a a 0 b1 a1 1 b2 a2 2 b3 a3 3 若数列 an 唯一 求a的值 2 是否存在两个等比数列 an bn 使得b1 a1 b2 a2 b3 a3 b4 a4成公差不为0的等差数列 若存在 求出 an bn 的通项公式 若不存在 说明理由 即aq2 4aq 3a 1 0 由a 0得 4a2 4a 0 故方程有两个不同的实根 再由 an 唯一 知方程必有一根为0 将q 0代入方程得a 解析 1 设 an 的公比为q 则b1 1 a b2 2 aq b3 3 aq2 由b1 b2 b3成等比数列得 2 aq 2 1 a 3 aq2 则b2 a2 b1q2 a1q1 b3 a3 b1 a1 b4 a4 b1 a1 由b1 a1 b2 a2 b3 a3 b4 a4成等差数列得 2 假设存在两个等比数列 an bn 使b1 a1 b2 a2 b3 a3 b4 a4成公差不为0的等差数列 设 an 的公比为q1 bn 的公比为q2 即 q2 得a1 q1 q2 q1 1 2 0 由a1 0得q1 q2或q1 1 当q1 q2时 由 得b1 a1或q1 q2 1 这时 b2 a2 b1 a1 0与公差不为0矛盾 当q1 1时 由 得b1 0或q2 1 这时 b2 a2 b1 a1 0与公 差不为0矛盾 综上所述 不存在两个等比数列 an bn 使b1 a1 b2 a2 b3 a3 b4 a4成公差不为0的等差数列 从江西近几年试题的命题特点可以看出 不仅有单独考查等比数列的基本内容 也有以数列为背景综合考查学生对知识之间的联系和把握 试题有一定的运算强度 对推理论证能力和问题的转换能力有较高的要求 同时也考查学生的思维方式和心理素质 所以我们在复习的过程中一定要注意这方面的训练 角度探究 1 若等比数列 an 满足a2a4 则a1a5 解析 因为a2a4 所以a1a5 答案 案例落实 2 已知数列 an 的前n项和为sn 且sn 2n2 n n n 数列 bn 满足an 4log2bn 3 n n 1 求an bn 2 求数列 an bn 的前n项和tn 2 由 1 知an bn 4n 1 2n 1 n n 所以tn 3 1 7 21 11 22 4n 1 2n 1 2tn 3 2 7 22 11 23 4n 5 2n 1 4n 1 2n 所以2tn tn 4n 1 2n 3 4 2 22 2n 1 4n 5 2n 5 n n tn 4n 5 2n 5 n n 解析 1 由sn 2n2 n 得当n 1时 a1 s1 3 当n 2时 an sn sn 1 4n 1 所以an 4n 1 n n 由4n 1 an 4log2bn 3 bn 2n 1 n n 3 成等差数列的三个正数的和等于15 并且这三个数分别加上2 5 13后成为等比数列 bn 中的b3 b4 b5 1 求数列 bn 的通项公式 2 数列 bn 的前n项和为sn 求证 数列 sn 是等比数列 所以 bn 中的b3 b4 b5依次为7 d 10 18 d 依题意 有 7 d 18 d 100 解得d 2或d 13 舍去 故 bn 的第3项为5 公比为2 由b3 b1 22 即5 b1 22 解得b1 解析 1 设成等差数列的三个正数分别为a d a a d 依题意 得a d a a d 15 解得a 5 2 数列 bn 的前n项和sn 5 2n 2 即sn 5 2n 2 所以s1 2 因此 sn 是以为首项 公比为2的等比数列 所以 bn 是以为首项 2为公比的等比数列 其通项公式为bn 2n 1 5 2n 3 高频考点三 求和与递推数列 1 2008年江西卷 在数列 an 中 a1 2 an 1 an ln 1 则an等于 a 2 lnn b 2 n 1 lnn c 2 nlnn d 1 n lnn 解析 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 2 ln2 ln ln 2 lnn 答案 a 2 2012年新课标全国卷 数列 an 满足an 1 1 nan 2n 1 则 an 的前60项和为 a 3690 b 3660 c 1845 d 1830 解析 由an 1 1 nan 2n 1得 an 2 1 nan 1 2n 1 1 n 1 n 1an 2n 1 2n 1 an 1 n 2n 1 2n 1 即an 2 an 1 n 2n 1 2n 1 也有an 3 an 1 1 n 2n 1 2n 3 两式相加得an an 1 an 2 an 3 2 1 n 4n 4 设k为整数 则a4k 1 a4k 2 a4k 3 a4k 4 2 1 4k 1 4 4k 1 4 16k 10 于是s60 a4k 1 a4k 2 a4k 3 a4k 4 16k 10 1830 答案 d 3 2012年江西卷 已知数列 an 的前n项和sn kcn k 其中c k为常数 且a2 4 a6 8a3 1 