广东部分学校高三数学热身训练卷一新课标人教

2006年广东省部分学校高三数学考前热身训练卷一1.如图，在底面为菱形的四棱锥PABCD中，PAACa，点E在PD上，且PE：ED2：1 （1）求证：平面ABCD （II）求面EAC与面DAC所成的二面角的大小 （I）证明：底面ABCD是菱形，且 在中， ，即 同理， （II）解：作EG/PA交AD于G ，平面ABCD 作于H，连结EH，平面EHG 是面EAC与面DAC所成二面角的平面角 在中， ， 即面EAC与面DAC所成二面角的大小为2.已知函数的图象过点（2，3），且满足，设 （I）求的表达式；（II）是否存在正实数p，使在（）上是增函数，在上是减函数？若存在，求出p；若不存在，请说明理由。 解：（I）令，则 ， ，即 （II） ，假设存在正实数p，使在（）上是增函数，在（3，0）上是减函数 ，解得 当时， 当时， 在（）上是增函数 当时， 在（3，0）上是减函数存在正实数，使得在（）上是增函数，在（3，0）上是减函数3. 如图，已知的面积为m，且 （I）若，求向量与的夹角的取值范围； （II）设，且。若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点P，当取得最小值时，求此椭圆的方程。 解：（）的面积为m，设向量与的夹角为 ， 由、得： 即向量与的夹角的取值范围为 （II）如图，以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系 设，P点坐标为（x0，y0） ， ， 设，当时，任取 有 当时， ，在2，）上是增函数 当时，为最小，从而为最小，此时P（） 设椭圆的方程为，则 故椭圆的方程为4（本小题满分12分）已知向量=（sinB，1cosB)，且与向量（2，0）所成角为，其中A, B, C是ABC的内角 （1）求角的大小； （2）求sinA+sinC的取值范围4. 解：（1）=（sinB，1-cosB) , 且与向量（2，0）所成角为tan 此问可由=从而即B=（2）：由（1）可得当且仅当 5.已知在平面直角坐标系中，向量，且 .（1）设的取值范围；（2）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且取最小值时，求椭圆的方程.5 解：（1）由，得 夹角的取值范围是（）（2） 当且仅当或 椭圆长轴 或故所求椭圆方程为.或 6. 已知：在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB = a，AA1 = 2a . D是侧棱BB1的中点.求证：（）求证：平面ADC1平面ACC1A1；（）求平面ADC1与平面ABC所成二面角的大小；（）求点B到平面ADC1的距离.6证明：解法一：（）取AC、A1C1的中点N、N1，连结NN1交AC1于M，连MD，则NN1 = CC1于是NM = BD， BDMN是矩形， DNBNABCA1B1C1是直三棱柱 平面ABC平面ACC1A1BNACBN平面ACC1A1 DM平面ADC1因此平面ADC1平面ACC1A1 （）S DM = BN = AC1 =a S由S. 其中是平面ADC1与平面ABC所成二面角的大小：cos= arccos （）作NQAC1于Q. NBMD，MD平面ADC1 NB平面ADC1，因此点B到平面ADC1的距离等于点N到平面ADC1的距离，即为NQ的长，在直角三角形ACC1中，过C点作斜边AC1的高为h 由AC1h = ACCC1 即a h = a2a h =a QN = 即B点到平面ADC1的距离为 解法二： （）以A点为原点，AA1为z轴，AB为y轴，过A点与AB垂直的直线为x轴，如图建立空间直角坐标系. 则 A（0，0，0） B（0，a，0） C（） D（0，a，a） C1（） 取AC1的中点M，则M点坐标为（a，a，a） = (0，a，a) =（0，a，0） AC1DM，ACDMDM平面ACC1A1又DM平面ADC1平面ADC1平面ACC1A1 （）设平面ADC1的法向量=（x，y，z） (x，y，z) = 0 =（0，a，a）（x，y，z）= 0 即 不妨取 平面ABC的法向量为=（0，0，2a） 平面ABC的平面ADC1的夹角为 cos= = （）点B到平面ADC1的距离为d， 则 d = = = 7. 已知、是两个不共线的向量，且=（4cos，3sin）, =（3cos，4sin） （）求证：+与垂直； （）若（），=，且|+| = ，求sin.7解：（1）=（4cos，3sin）， =（3cos，4sin）| = | = 5 又（+）（）=22=|2|2 = 2 （+）（） （2）|+|2 =（+）2 = |2 +|2 +2= 50 + 2= 又= 12（cos）= （9分） 0 sin（）= sin = sin（）cos = 8.一个计算装置有一个数据入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列，结果表明：从 A口输入时，从B口得；当时，从A口输入，从B口得的结果是将前一结果先乘以自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第个奇数试问：从 A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？从 A口输入100时，从B口得到什么数？说明理由.8解：（1）由题意知 - 所以从 A口输入2和3时，从B口分别得到和 （2）猜想 - 下面用数学归纳法证明）当时，猜想显然成立 ）假如时，猜想成立， 即，那么时，= = -10分猜想成立，因此对一切正整数，猜想也成立当时，即在从 A口输入2006时，从B口得到 - 9定义一种运算“”为，那么函数（）的值域为_ 10已知函数f (x)的定义域为R，且 , 则f (2006)=_.11.数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”，对于nN*满足以下运算性质：（1）2*2 = 1，（2）（2n + 2）* 2 = 3（2n * 2）. 则2n*2用含n的代数式表示为 _.312.