基于GM(1-1)模型下实物期权波动率的定量评估(DOC)

金融专硕金融衍生工具课程论文金融衍生工具课程论文基于GM(1,1)模型下实物期权波动率的定量评估院 系： 金融与统计学院 专 业： 金融专硕 组 长： 组 员： 指导老师： 联系方式： 完成时间： 年 月 日基于GM(1,1)模型下实物期权波动率的定量评估摘 要：波动率在实物期权评估模型中较难精确估算, 其计算的合理性与可靠性直接影响期权价值，从而对实物期权理论在资产评估中的应用有着重要影响。为提高波动率的准确性，采用灰色预测模型预测项目价值未来的波动情况，进而计算其波动率。首先，本文以波动率为切入点，介绍实物期权的基本特性。然后，通过阐述如何用GM(1,1)模型，来计算波动率，并对实物期权波动率的计算公式加以介绍。最后，从房地产投资决策中分期开发项目间增长期权入手，利用灰色预测方法，建立了GM(1,1)模型，计算出房价波动率为12.88%，并借助于Matlab软件编程，通过B-S期权定价模型，最终得出了：房地产开发商第2期项目增长期权的价值是520.3929万元。关键词：实物期权；波动率；灰色系统；GM(1,1)模型，房地产价格；Matlab目 录引 言11 数据说明12 实物期权及波动率12.1 实物期权12.2 波动率计算方法22.2.1 蒙特卡洛模拟法22.2.2 历史波动率22.3 波动率的灵敏度检验23 波动率的计算GM（1,1）模型33.1 灰色预测模型33.2 灰色模型预测步骤33.3 波动率计算54 实物期权在房地产投资决策中的应用54.1 案例简介54.2 传统投资决策分析64.3 增长期权的指标体系74.3.1 标的资产的当前价格74.3.2 期权的执行价格74.3.3 期权的到期日74.3.4 无风险利率74.3.5 波动率74.4 波动率的计算（灰色预测模型）74.4.1 GM(1,1)模型的建立84.4.2 GM(1,1)模型的检验94.4.3 GM(1,1)模型的算法程序104.4.4 GM(1,1)模型的预测114.4.5 波动率的计算114.5 实物期权价值124.6 考虑实物期权的项目扩展价值125 总结13参考文献13附程序14附程序114附程序214引 言随着房地产行业越来越受到公众的关注，房地产开发项目经济评价的重要性也日益明显起来。房地产开发是房地产业发展的重要推动力，不仅促进国民经济的发展、提高人民的生活质量，而且通过其投资导向作用，还可以促进城市的基础设施建设以及相关行业的发展。因此对房地产投资决策中分期开发项目间增长期权的问题进行相应价值评估和管理研究也具有重大的理论和现实意义。1 数据说明为定量评估实物期权的波动率，并根据数据的可得性，选取参考文献侯晨曦、宋永发、马宁在工程管理学报中发表的论文实物期权在房地产投资决策中应用研究1中的案例数据，并根据时间的推移，将数据的时间跟新为最新时间。其中2009-2013年我国住宅居民房的平均售价数据来自于2014中国统计年鉴2，就以上数据对房地产实物期权作出定量评估。2 实物期权及波动率2.1 实物期权实物期权是金融期权在实物资产领域的应用，是指附着于企业整体资产或者单项资产上的非人为设计的选择权，即是现实中存在的发展或者增长机会、收缩或者退出机会等。拥有或控制相应企业或资产的个人或组织在未来可以执行这种选择权，并且预期通过执行这种选择权能带来经济利益。3近年来，实物期权理论在资产评估中的应用得到了快速的发展。B-S 模型是由 Black-Scholes于1973年提出的期权定价模型。4该模型假设风险中性条件下，期权的价值可以表示为：式中：为买入期权的价值；为卖出期权的价值；为标的资产的价值；为波动率，价格变动的标准差；为期权的执行价格；为无风险利率；为期权的有效时间；表示累积正态分布。在采用实物期权估算价值的过程中，估算有关参数是最为重要的步骤之一，而波动率是实物期权评估模型中非常重要却又很难确定的一个参数。波动率是指标的资产对拥有或者控制相应企业或资产的个人或者组织所带来的收益的不确定性。5一般而言，对于金融期权评估模型，波动率可以直接根据股票的历史价格数据，通过计算其历史收益率的标准差求得，计算方法相对成熟。2.2 波动率计算方法波动率是影响实物期权的最重要因素之一，波动率取值的准确度直接影响着期权价值的准确度。目前波动率的计算缺乏有效的方法，不同计算结果之间差别较大，造成实物期权价值变化较大，也影响了实物期权的应用。这里简单介绍两种关于波动率的两种计算方法，以对比于后文当中灰色预测方法。