大学文科数学 定积分PPT课件.ppt

第六章定积分 求总量的问题 1 一 教学目标 教学目标 要求学生掌握定积分的概念 微积分基本定理 非正常积分 定积分的应用 要求理解定积分的概念 会求定积分与非正常 能利用定积分解决一些几何问题 理解李善兰对我国近代数学发展所起的作用 2 二 教学重点 教学重点 定积分的概念和性质 微积分基本定理 定积分的换元积分法和分部积分法 定积分在几何学中的应用 3 三 教学难点 教学时数 教学难点 定积分的概念 定积分的换元积分法和分部积分法 非正常积分 微元法 定积分在几何学中的应用 教学时数 本章总教学时数为10学时 4 四 教学内容 1特殊和式的极限 定积分的概念 2计算定积分的一般方法 微积分基本定理 3定积分的拓展 非正常积分 4定积分的魅力显示 在若干学科中的应用数学家启示录 5 1 1抽象定积分概念的两个现实原型 原型 求曲边梯形的面积设f x 为闭区间 a b 上的连续函数 且f x 0 由曲线y f x 直线x a x b以及x轴所围成的平面图形 图6 1 称为f x 在 a b 上的曲边梯形的面积s 6 设质点m受力F的作用沿x轴由点a移动至点b 并设F平行于x轴 图6 2 如果F是常量 则它对质点所作的功为W F b a 如果力F不是常量 而是质点所在位置x的连续函数那么F对质点m所作的功W应如何计算呢 我们仍按求曲边梯形面积的思想方法来进行 原型 求变力所作的功 7 定义设f x 是定义在区间 a b 上的有界函数 用点将区间 a b 任意分割成n个子区间 xi 1 xi i 1 2 n 这些子区间及其长度均记作 xi xi xi 1 i 1 2 n 在每个子区间 xi上任取一点 作n个乘积f xi的和式 如果当 同时最大子区间的长度时 和式的极限存在 并且其极限与区间 a b 的分割法以及的取法无关 则该极限值称为函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作即 1 2定积分的概念 8 在连续变力F x 作用下 质点m沿x轴从点a位移到点b所作的功为F x 在 a b 上的定积分 即 定积分存在称为可积 否则称为不可积 原型 和 的问题可以简洁地表述为 连续曲线y f x 0在 a b 上构成的曲边梯形的面积为函数y f x 在 a b 上的定积分 即 9 定积分的几何意义 当f x 0时 定积分的几何意义就是以曲线y f x 直线x a x b以及x轴为边的曲边梯形的面积S 但若f x 0 由定积分的意义可知 这时S为负值 对于一般函数f x 而言 定积分S的值则是曲线在x轴上方部分的正面积与下方部分的负面积的代数和 如图6 3所示 10 1 3求定积分过程中的辨证思维 无论是求曲边梯形的面积 还是求变力作功 初等数学都无法解决 而高等数学可迎刃而解 定积分中的极限方法可以使有关常量与变量 变与不变等矛盾的对立双方相互转化 从而化未知为已知 体现了对立统一法则 同时也体现了否定之否定法则 11 1 4可积条件 定理1 可积的必要条件 若函数f x 在 a b 上可积 则f x 在 a b 上有界 定理2 可积的充分条件 若f x 是闭区间 a b 上的连续函数 或者是闭区间 a b 上的单调函数 或者是 a b 上只有有限个间断点的有界函数 则f x 在 a b 上可积 12 定理3 对积分区间的可加性 有界函数f x 在 a c c b 上都可积的充要条件是f x 在 a b 上可积 且 定理2若f x g x 在 a b 上可积 则f x g x 在 a b 上也可积 且 定理1若f x 在 a b 上可积 k为常数 则kf x 在 a b 上也可积 且 1 5定积分的性质 13 定理5 有界性 设m M分别是f x 在 a b 上的最小值和最大值 若f x 在 a b 上可积 则 定理4 保序性 设f x 与g x 为定义在 a b 上的两个可积函数 若f x g x 则 14 定理6 定积分的绝对值不等式 若f x 在 a b 上可积 则在 a b 上也可积 且 定理7 积分中值定理 若函数f x 在 a b 上连续 则在 a b 上至少存在一点 使得 15 作业必作题 用定积分的定义计算选作题 习题6第一题 思考题定积分的定义中主要体现的数学思想是什么 16 定理1若函数f x 在 a b 上连续 则由变上限定积分定义的函数在 a b 上可导 且 2 1微积分基本定理 即函数是被积函数f x 在 a b 上的一个原函数 17 也是f x 的一个原函数 而这两个原函数之差为某个常数 所以 证已知函数F x 是连续函数f x 的一个原函数 又根据定理1 在上式中令x b 就得到所要证明的公式 得C F a 于是 定理2设f x 在 a b 上连续 若F x 是f x 在 a b 上的一个原函数 则 6 7 公式 6 7 称为牛顿 莱布尼茨公式 若令x a 则因 18 由于是的一个原函数 应用公式 6 7 有 例1计算 解 19 2 1定积分的换元积分法和分部积分法 定理1 定积分换元积分法 若函数f x 在 a b 上连续 