广东地区高二数学圆锥曲线综合训练题四

2007年广东地区高二数学圆锥曲线综合训练题四 解答题：1已知抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（a , 4）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和a值。2.求与双曲线共焦点，且过点的双曲线方程。3.抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线 的一个焦点，且抛物线与双曲线的一个交点P（），求抛物线和双曲线方程。4.中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7。求这两条曲线的方程。5. 已知椭圆C的焦点F1（，0）和F2（，0），长轴长6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。6已知双曲线（1，1）能否作一条直线A，B两点，且P为线段AB 的中点？7. 已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，求双曲线的离心率8经过抛物线y的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点.（1） 若线段AB的斜率为k，试求中点M的轨迹方程；（2） 若直线的斜率k2，且点M到直线3x+4y+m=0的距离为，试确定m的取值范围。9点P在椭圆7x2+4y2=28上，则点P到直线3x2y16=0的距离的最大值为10在抛物线y=x2上求一点P,使得点P到直线x-y-3=0的距离最短。11已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，为其焦点，一直线过点与椭圆相交于两点，且的最大面积为，求椭圆的方程。PQF12如果探照灯的轴截面是抛物线（如图），表示平行于对称轴的光线经抛物线上的点的反射情况，设点的纵坐标为，当取何值时，从入射点到反射点的光线路程最短？O13(2006上海卷)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。14已知双曲线的焦点为，离心率为2.(1)求此双曲线渐近线,方程. (2)若A,B分别为,上的动点,且2|AB|=5|,求线段AB中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.15.xyOABM如图，已知直线l与抛物线y2 = x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴相交于点M，若y1y2 = 1，（1）求证：M点的坐标为（1，0）；（2）求证：OAOB；（3）求AOB的面积的最小值.参考答案http:/www.DearEDU.com 解答题：1解：抛物线方程为：，a=42.解：由于所求双曲线与已知的双曲线共焦点，从而可设所求的双曲线方程为。由于点在所求双曲线上，所以有，整理得，解得：又。所以 ，故所求双曲线方程为。3.解：设抛物线方程为抛物线经过点 抛物线方程为其焦点为（1，0），准线 抛物线准线经过双曲线的一个焦点，是双曲线的一个焦点， ，又点在双曲线上， 由、解得双曲线方程为4解：设椭圆的方程为，双曲线得方程为，半焦距c 由已知得：a1a24 ，解得：a17，a23 所以：b1236，b224，所以两条曲线的方程分别为： ，5解:由已知得椭圆的焦点在x轴上,其中c=,a=3,从而b=1,所以其标准方程是: .联立方程组,消去y得, .设A(),B(),AB线段的中点为M()那么: ,=所以=+2=.也就是说线段AB中点坐标为(-,).6解：设能作直线满足条件，设（），B（）则化为（1，1） （）即把直线代入双曲线方程为 即直线与双曲线无公共点 不存在直线满足条件。7.解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为。由焦半径公式，即，得，解得，8解：(1)设A(直线AB方程为y=k(x-1) (k0),代入,得kx-(2k+4)x+k=0 设M(x ,y).则 点M的坐标为(消去k可得M的轨迹方程为y (2)由 d= 得即 0,得0,即 或 故的取值范围为 (-9解析:化椭圆方程为参数方程(为参数).点P到直线3x2y16=0的距离为d=.dmax=.10解一：设抛物线y=x2上点P(x0,y0)到直线x-y-3=0的距离最短。则d= 因为P(x0,y0)在y=x2上，所以y0=x02, 代入距离公式得：d= 当x0=0.5时，d有最小值。此时，y0=0.25 所以点P() 解二：将直线x-y-3=0往上平移，与抛物线在点P(x0,y0)处相切。此时，点P到直线x-y-3=0的距离最短。 依题意：切线的斜率为1。 根据导数的几何意义， 而 所以2x0=1 x0=, 解三：将直线x-y-3=0往上平移，与抛物线在点P(x0,y0)处相切。此时，点P到直线x-y-3=0的距离最短。 依题意切线的斜率为1，可设切线方程为：y=x+b 建立方程组得： 相切，则，即1+4b=0, 代入得， 11解：由得，所以椭圆方程设为设直线，由 得：设，则是方程的两个根由韦达定理得 所以当且仅当时，即轴时取等号 所以，所求椭圆方程为12解:设，则直线方程为：，由得，当且仅当当入射点，反射点时最短。13(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上, 椭圆的标准方程为(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),由x x=得x0=2x1Y y =y0=2y由,点P在椭圆上,得, 线段PA中点M的轨迹方程是.(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此ABC的面积SABC=1.当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,解得B(,),C(,),则,又点A到直线BC的距离d=,ABC的面积SABC=于是SABC=由1,得SABC,其中,当k=时,等号成立.SABC的最大值是. 14解: (1)由已知得,所以,所以双曲线方程为,所以双曲线的渐近线方程分别 ,(2) 由(1)知,因为,所以|AB|=10, 设,所以点AB中点M,则,消去并整理得:点M的轨迹方程为,所以点M轨迹是焦点在x轴上的椭圆.15. (1 ) 设M点的坐标为（x0, 0）, 直线l方程为 x = my + x0 , 代入y2 = x得 y2myx0 = 0 y1、y2是此方程的两根, x0 y1y2 1，即M点的坐标为（1, 0）. (2 ) y1y2 1 x1x2 + y1y