求an 2 求数列 nan 的前n项和tn 解析 1 由sn kcn k 得an sn sn 1 kcn kcn 1 n 2 由a2 4 a6 8a3 得kc c 1 4 kc5 c 1 8kc2 c 1 解得所以a1 s1 2 an kcn kcn 1 2n n 2 于是an 2n 2 tn iai i 2i 即 tn 2 2 22 3 23 4 24 n 2n tn 2tn tn 2 22 23 24 2n n 2n 1 2n 1 2 n 2n 1 n 1 2n 1 2 从江西近几年试题的命题特点可以看出 递推关系正在淡化 求和仍是命题的重点 特别是常见的求和方法 如公式法 错位相减法 裂项法等必须熟练掌握 试题有一定的运算强度 对推理论证能力和问题的转换能力有较高的要求 试题往往以等差 等比为背景考查学生的综合能力 角度探究 案例落实 1 数列 an 的通项公式an ncos 其前n项和为sn 则s2012等于 a 1006 b 2012 c 502 d 0 解析 an ncos 所以a1 cos 0 a2 2cos 2 a3 3cos 0 a4 4cos2 4 可见 前2012项的所有奇数项为0 1006个偶数项依次为 2 4 6 8 发现依次相邻两项的和为2 所以s2012 1006 答案 a 2 已知等差数列 an 前三项的和为 3 前三项的积为8 1 求等差数列 an 的通项公式 2 若a2 a3 a1成等比数列 求数列 an 的前n项和 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 则a2 a1 d a3 a1 2d 由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得 an 2 3 n 1 3n 5或an 4 3 n 1 3n 7 故an 3n 5或an 3n 7 2 当an 3n 5时 a2 a3 a1分别为 1 4 2 不成等比数列 当an 3n 7时 a2 a3 a1分别为 1 2 4 成等比数列 满足条件 故 an 3n 7 记数列 an 的前n项和为sn 当n 1时 s1 a1 4 当n 2时 s2 a1 a2 5 当n 3时 sn s2 a3 a4 an 5 3 3 7 3 4 7 3n 7 5 n2 n 10 当n 2时 也满足此式 综上 sn 3 等比数列 an 中 a1 a2 a3分别是下表第一 二 三行中的某一个数 且a1 a2 a3中的任何两个数不在下表的同一列 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足bn an 1 nlnan 求数列 bn 的前2n项和s2n 解析 1 当a1 3时 不合题意 当a1 2时 当且仅当a2 6 a3 18时 符合题意 当a1 10时 不合题意 因此a1 2 a2 6 a3 18 所以公比q 3 故an 2 3n 1 2 bn an 1 nlnan 2 3n 1 1 nln 2 3n 1 2 3n 1 1 n ln2 n 1 ln3 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 s2n b1 b2 b2n 2 1 3 32n 1 1 1 1 1 2n ln2 ln3 1 2 3 1 2n 2n ln3 2 nln3 32n nln3 1 一 选择题 本大题共10小题 每小题5分 1 基础再现 已知等差数列 an 的公差为2 若a1 a3 a4成等比数列 则a2等于 a 4 b 6 c 8 d 10 解析 由题意得 a2 2 2 a2 2 a2 4 a2 6 答案 b 2 基础再现 设 an 是公差不为0的等差数列 a1 2 且a1 a3 a6成等比数列 则 an 的前n项和sn等于 a n2 n b c d 所以数列 an 的前n项和sn 2n d 答案 d 解析 设数列 an 的公差为d 则根据题意得 2 2d 2 2 2 5d 解得 d 或d 0 舍去 3 基础再现 记等差数列前n项和为sn 若s2 4 s4 20 则该数列公差d为 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 依题意a1 a2 4 a1 a2 a3 a4 20 a3 a4 16 a1 a2 4d 16 4 4d 16 d 3 答案 c 4 基础再现 已知等比数列 an 的前n项和为sn 且s3 7a1 则数列 an 的公比q的值为 a 2 b 3 c 2或 3 d 2或3 解析 s3 7a1 a2 a3 6a1 a1q a1q2 6a1 a1 0 q2 q 6 0 解得q 2或 3 答案 c 5 视角拓展 在数列 an 中 a1 9 an 1 则a4等于 a 12 b 14 c 21 d 22 解析 由题知 a4 a3 1 2a2 1 2 a1 1 1 21 答案 