高考数学总复习 8.4轨迹问题课件 人教版.ppt

第四讲轨迹问题 一 曲线与方程在选定的直角坐标系下 如果某曲线c上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下关系 曲线c上的点的坐标是方程f x y 0的解 且以方程f x y 0的解为坐标的点都是曲线c上的点 这时称方程f x y 0为曲线c的方程 曲线c为方程f x y 0的曲线 二 求轨迹方程的常用方法1 直接法根据解析几何的基本公式 将动点的运动规律直接表示成关于动点坐标x y的关系式 这种求轨迹方程的方法叫做直接法 2 相关点法如果所求轨迹上的动点m x y 与已知曲线上的动点p x0 y0 这种点称为相关动点 互相制约 且点p的坐标x0 y0可用点m的坐标x y来表示 则可利用点p在已知曲线上运动 将点p的坐标代入已知曲线的方程 从而求得点m的轨迹方程 这种求轨迹方程的方法称为相关点法 或代入法 转移法 3 参数法根据动点的运动规律 选择一个或几个中间变量作为参数 然后找出动点坐标x y与参数间的关系式 即得到动点轨迹的参数方程 再消去参数就得轨迹的普通方程 这种求轨迹方程的方法叫参数法 参数法求轨迹方程的关键在于选择适当的参数 其一般原则是 第一 动点的变化是随着参数的变化而变化的 即参数要能充分反映动点的变化特征 第二 参数要与题设的已知量有密切的联系 第三 所选参数应尽量使所得的参数方程便于消去参数得出普通方程 参数的选取多种多样 即使对同一个题 也可选取不同的参数求解 因而参数法是一种灵活且具有开放性的解题方法 4 定义法若动点所具有的几何条件与圆锥曲线的定义相符 则可利用圆锥曲线的定义直接写出轨迹方程 这种求轨迹方程的方法称为定义法 5 交轨法如果动点m是两条动曲线的交点 则可选取合适的参变量 写出两动曲线的方程 再联立这两个方程消去所设参数即得交点m的轨迹方程 这种求轨迹方程的方法叫交轨法 它实质上是一种参数法 只是含参数的两个方程是两条动曲线的方程 求轨迹方程的方法有多种多样 最主要 最常用的方法是上述五种 有些资料上介绍的方法只是名称不同 实质一样 如几何法与直接法 相关点法 代入法 转移法等 应用时要掌握各种方法的使用环境 同时要注意方法的操作性 有些轨迹问题可用几种方法求解 要充分比较其优劣 选择简明的方法 在求轨迹或轨迹方程时 要结合已知条件和图形特点 保证其完备性和纯粹性 必要时进行分类讨论 1 动点p到点m 1 0 及点n 3 0 的距离之差为2 则点p的轨迹是 a 双曲线b 双曲线的一支c 两条射线d 一条射线解析 pm pn 2 而 mn 2 p点在线段mn的延长线上 答案 d 答案 d 答案 c 5 设m 0 在平面直角坐标系中 已知向量a mx y 1 向量b x y 1 a b 则动点m x y 的轨迹方程是 表示的曲线为 解析 因为a b 所以a b 0 即 mx y 1 x y 1 0 mx2 y2 1 0 即mx2 y2 1 又m 0 该方程表示的是双曲线 且焦点在y轴上 答案 mx2 y2 1 m 0 焦点在y轴上的双曲线 题后总结 1 在求轨迹方程时 应注意检查轨迹的 纯粹性 与 完备性 确保轨迹上的点 不多不少 2 注意求动点的轨迹与求轨迹方程的区别 后者只需求出方程即可 而前者则包含方程及曲线的形状等特征 一动圆过定点 c 0 且与定圆 x c 2 y2 4a2 a 0 c 0 相切 求动圆圆心的轨迹方程 题后总结 1 本题为利用圆锥曲线定义求动点轨迹方程问题 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义 如圆 椭圆 双曲线 抛物线的定义 则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程 2 圆锥曲线的定义提示了其本质特征 而圆锥曲线的方程随坐标系的不同而不同 因而掌握定义是根本 活学活用 1 如图 在以点o为圆心 ab 4为直径的半圆adb中 od ab p是半圆弧上一点 pob 30 曲线c是满足 ma mb 为定值的动点m的轨迹 且曲线c过点p 1 建立适当的平面直角坐标系 求曲线c的方程 2 设过点d的直线l与曲线c相交于不同的两点e f 求直线l斜率的取值范围 题后总结 用参数法求轨迹是高考中常考的题型 由于选参灵活 技巧性强 因此也是同学们较难掌握的一类问题 用参数法求轨迹方程的基本步骤 建系 设标 引参 求参数方程 消参 检验 选用什么变量为参数 要看动点随什么量的变化而变化 常见的参数有 斜率 截距 定比 角 点的坐标等 易错点 忽视限制条件求错轨迹方程如图所示 过点p 0 2 的直线l交抛物线y2 4x于a b两点 求以oa ob为邻边的平行四边形oamb的顶点m的轨迹方程 错因分析 本题可以设出直线l的方程 通过参数法求解 容易忽视的是直线l与抛物线交于不同两点时 直线的斜率k是有前提条件的 首先k 0 其次是消元后的一元二次方程的判别式大于0 忽视这些限制条件就扩大了所求轨迹的范围 得出所求的轨迹方程为 y 2 2 4 x 1 的错误结论 状元笔记 求动点的轨迹方程要注意两个方面 一是所求轨迹方程所表示的点都得符合题目要求 二是动点轨迹上任意一个点的坐标都得适合所求的方程 在求动点轨迹方程时要注意一些