对定义域分别是、的函数、，规定：函数（1）若函数，写出函数的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域；（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为的函数，及一个的值，使得，并予以证明解（1）（2）当若其中等号当x=2时成立，若其中等号当x=0时成立，函数（3）解法一令则于是解法二令，则于是13. 甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为，乙射击一次命中10环的概率为s。若他们各自独立地射击两次，乙至少有一次命中10环的概率为，表示甲与乙命中10环的次数的差的绝对值。 (1)求s的值；(2)的所有可能值有哪些？取这些值时的概率分别是多少？13、解:(1)依题意知， s= （2）的取值可以是0，1，2.1、 乙两人命中10环的次数均为0次的概率是，1、 乙两人命中10环的次数均为1次的概率是，1、 乙两人命中10环的次数均为2次的概率是，(=0)= 甲命中10环的次数为2次且乙命中10环的次数为0次的概率是，甲命中10环的次数为0次且乙命中10环的次数为2次的概率是(=2)=， (=1)=1(=0)(=2)=部分学校考前热身训练题(2)1.（满分13分）已知,若是的真子集,求实数m的取值范围.2（本小题满分13分）设函数的最大值为M，最小正周期为T （1）求M T；(2)若有10个互不相等的正数满足，且，求的值 4 （本小题满分12分）正四面体A-BCD的棱长为1，（）如图(1)M为CD中点，求异面直线AM与BC所成的角；（）将正四面体沿AB BD DC BC剪开，作为正四棱锥的侧面如图(2)，求二面角M-AB-E的大小；（）若将图(1)与图(2)面ACD重合，问该几何体是几面体（不需要证明），并求这几何体的体积 5（本题满分14分）对于任意实数，符号表示的整数部分，即是不超过的最大整数 在实数轴（箭头向右）上是在点左侧的第一个整数点，当是整数时就是 这个函数叫做“取整函数”也叫高斯（Gauss）函数 从的定义可得下列性质： 与有关的另一个函数是，它的定义是=-，称为的“小数部分” （1）根据上文，求的取值范围和的值； （2）求的和 6.（本小题满分12分）已知函数f（x）=log2（x+m），且f（0）、f（2）、f（6）成等差数列.（1）求实数m的值；（2）若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c成等比数列，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论.7.（本小题满分12分）在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且，（1）求角A的度数；（2）若a=，b+c=3，求b和c的值.8.（满分13分）已知函数,），且 （1）若，且函数的值域为，求表达式； （2）在（1）的条件下，当是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设为偶函数，判断能否大于0. 9 （本题满分14分）过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在轴上，且使得MF为的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点” 求椭圆的“左特征点”M的坐标；试根据中的结论猜测：椭圆的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论 10 （14分）有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割 焊接成一个长方体无盖容器（切 焊损耗忽略不计），有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）,（I）请你求出这种切割 焊接而成的长方体的最大容积V；（II）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积VV x图（a） 图（b） 11.（本小题满分12分）如图，点F（a，0）（a0），点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且0.（1）求点N的轨迹C的方程；（2）过点F（a，0）的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设点K（a，0），与的夹角为，求证：00，解得m=2.6分（2）由f（x）=log2（x+2），可得2f（b）=2log2（b+2）=log2（b+2）2，f（a）+f（c）=log2（a+2）+log2（c+2）=log2（a+2）（c+2），8分a、b、c成等比数列，b2=ac，9分又a、b、c是两两不相等的正数，故（a+2）（c+2）=ac+2（a+c）+4ac+4+4=b2+4b+4=（b+2）2，10分log2（a+2）（c+2）log2（b+2）2，即f（a）+f（c）2f（b）12分7.（1）由已知得21cos（B+C）（2cos2A1）=，2分cos（B+C）=cosA，3分 4cos2A4cosA+1=0，（2cosA1）2=0，即cosA=.5分 A=60.6分（2）a2=b2+c22bccosA=b2+c2bc=（b+c）23bc，a=，b+c=3，8分 3=93bc，bc=2， 10分由解之得或.12分8. 【解】（1） ， 又时， 5分 （2） = 当 或 时，即或时单调 （3）为偶函数， ， ， 不妨设， 故能大于09解：（1）设为椭圆的左特征点，由椭圆的左焦点为，可设直线AB的方程为，代入 得 即设，则被轴平分 即于是，即（2）对于椭圆于是猜想：椭圆的“左特征点”是椭圆的左准线与轴的交点证明：设椭圆的左准线与轴相交于M点，过A B分别作的垂线，垂足分别为C D，据椭圆的第二定义：即 于是，即为的平分线，故M为椭圆的“左特征点” 10解：（I）设切去正方形边长为，则焊接成的长方体的底面边长为,高为,所以,于是 令,得(舍去) 而,又当时, ,当，故第二种方案符合要求 1 3 图 图 图 4 图 图另外，还可以如图=24= ；还可以如图= 11.（1）（方法一）设N（x，y），=0，即P是MN的中点，M（x，0），P（0，），2分=0，PMPF，4分 =1，y2=4ax即为所求.6分（方法二）设N（x，y），M（x0，0），P（0，y0）则2分由=0，得ax0+y02=0，由+=0，得（x+x0，y2y0）=0，4分即代入得，y2=4ax即为所求.6分（2