c 6 视角拓展 设等差数列 an 的前n项和为sn am am 1 an 1 0 m n 则sm n等于 a b m n c 0 d 1 am an 1 0 又 a1 am n am an 1 0 sm n 0 答案 c 解析 am am 1 an 1 0 0 又 n m n m 2 0 7 高度提升 在等比数列 an 中 若a1 a2 a3 a4 a2a3 则 等于 a b c d 解析 原式 答案 b 8 高度提升 设等差数列 an 的公差d不为0 且a1 9d 若ak是a1与a2k的等比中项 k 1且k n 则实数k等于 a 2 b 4 c 6 d 8 答案 b 解析 由题意知an a1 n 1 d n 8 d 又 a1 a2k k 8 2d2 9d 2k 8 d k2 16k 64 18k 72 k2 2k 8 0 解得k 4或k 2 舍 9 能力综合 已知数列 an 满足a1 2 a2 1 且 n 2 则此数列的第10项为 a b c d 即an an 1 an 1an 得 所以数列 是首项为 公差为的等差数列 所以 10 1 5 从而a10 答案 d 解析 由 知数列 是常数列 所以 10 能力综合 已知数列 an 中 a1 b b 0 an 1 n n 能使an b的n可以等于 a 14 b 15 c 16 d 17 an 为周期是3的数列 a16 a1 b 故选c 答案 c 解析 a1 b a2 a3 a4 b 11 基础再现 在数列 an 中 a1 1 an 1 an 2n 1 n n 则a10 解析 由an 1 an 2n 1 得a2 a1 1 a3 a2 3 a10 a9 17 相加得a10 a1 1 3 5 17 a10 82 答案 82 二 填空题 本大题共5小题 每小题5分 12 基础再现 在数列 xn 中 n 2 且x2 x4 则x10 解析 得x3 且 为等差数列 公差d 10 2 x10 答案 13 视角拓展 已知正项数列 an 中 a1 1 a2 2 2 n 2 则a6等于 解析 2 由等差中项的定义可知 是以 1为首项的等差数列 d 3 1 n 1 3 3n 2 an a6 4 答案 4 14 高度提升 在等差数列 an 中 a3 a5 16 若对任意正整数n都有a1 a2 a3 an an2 bn 其中a b为常数 则128a 2b的最小值为 解析 设公差为d 则2a1 6d 16 a1 3d 8 an 的前n项和sn na1 d n2 a1 n a b a1 a1 a b d 2a a b 3 2a 8 即7a b 8 128a 2b 27a 2b 2 2 32 等号成立条件为a b 4 答案 32 15 能力综合 设sn为数列 an 的前n项和 若 n n 是非零常数 则称该数列为 和等比数列 若数列 cn 是首项为2 公差为d d 0 的等差数列 且数列cn是 和等比数列 则d 所以当d 4时 为非零常数 答案 4 解析 由题意可知 数列 cn 的前n项和为sn 前2n项的和为s2n 所以 2 2 16 基础再现 已知等差数列 an 的前n项和为sn 且a2 1 s11 33 1 求 an 的通项公式 2 设bn 求证 bn 是等比数列 并求其前n项和tn 三 解答题 本大题共6小题 共75分 an 2 bn bn 是以b1 为首项 为公比的等比数列 前n项和tn 1 解析 1 17 基础再现 设数列 an 是公差为d d 0 的等差数列 sn为 an 的前n项和 已知s4 24 a2 a3 35 1 求数列 an 的通项公式 2 若bn 且 bn 的前n项和为tn 求tn d 2 a1 3 an 2n 1 2 bn tn 解析 1 s4 2 a2 a3 24 即a2 a3 12 又a2 a3 35 d 0 得 a2 5 a3 7 18 视角拓展 已知等差数列 an 中 首项a1 1 公差d为整数 且满足a1 3a4 数列 bn 满足bn 其前n项和为sn 1 求数列 an 的通项公式an 2 若s2为s1 sm m n 的等比中项 求正整数m的值 2 bn sn 1 s1 s2 sm s2为s1 sm m n 的等比中项 sms1 即 2 解得m 12 解析 1 由题意 得解得 d 又d z d 2 an 1 2 n 1 2n 1 19 高度提升 若数列 an 的前n项和sn 2n 1 求 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足b1 1 bn 1 bn 2n 1 且cn 求数列 cn 的通项公式及其前n项和tn 解析 1 由题意sn 2n 得sn 1 2n 1 n 2 两式相减 得an 2n 2n 1 2n 1 n 2 当n 1时 21 1 1 s1 a1 2 an 2 bn 1 bn 2n 1 b2 b1 1 b3 b2 3 b4 b3 5 bn bn 1 2n 3 以上各式相加 得bn b1