江苏常州第二中学高三数学第四次月考人教

2006年江苏省常州市第二中学高三数学第四次月考试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U=R，B）是 AB或 （ ）CD 2. 设有定点A（1，1），B（4，-6），P为一动点，且向量与向量平行（O为坐标原点），则动点P的轨迹方程是 （ ）A.2x-3y+1=0 B.3x+2y-5=0 C.3x-2y-2=0 D.2x+3y-5=03在抽查某产品尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，是其中的一组，已知该组的频率为，该组上的直方图的高为，则等于 ( )A. B. C. D.4. 展开式的各项系数和大于8且小于32，则展开式中系数最大的项是A6 B C D （ ）5.将函数 y = cos xsin x 的图象向左平移 m（m 0）个单位，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小正值是 （ ） A. B. C. D. 6已知四个命题，其中正确的命题是（ ） 若直线l /平面，则直线l 的垂线必平行平面； 若直线l与平面相交，则有且只有一个平面，经过l 与平面垂直； 若一个三棱锥每两个相邻侧面所成的角都相等，则这个三棱锥是正三棱锥; 若四棱柱的任意两条对角线都相交且互相平分，则这个四棱柱为平行六面体 ABC D 7过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于，则为 （ ） A. 4 B 4 C D 8已知等比数列中，为方程的两根，则 的值A32 B64 C256 D64 ( ) 9正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体表面上与点A距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是 AB CD （ ）10常州某中学的研究性学习小组为考察天目湖地区的一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回。设t为出发后的某一时刻，S为汽艇与码头在时刻t的距离，下列图象中能大致表示Sf(x)的函数关系的为 （ ）二、填写题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡相应位置。11不等式的解集为 12若，则 13设x、y满足的约束条件，则的取值范围是 14.有6根细木棒,其中较长的两根分别为a, a,其余4根均为a,用它们搭成三棱锥,则其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为 . 15.已知直线ax+by+c=0被圆M：所截得的弦AB的长为，那么的值等于 . 16有一公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一个时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为，且与时刻t无关，统计得到，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率P(0)的值是 三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）已知锐角ABC中，三个内角为A、B、C，两向量，若与是共线向量（I）求A的大小；（II）求函数y = 2sin2B + cos()取最大值时，B的大小18. （本小题满分12分） 某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列，使，记（）。（）求时的概率； （）求前两次均为正面，且时的概率。19（本小题满分12分）函数，过曲线上的点的切线方程为（1）若在时有极值，求f (x)的表达式；（2）在（1）的条件下，求在上最大值；（3）若函数在区间上单调递增，求b的取值范围20（本小题满分12分）如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2， ABC =60，平面AA1C1C平面ABCD，A1AC=60（1）求二面角DA1AC的大小；（2）求点B1到平面A1ADD1的距离；（3）在直线CC1上是否存在点P，使BP/平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由xONMAB21、（本小题满分14分）如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、c间的距离为，A、B为直线a上两定点，且AB=2p，MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段.（1）求AMN的外心C的轨迹E；（2）接上问，当AMN的外心C在E上什么位置时，d+BC最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直线c的距离）. 22（本小题满分14分）数列的各项均为正值，对任意，都成立（1）求数列、的通项公式；（2）当k 7且时，证明对任意都有成立参考答案1-5 BBCAD 6-10 DBBDC11 12. 13. 14 15. -2 16.17.解：(1)=(22sinA,cosA+sinA)，=(sinAcosA,1+sinA)，/（22sinA）(1+sinA)(cosA+sinA)(sinAcosA)=0; ABC为锐角形，sinA=A=60 6分（2）y=2sin2B+cos()=2sin2B+cos()=2sin2B+cos(2B60)=1cos2B+cos(2B60) =1+sin(2B30) 当B=60时取最大值2 12分18（）问题等价于前次中，次正面，次反面，故其概率为 ； 6分（）问题等价于前两次均为正面，而在第次到第次中，次正面，次反面，故所求概率为。12分19解：（1）（2）x2+00+极大极小上最大值为13 8分（3）上单调递增又 依题意上恒成立.在在 在综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b0 12分20解：（1）在平面ABCD上，AB=BC=CD=DA=2四边形ABCD为菱形 BDAC平面A A1C1C平面ABCD BD平面A A1C1C设ACBD=O，过O作OEAA1于E点，连结DE，由三垂线定理有，AA1DE，则DEO为二面角DA1AC的平面角 2分在菱形ABCD中，AB=2， ABC= AC=AB=BC=2 AO=1, DO=在RtAEO中，在RtDEO中， DEO= 二面角DA1AC的大小为 4分（2）连结A1O、A1B由于B1B /平面A1A DD1，所以B、B1到平面A1A DD1的距离相等，设点B到平面A1A DD1的距离等于 在AA1 O中， A1OAO而平面A A1C1C平面ABCD A1O平面ABCD 6分由上述第（1）问有，ED A1A1且又由有, 即点B1到平面A1ADD1的距离等于 8分（3）存在这样的点P 连结B1CA1B1ABDC 四边形A1B1CD为平行四边形 A1D/B1C 10分在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连结BP，因B1BC1C B1BCP 四边形BB1CP为平行四边形BP/B1C BP/A1D 则有BP / 平面DA1C1 12分21、解：（1）设AMN的外心为C(x,y)，则有A(0,p)、M（xp,0），N(x+p,0)， 由题意，有CA=CM （2分）,化简，得x2=2py它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线. （6分）（2）由（1）得，直线C恰为轨迹E的准线.由抛物线的定义知d=CF，其中F（0,）是抛物线的焦点.d+BC=CF+BC （8分）由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的点直线BF的方程为联立方程组 得. （12分）即