高考数学总复习 第三篇 三角函数、解三角形第2讲 用导数研究函数的单调性、极值与最值课件 理.ppt

2014年高考浙江会这样考 1 考查利用导数研究函数的单调性 求函数的单调区间 极值 最值 2 考查求多项式函数的导数 给出函数的单调区间求函数解析式中某些参数的值或取值范围 第2讲用导数研究函数的单调性 极值与最值 考点梳理1 导数与函数单调性的关系函数y f x 在某个区间内可导 若f x 0 则f x 在这个区间内 若f x 0 则f x 在这个区间内 单调递增 单调递减 2 函数的极值 1 极值点与极值设函数f x 在点x0及附近有定义 且在x0两侧的单调性相反或导数值 则x0为函数f x 的极值点 f x0 为函数的极值 2 极大值点与极小值点 若先增后减 导数值先正后负 则x0为点 若先减后增 导数值先负后正 则x0为点 异号 极大 极小 3 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小值 f b 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 3 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤如下 求f x 在 a b 内的极值 将f x 的各极值与比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 f a f b 助学 微博 一个考情解读本讲内容是高考的必考内容 主要以解答题的形式考查利用导数研究函数的单调性 求函数的单调区间 求函数的极值 也有可能以解答题的形式考查导数与解析几何 不等式 三角函数等知识相结合的问题 综合题一般作为压轴题出现 难度较大 1 已知函数y f x 的导函数的图象如图所示 则函数y f x 的图象最可能是 解析由导函数f x 的图象可知 当x 0 时 f x 0 故f x 在x 0 上单调递增 当x 0 2 时 f x 0 故f x 在x 2 上单调递增 结合选项可知 应选c 答案c 答案b 答案d 答案d 5 2012 扬州检测 若函数f x x3 x2 mx 1是r上的单调增函数 则m的取值范围是 审题视点 对于 2 由f x 0和f x 0 或令f x 0解方程列表 可求 3 由f x 0转化为不等式恒成立问题 3 函数g x f x x3 ex x2 x c ex 有g x 2x 1 ex x2 x c ex x2 3x c 1 ex 因为函数g x 在x 3 2 上单调递增 所以h x x2 3x c 1 0在x 3 2 上恒成立 只要h 2 0 解得c 11 所以c的取值范围是 11 方法锦囊 1 当f x 不含参数时 可通过解不等式f x 0 或f x 0 直接得到单调递增 或递减 区间 2 当f x 含参数时 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况 大多数情况下 这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论 在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论 在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论 2 由 1 知f x 2x3 3x2 12x 1 f x 6x2 6x 12 6 x 1 x 2 令f x 0 即6 x 1 x 2 0 解得x 2或1 当x 2 时 f x 0 故f x 在 2 上为增函数 当x 2 1 时 f x 0 故f x 在 2 1 上为减函数 当x 1 时 f x 0 故f x 在 1 上为增函数 从而函数f x 在x 2处取得极大值f 2 21 在x 1处取得极小值f 1 6 方法锦囊 1 注意极大值与极小值的判断 2 已知极值求参数的值 注意f x0 0是可导函数y f x 在x0处取得极值的必要不充分条件 当a 0时 随x的变化 f x 与f x 的变化情况如下 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如表 方法锦囊 在解决类似的问题时 首先要注意区分函数最值与极值的区别 求解函数的最值时 要先求函数y f x 在 a b 内所有使f x 0的点 再计算函数y f x 在区间内所有使f x 0的点和区间端点处的函数值 最后比较即得 训练3 2012 北京 已知函数f x ax2 1 a 0 g x x3 bx 1 若曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 求a b的值 2 当a 3 b 9时 若函数f x g x 在区间 k 2 上的最大值为28 求k的取值范围 解 1 f x 2ax g x 3x2 b 因为曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 所以f 1 g 1 且f 1 g 1 即a 1 1 b 且2a 3 b 解得a 3 b 3 2 记h x f x g x 当a 3 b 9时 h x x3 3x2 9x 1 h x 3x2 6x 9 令h x 0 得x1 3 x2 1 h x 与h x 在 2 上的情况如下 考向四利用导数求参数的取值范围问题 例4 2012 新课标全国 设函数f x ex ax 2 1 求f x 的单调区间 2 若a 1 k为整数 且当x 0时 x k f x x 1 0 求k的最大值 审题视点 1 求函数的导数 对字母a进行分类讨论 根据导函数值的正负得到函数的单调区间 2 将原不等式转化为k g x 的形式 利用导数法求出函数g x 的值域 进而得到整数k的最大值 由 1 知 函数h x ex x 2在 0 上单调递增 而h 1 0 h 2 0 所以h x 在 0 上存在唯一的零点 故g x 在 0 上存在唯一的零点 设此零点为 则 1 2 当x 0 时 g x 0 当x 时 g x 0 所以g x 在 0 上的最小值为g 又由g 0 可得e 2 所以g 1 2 3 由于 式等价于k g 故整数k的最大值为2 方法锦囊 已知函数的单调性 求参数的取值范围 应用条件f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 解出参数的取值范围 一般可用不等式恒成立的理论求解 应注意参数的取值是f x 不恒等于0的参数的范围 规范解答4高考中导数法求函数最值问题 命题研究 通过近三年高考试题分析 题型有 判断已知函数的单调区间 证明函数的单调性 求函数极大值 极小值 最大值 最小值 考查形式多为解答题 有少量题目出现在选择题 填空题中 难度为中档或中档偏上 真题探究 本小题满分14分 2012 江西 已知函数f x ax2 bx c ex在 0 1 上单调递减且满足f 0 1 f 1 0 1 求a的取值范围 2 设g x f x f x 求g x 在 0 1 上的最大值和最小值 规范解答 1 由f 0 1 f 1 0 得c 1 a b 1 1分 则f x ax2 a 1 x 1 ex f x ax2 a 1 x a ex 依题意对于任意x 0 1 有f x 0时 因为二次函数y ax2 a 1 x a的图象开口向上 而f 0 a 0 所以f 1 a 1 e 0 即0 a 1 3分 阅卷老师手记 1 本题的难点是分类讨论 考生在分类时易出现不全面 不准确的情况 2 思维不流畅 答题不规范 是解答中的突出问题 3 对于设问较多的题目 一般前面的问题较简单 问题难度阶梯式上升 先由条件将前面的问题正确解答 然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件 注意问题