2.2.1 蒙特卡洛模拟法首先估计出项目的现金流，并假设现金流服从某一概率分布（如正态分布、均匀分布等），然后采用蒙特卡洛模拟方法生成随机数并计算抽样值。根据大数定理，当模拟次数充分大时，净现值的算术平均值即为其估计值。最终将模拟得到的净现值和波动率分别作为项目收益现值和波动率的估计值。随着计算机技术的普遍应用，蒙特卡洛模拟法在一些无形资产评估方面的使用频率越来越高。6Barry R. Cobb等认为蒙特卡洛法虽然有效，但需要对现金流及相关关系进行假设，而这对于管理者而言是很难的。Luiz E. Brandoa 等认为蒙特卡洛模拟方法虽然通用，但存在高估波动率的问题，可能会导致期权价值不正确以及错误的决策。2.2.2 历史波动率将相似项目主要波动因素的历史波动率作为拟投资项目波动率的估计值。如在计算拟开发房地产项目波动率时，采用该市商品住宅近几年的历史价格数据来计算价格波动率。7但历史数据只能代表过去发生的，并不能代表未来项目的波动率。因此，该方法也存在一定的缺陷。2.3 波动率的灵敏度检验敏感性分析可以判断参数取值对期权价值的关系，是合理性判断的重要工具。8以买方期权例，求出波动率的偏导数：同理可得，这说明波动率与买方期权价值、卖方期权价值都是正相关的，即在其他因素不变的情况下，波动率越大，期权价值越高，反之亦然。可得：波动率对期权价值的影响是非线性的，如果值越大，则期权价值对于波动率很小的变化就会很敏感；如果值很小，则波动率的变化不会对期权价值产生太大影响。3 波动率的计算GM（1,1）模型3.1 灰色预测模型灰色预测理论认为在现实世界中，许多不确定因素和未知因素不可避免地对分析与决策产生不利影响，而这种不确定性实质上是由于系统信息的不完全所造成的。该理论通过系统现有信息，发现系统发展的规律，建立相应的灰色微分方程模型，从而预测系统未来发展趋势。9GM（1,1）模型是最常用的单因素预测模型，其目标之一是建立一阶线性微分方程：式中， 为一次累加生成的数据序列；称为发展灰数；称为内生控制灰数。灰色预测模型在预测中有独特的优势，它能充分利用已有的不完全信息，将差分方程改为微分方程，在短中期预测中有较高精度。3.2 灰色模型预测步骤假设原始数据列为：其预测步骤如下：Stept1：生成累加数列 Stept2：构造数据矩阵和数据向量。Stept3：采用最小二乘法求解参数Stept4：求解微分方程求解微分方程，得到预测模型公式，即响应函数为： Stept5：模型检验为衡量预测的精度，灰色预测检验一般有残差检验和后验差检验。（1）残差检验分为残差和相对误差：（2）后验差检验采用方差比和小概率误差衡量：式中， 为原始序列的标准差； 为绝对误差序列的标准差。小概率误差：通常根据方差比C值和小概率误差P值来确定预测精度等级，10即 P 值越大，C 值越小，预测精度越高（见表1）。表1 预测精度等级划分表P值C值精确度等级0.950.800.700.65勉强合格=0.65不合格灰色预测在短期预测中有较高精度，在房地产价格预测中已经得到了成熟应用。3.3 波动率计算波动率计算通常采用对数现金流和变异系数法。在对数现金流法中，将现金流进行对数变换的目的是在不改变序列特征的前提下减小序列波动性。由于灰色预测模型中的响应函数为：其中，已经采用了自然幂指数作为预测手段，若依然采用对数现金流法计算波动率则波动率表现为 0。因此，可采用变异系数作为波动率的计算值。11式中，为预测数据标准差；为预测数据均值。4 实物期权在房地产投资决策中的应用4.1 案例简介下面就将GM（1,1）模型应用于房地产投资决策中分期开发项目间增长期权的问题。为验证模型，所采用案例为：已知某房地产企业拟开发一房地产项目，该项目可分为两期进行开发，开发商可以选择只进行第1期开发，也可以选择开发完第1期后继续进行第2期的开发。1其中，案例年份已经修改为最近年份，目的是为了结合下文中国住宅房屋价格的更新数据所得。第1期项目预期在2014年年初开始，建设期为3年，建设期的第2年开始销售，销售期为4年。第2期项目预期在2017年年初开始，建设期为4年，建设期的第3年开始销售，销售期为4年。各期开发的现金流入和现金流出（见表2,3）。表2 第1期项目现金流量表（单位：万元）年份现金流入现金流出净现金流量201403200-3200201524003600-1200201629003300-40020172800028002018250002500表3 第2期项目现金流量表（单位：万元）年份现金流入现金流出净现金流量201703200-3300201803500-3500201940003700300202042003600600202143000430020224000040004.2 传统投资决策分析传统的NPV法计算公式式中，折现率根据国家发展与改革委员会、建设部发布的建设项目经济评价方法与参数取为8%。