2019-2020学年重庆市南开中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年重庆市南开中学高一上学期期末数学试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】首先根据绝对值不等式的解法以及对数的定义域求出集合A、B，再利用集合的交运算即可求解.【详解】因为 则，所以，故选：C【点睛】本题考查了根据绝对值不等式的解法、对数的定义域以及集合的交运算，属于基础题.2函数的最小正周期为（ ）ABCD【答案】B【解析】利用二倍角公式将函数化为，再由公式即可求解.【详解】函数，所以，故选：B【点睛】本题考查了正弦的二倍角公式以及周期公式，需熟记公式，属于基础题.3函数的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，所以函数的零点所在的区间是【考点】函数零点存在性定理4扇形的周长是4，面积为1，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）ABCD【答案】C【解析】设扇形的弧长为，半径为，扇形的圆心角的弧度数是，则， ，解得：，扇形的圆心角的弧度数故选5锐角满足，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据同角三角函数的关系求出，由，利用诱导公式即可求解.【详解】由锐角满足，所以，所以，故选：D【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系、诱导公式，需熟记公式，属于基础题.6若，则数，的大小关系为（ ）ABCD【答案】A【解析】首先利用对数函数的单调性求出的取值范围，再利用指数函数的单调性求出，的范围，进而可判断出大小.【详解】在定义域内为增函数，且，为增函数， 为减函数， ，所以.故选：A【点睛】本题主要考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题.7（ ）A1BCD【答案】B【解析】利用两角和的正弦公式将展开化简即可求解.【详解】，故选：B【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.8在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）ABCD【答案】D【解析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数，与，答案A没有幂函数图像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.9声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为.那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ）A倍B倍C倍D倍【答案】C【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，根据题意得出，就算出和的值，可计算出的值.【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，由题意可得，解得，解得，所以，因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍.故选：C【点睛】本题主要考查对数函数模型的应用，同时也涉及到对数式与指数式的互化，考查计算能力，属于基础题.10为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位【答案】A【解析】，设 ， ，令，把函数的图象向左平移个单位得到函数的图象.选C.11函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则（ ）AB-1C0D1【答案】D【解析】将用替换，用替换，可得，从而可得，进而可得，可求出函数的周期，再令，可求出，由即可求解.【详解】将用替换，用替换，由对任意实数，都有，可得，由，所以，即，所以，所以函数的周期，令，则，因为，所以， 所以，故选：D【点睛】本题考查抽象函数及其应用，利用函数的周期性定义求出函数的周期，解决抽象函数的问题一般应用赋值法，此题属于中档题.12函数（且）满足，且.则的单调递增区间为（ ）A，B，C， D，【答案】A【解析】由可得是函数的一个中心对称点，代入解析式可得，再由可得，再利用辅助角公式结合正弦函数的单调区间即可求解.【详解】函数且可得是函数的一个中心对称点，解得， ， 所以，解得 所以函数的单调递增区间为，.故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数的对称中心点、单调区间以及辅助角公式，需熟记三角函数的性质，属于中档题.二、填空题13如果，那么等于_.【答案】【解析】由可得，从而可得结果.【详解】因为，所以，故答案为.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角14幂函数在单调递减，则实数的值为_.【答案】1【解析】利用幂函数的定义以及幂函数的性质即可求解.【详解】由题意可得，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质，需熟记定义与性质，属于基础题.15若在上的最大值为1，则实数_.【答案】【解析】利用辅助角公式化，根据函数的最值以及单调性可得，代入即可求解.【详解】，函数在上单调递增， 因为函数在上的最大值为1，所以，解得，所以 故答案为：【点睛】本题考查了三角函数的辅助角公式、三角函数的性质，需熟记三角函数的性质，属于基础题.16已知函数，若方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】由已知中函数，若关于的方程恰有四个不同的实数解，根据函数的图像得到恰有三个不同的实数根，进而得到实数的取值范围.【详解】函数的图像如下：关于的方程，转化为，或，若方程有四个不同的实数解，则恰有三个不同的实数解，由图可知：，故答案为：【点睛】本题考查了对数函数的综合问题，考查方程的根、函数的值域，考查了数形结合的思想以及学生分析解决问题的能力，属于中档题.三、解答题17已知函数.（1）写出函数的最小正周期；（2）用五点作图法画出函数在一个周期内的图象【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）根据正弦型三角函数最小正周期公式即可求解. （2）按“五点作图法”列表、描点、连线即可求解.【详解】由函数， . .（2）列表： 作出函数的图像：【点睛】本题考查了正弦函数的最小正周期公式以及“五点作图法”，需掌握作图步骤，属于基础题.18已知角终边上有一点，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1） （2）3【解析】（1）利用三角函数的定义求出即可求解.（2）利用诱导公式即可求解.【详解】（1）角终边上有一点，且，则，解得，所以.（2）【点睛】本题考查了三角函数的定义以及诱导公式，需熟记公式，属于基础题.19已知函数（且）是奇函数.（1）求实数的值；（2）当时，函数的值域为，求实数的值.【答案】（1） （2）【解析】（1）利用函数为奇函数可得，结合函数表达式以及对数的运算性质即可求解.（2）根据区间的定义可得，再利用对数型复合函数的单调性可得，进而可求出的值.【详解】（1）由，得，可得，即，经检验，符合题意，故.（2）由，得，单调递增，令在上单调递减，函数在上单调递减，解得.【点睛】本题考查了函数的奇偶性应用、对数的运算以及对数型复合函数的单调性应用，属于中档题.20已知函数的两条对称轴之间的最小距离为.（1）求函数的最大值；（2）若，求的值.【答案】（1） （2）【解析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的公式将函数化为，再由题意求出函数的周期，进而求出函数表达式即可求解.（2）由（1）求出，由结合两角和与差的公式即可求解.【详解】（1），当，即，时，取得最大值.（2）由题意，.【点睛】本题考查二倍角公式、两角和与差的逆应用以及正弦函数的性质，需熟记公式与性质，属于基础题.21设函数的定义域为，若存在，使得，则称为函数的“旺点”.（1）求函数在上的“旺点”；（2）若函数在上存在“旺点”，求正实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】（1）利用题中定义，列方程求解即可.（2）根据题意将问题转化为方程在上有解，化简可得，讨论二次项系数使方程在上有解即可.【详解】（1）由题意，有，化简得，为所求“旺点”.（2）方程在上有解，化简得，记，当，即时，在上无根，故舍去；当，即时，的对称轴为，对一切恒成立，故舍去；当，即时，的对称轴为，故只需，即，解得；综上所述，正实数的取值范围为.【点睛】本题是一道函数的新定义题目，考查了方程的根以及含参数的一元二次方程的根，考查了学生对新定义题目的理解能力，属于中档题.22已知函数.（1）判断的奇偶性和单调性（不要求证明）；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（3）若，其中，求证：.【答案】（1）奇函数，增函数 （2） （3）证明见解析【解析】（1）利用函数的奇偶性定义以及指数函数的单调性即可判断.（2）利用函数的单调性将不等式转化为，令，不等式进一步转化为，解不等式由的范围即可