函数满足下列条件 2 在上有连续导数则有定积分换元公式 1 20 x asint t 0 则dx acostdt当t从0变到时 x从0递增到a 故取应用公式 6 8 并注意到在第一象限中cost 0 则有 例2计算 解令 21 解令u sint 则du costdt 当t由0变到时 u从0递增到1 应用换元公式 6 8 有 例3计算 22 定理2 定积分分部积分法 若u v是 a b 上具有连续导数的函数 则 23 例5计算 例4计算 解 解 24 作业必作题习题6第二题 第四题 第五题 选作题习题6第三题 思考题1 定积分的换元积分法中应注意的事项 2 微积分的基本定理主要解决了定积分的什么问题 25 定义 设函数f x 定义在无穷区间 a 上 且在任何有限区间 a A 上可积 如果存在极限则称此极限J为函数f x 在 a 上的无穷限反常积分 简称无穷限积分 记作J 3定积分的拓展 非正常积分 并称收敛 如果极限不存在 则称无穷限积分发散 26 无穷限积分的几何意义 若f x 0 则无穷限积分收敛的几何意义是 图 6 7 中介于曲线y f x 直线x a及x轴之间向右无限延伸的阴影区域有面积 并以极限的值作为它的面积 27 解任取实数a 讨论如下两个无穷限积分 例讨论积分 由于 因此 该积分收敛 且 与 的敛散性 28 作业选作题习题六第六题 思考题检查下面计算过程对不对 为什么 请给出正确解法 29 4 1微元法 定积分的所有问题 一般总可按 分割 近似求和 取极限 三个步骤把所求量表示为定积分的形式 但为简洁求实用 常常简化为 微元法 30 并且f x dx就是总量Q的微元 即Q的微分 dQ 即dQ x f x dx其次 把总量Q的微元dQ x f x dx在区间 a b 上求和 写出定积分 即求得所求的总量Q 即 上述求总量Q的方法称为微元法 31 4 2在几何学中的应用 平面图形的面积由截面面积求立体体积 32 平面图形的面积 一般地 求由两条连续曲线y f x x 0 及直线x a x b a b 所围成的平面图形的面积 如图 图6 8 所示 可在区间 a b 内任取两点x x dx 作出图中的阴影矩形 则面积微元为 于是所求面积为 33 例1求由正弦曲线y sinx与直线x 0 y 0及x 所围成图形的面积 首先画草图 图6 9 解 其面积为 34 例2求抛物线与直线x 2y 3 0所围的平面图形的面积 求出抛物线与直线的交点P 1 10与Q 9 3 把平面图形分成两部分 解 首先画草图 图6 10 则有 于是 35 由截面面积求立体体积 设为一空间立体 它夹在垂直于x轴的两平面x a及x b之间 a b 图6 11 求其体积V 现用微元法导出由截面面积函数求空间立体体积的公式 在 a b 内任取相邻两点x与x dx 过这两点分别作垂直于x轴的平面 则从上截出一薄片 设x处截面面积函数为A x 由于A x 的连续性 当dx很小时 以底面积为A x 高为dx的薄柱体体积就是体积微元dV A x dx 36 它是薄片的体积 V的近似值 即 V dV A x dx 从而有 37 例3求椭圆绕x轴旋转一周所形成的椭球的体积V 解 由椭圆方程 则 得 当a b R时 得半径为R的球体体积公式 38 4 3在物理学中的应用 变力作功 设物体在变力y f x 作用下 沿x轴正向从点a移动到点b 求它所作的功W 在 a b 上任取相邻两点x和x dx 则力f x 所作的微功为dW f x dx 于是得 39 例4根据虎克定律 弹簧的弹力与形变的长度成正比 已知汽车车厢下的减震弹簧压缩1cm需力14000N 求弹簧压缩2cm时所作的功 解由题意 弹簧的弹力为f x kx k为比例常数 当x 0 01m时 f 0 01 k 0 01 1 4 10000N 由此知k 14000000 故弹力为f x 1400000 x 于是 即弹簧压缩2cm时所作的功为280J 40 作业必作题习题六第七题 第八题第一小题 选作题第八题第二小题 思考题微元法体现的辨证思想方法是什么 41 微积分学在中国的最早传播人 李善兰 李善兰 1811 1882 是我国清代数学家 原名心兰 字壬叔 号秋纫 浙江海宁县硖石镇人 他曾任苏州府幕僚 1868年被清政府谕召到北京认同文馆数学教授 执教13年 李善兰对尖锥求积术 三角函数与对数的幂级数展开式 高阶等差级数求和等都有突出的研究 在素数论方面也有杰出成就 提出了判别素数的重要法则 他对有关二项式定理系数的恒等式也进行了深入研究 曾取各家级数论之长 归纳出以他的名字命名的 李善兰恒等式 42 李善兰一生著作颇丰 主要论著有 方圆阐幽 弧矢启秘 对数探源 垛积比类 四元解 麟德术解 椭圆正术解 椭圆新术 椭圆拾遗 火器真诀 对数尖锥变法释 级数回求 和 天算或问 等 43 李善兰不仅在数学研究上有很深造诣 而且在代数学 微积分学的传播上作出了不朽的贡献 1852年至1859年间 他与英国传教士伟烈亚力合作翻译出版了三部著作 几何原本 后9卷 英国数学家德摩根 代数拾级 18卷 谈天 18卷 与英人艾约瑟合作翻译了 圆锥曲线说 3卷 重