第1期项目：根据净现值理论，应该拒绝第1期项目。也就是房地产开发商一定不会选择只进行第1期项目的开发。而会考虑进行第1期的开发继续进行第2期项目的开发。第2期项目：综合第1期和第2期项目作总决策时，将现金流折现到2014年年初，两期项目总的：根据净现值理论，分两期开发的此项目也应该被拒绝。4.3 增长期权的指标体系在上述的净现值计算中，实际上忽略了两期项目投资机会的不确定性价值，即未来项目期权的价值。在该投资项目中，可以把房地产开发商的投资看成是一项期权，进行第1期投资就意味着支付了期权费，从而拥有了进行第2期投资的权利，可以在将来根据市场环境的变化决定是否进行第2期项目的投资和第2期项目的投资规模。可以根据B-S期权定价模型，求出两期项目间隐含的增长期权的价值。4.3.1 标的资产的当前价格也就是第2期项目的现金流入在2014年的现值。4.3.2 期权的执行价格当开发商开始第2期项目的投资时，期权被执行，执行价格为第2期项目的预期投资成本在2017年年初的现值。4.3.3 期权的到期日期权到期日的时间是第1期项目开始到第2期项目开始之间的时间差。此案例第1期项目开始与2014年初，第2期项目开始于2017年初，即：。4.3.4 无风险利率房地产开发项目的无风险利率一般选择与项目同期限的国债利率，此案例选取2014年发行的3年期的国债利率为。4.3.5 波动率未知，是影响期权价值的关键因素。4.4 波动率的计算（灰色预测模型）房地产项目的收益主要来自于房屋销售额，而对于某一具体的房地产项目而言，可销售量是一定的，房价则变成了影响房地产收益最重要和最为敏感的因素。因此，为简化模型，将房价波动率作为项目波动率的替代值。由于2014年中国统计年鉴中只能查找到最近2013年的中国住宅商品房平均销售价格，所以只能选取2009到2013年的数据（见表4）。表4 2009-2013年中国住宅商品房平均销售价格（元/平方米）年份20092010201120122013住宅商品房平均销售价格44594725499354305850由于历史数据较少，而我们需要的又是2014-2018年之间的数据，所以需要借助于灰色预测模型。4.4.1 GM(1,1)模型的建立记为观测值数列，且得到2009-2013年的观测值数列为：为了保证建模方法的可行性，首先需要计算该数列的级比，以便检验数据是否符合GM（1,1）的建立。其中，级比可用：根据参考数列，可以求得极比和极比的上下限，其中，2010-2013年所有的极比（见表5）。表5 2010-2013年所有的极比年份2010201120122013极比0.94370.94630.91950.9282级比通用范围为：不难发现，2010-2013年所有的极比都在极比上下限之间，因此，可以用灰色法进行预测。于是，用1AGO生成一阶累加生成序列其中，即得：这样新生成的数据弱化了原始数据的随机性，使原来的数据明显接近指数关系规律。对生成序列建立白化微分方程其中，模型参数分别称为发展灰度和内生灰度。对参数进行最小二乘法估计，分别构造数据矩阵B及数据向量Y为：于是，由上述累加数列和观测值数列可得：则和的估计值为解微分方程，得对数列进行累减还原得到原始数列拟合序列为：即得到2009-2013年的灰色预测值（见附程序1）（见表6）。表6 GM（1,1）预测结果对照表（元/平方米）年份20092010201120122013实际值44594725499354305850预测值44594687504254245834绝对误差038-49616相对误差00.80%0.98%0.11%0.27%4.4.2 GM(1,1)模型的检验对GM(1,1)模型进行后验差检验。其中，分别为残差序列的均方差和原序列的均方差。得到c值为：可见均方差比值很小，拟合效果非常好。