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3 5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 一 利用柱面坐标计算三重积分 二 利用球面坐标计算三重积分 三 小结 一 利用柱面坐标计算三重积分 规定 柱面坐标与直角坐标的关系为 如图 三坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 如图 柱面坐标系中的体积元素为 解 知交线为 解 所围成的立体如图 所围成立体的投影区域如图 二 利用球面坐标计算三重积分 规定 如图 三坐标面分别为 圆锥面 球面 半平面 球面坐标与直角坐标的关系为 如图 球面坐标系中的体积元素为 如图 解 解法 一 解法 二 类似于例1 补充 利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意 积分区域关于坐标面的对称性 被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性 解 积分域关于三个坐标面都对称 被积函数是的奇函数 1 柱面坐标的体积元素 2 球面坐标的体积元素 3 对称性简化运算 三重积分换元法 柱面坐标 球面坐标 三 小结
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