4.4.3 GM(1,1)模型的算法程序x0=4459,4725,4993,5430,5850;k=5;format long g;n=length(x0);x1(1)=x0(1);g=exp(-2/(n+1),h=exp(2/(n+1)for i=2:nk(i)=x0(i-1)/x0(i)endfor i=2:n x1(i)=x1(i-1)+x0(i);endfor i=1:n-1 B(i,1)=-0.5*(x1(i)+x1(i+1); B(i,2)=1; Y(i)=x0(i+1);endalpha=inv(B*B) *B*Y;a=alpha(1,1)b=alpha(2,1)d=b/a;c=x1(1)-d;x2(1)=x0(1);x(1)=x0(1);for i=1:n-1 x2(i+1)=c*exp(-a*i)+d; x(i+1)=x2(i+1)-x2(i);endfor i=(n+1):(n+k) x2(i)=c*exp(-a*(i-1)+d; x(i)=x2(i)-x2(i-1);endfor i=1:n error(i)=x(i)-x0(i); error1(i)=abs(error(i); error2(i)=error1(i)/x0(i);endxc=std(error1)/std(x0)plot(2009:2013,x0,-r*)hold onplot(2009:2018,x,-go)gtext(真实值)gtext(预测值)xlabel(2009-2018年)ylabel(零售额)title(住宅商品房平均销售价格（元/平方米）)4.4.4 GM(1,1)模型的预测采用上述模型，利用Matlab软件编程，可以预测未来5年的房地产价格（见表7）。表7 2014-2018年预测房价表（单位：元/平方米）年份20142015201620172018住宅商品房平均销售价格62756750726178118402其中，所预测的数据可用图形显示（见图1）。图1 2014-2018年住宅商品房平均销售价格预测图4.4.5 波动率的计算根据表7预测数据，并利用公式：式中，为预测数据标准差；为预测数据均值。可以计算出波动率为：4.5 实物期权价值将以上确定的各参数带入B-S期权定价模型：第1期项目的投资使得房地产开发商拥有了是否开发第2期项目的增长期权，该增长期权的价值是520.3929万元。4.6 考虑实物期权的项目扩展价值因此，该项目的扩展价值为：所以，该项目分两期开发在经济上市可行的。从上述案例中可以看到，实物期权分析方法与传统的分析方法相比，得到了截然不同的结果，考虑了增长期权的项目价值远大于传统净现值法得到的结果。传统净现值小于零，而根据增长期权的评价法则净现值大于零，也会接受该项目。由此可见，运用带GM（1,1）的实物期权分析方法，纠正了净现值法对项目价值低估的现象，加入了投资决策者主观能动性和投资灵活的实物期权价值，避免了好的投资机会流失的现象。5 总结由于传统的净现值投资决策方法在房地产投资中存在着一些缺陷，低估了项目的价值，实物期权方法则考虑到了房地产投资中的不确定性问题，通过GM（1,1）模型和期权定价模型将期权的价值量化，从而使房地产的投资决策更加科学和合理。然而，实物期权理论在房地产投资中的具体应用还有待进一步深入的探讨研究和完善。参考文献1 侯晨曦,宋永发,马宁.实物期权在房地产投资决策中应用研究J.工程管理学报,2010.24(4):447-451.2 2014中国统计年鉴./tjsj/ndsj/.3 费鹍,袁永博.基于灰色预测理论的实物期权波动率计算以房地产项目为例J.工程管理学报,2013.,27(5):98-102.4 刘小峰.实物期权评估模型中波动率的计算及其敏感性分析J.中国资产评估, 2013(04).46-48.5 Luiz E. Brandoa, James S. Dyerb, Warren J. Hahnc. Stochastics and Statistics Volatility estimation for stochastic project value models J. European Journal of Operational Research, 220(2012): 642-648.6 黄卫华.实物期权模型波动率参数度量研究J.现代商贸工业,2008.20(6):184-185.7 潘长风.实物期权视角下的房地产投资决策D.上海:复旦大学,2010.8 赵伟雄,崔海蓉,何建敏.GARCH 类模型波动率预测效果评价以沪铜期货为例J.西安电子科技大学学报(社会科学版),2010.20(4):27-32.9 Luiz E. Brandoa, James S. Dyerb, Warren J. Hahnc. Stochastics and Statistics Volatility estimation for st