地理加权空间滞后模型的2SLS估计.doc

地理加权空间滞后模型的2SLS估计黄砚玲龙志和 林光平黄砚玲：华南理工大学经济与贸易学院，博士研究生，联系地址：广东省深圳市南山区科技园南区科苑南路海阔天空F-12A ,邮编：518000，电话手机电子邮箱：.龙志和：华南理工大学经济与贸易学院，教授，博导，通讯地址：广州市华南理工大学工商管理学院邮编：510640. 电话 E-Mail: Kuan-Pin Lin（林光平）： Professor, Department of Economics, Portland State University, Portland, Oregon USA,97207. Tel: 001+503-725-3931. E-Mail: 地理加权空间滞后模型的2SLS估计黄砚玲1 龙志和1 林光平2(1.华南理工大学；2.美国波特兰大学)【摘要】本文建立了地理加权空间滞后模型的2SLS估计框架，对模型进行了估计与推断研究。在2SLS估计框架下估计地理加权空间滞后模型能够有效的减少计算量，并且解决了地理加权空间滞后模型估计中误差分布未知的限制，拓展了地理加权空间模型的估计方法。关键词：地理加权空间滞后模型，2SLS估计The GWR-SL models 2SLS estimateAbstract：This paper set up a 2SLS framework to estimate and infer GWR-SL model (Geographically Weighted Regressor with Spatially Lagged Objective Variable Model). 2SLS estimates can effectively reduce the computational complexity, and solved the unknown error distribution restrictions, expanding the GWR-SL models estimation method.Keyword: GWR-SL model, 2SLS estimate一、 引言空间相关性与空间异质性是空间经济研究的两大主题。由于处理空间异质性问题的复杂性，相比较而言，解决空间异质性经济计量研究落后于空间相关性分析技术进展。目前，空间异质性经济计量分析中，由 Brunsdon (1996，1998，1999) 提出的“地理加权回归（Geographically Weighted Regressor）”方法（简称GWR方法）在学界影响较大，广泛应用于环境、医学、生物、交通、社会学等领域的研究(Brunsdon，2001；Zhang and Shi,2004;Huang and Leung,2002)。在观测点o(o=1,2,n)的近似线性曲面，基于GWR方法普通线性模型的一般形式为（以下简称GWR模型）： 其中，是观测点o的误差，、为因变量矩阵Y、解释变量矩阵X在观测点o处的观测值；系数是观测点o 的地理位置坐标的函数。GWR模型实质上是通过对每个观测点分别估计，且假设观测点o涵盖所有样本，即，来处理空间异质性问题。Brunsdon（1998）认为，空间事物之间的关系十分复杂，实际经济研究中不仅要考虑空间异质性，还要综合考虑空间相关性，由此提出了GWR方法与空间滞后因变量模型相结合分析方法，即地理加权空间滞后因变量模型（Geographically Weighted Regressor with Spatially Lagged Objective Variable Model，简称GWR-SL模型）。在任意点o近似线性曲面，GWR-SL模型的矩阵形式为： 其中Y、X是因变量矩阵和解释变量矩阵，W是对角线元素为0的空间权重矩阵（见Anselin,1988），记是空间滞后系数，是系数向量，是误差向量。由于GWR-SL模型含有空间滞后项，用普通最小二乘回归会导致估计量不一致（Anselin，1998）。为此，Brunsdon（1998）采用最大似然估计（简称ML估计）对GWR-SL模型进行了估计研究 实际上，由于ML估计涉及到计算量巨大，Brunsdon（1998）并没有实现在整个样本的CV法则下的GWR-SL模型的ML估计，而是采用了诸如子集法（即从总体中抽取部分样本作为子集），然后利用CV法则求出窗宽h，进而估计模型。不过，ML估计有两点局限，其一，计算量巨大，在大样本情况下，计算量问题尤为突出；其二，ML估计假定误差项服从正态分布，或其他已知分布（Kelejian and Prucha,1998,1999；Pace and Barry 1997a,b；Lee，2003），而在实际经济分析中通常无法确定误差项的分布。由此，本文构建了GWR-SL模型的两阶段最小二乘法（2SLS）估计框架，对GWR-SL模型进行非参数估计与推断研究。采用2SLS估计可以克服ML估计在模型估计中存在的问题，不需要假定误差分布已知，而且计算量大为减少。本文结构安排如下：第二部分介绍GWR-SL模型与两阶段最小二乘法（2SLS）方法；第三部分，建立GWR-SL模型的2SLS估计框架，并对GWR-SL 模型进行估计与推断研究；第四部分是实例说明；第五部分为结论。二、GWR-SL模型与2SLS估计介绍空间滞后因变量模型一般形式为： (1)误差向量，而且误差项相互独立。Kelejian等（1998，2006）针对ML估计存在的问题，提出模型(1)有效的2SLS估计：将 (1)式改写为： (2)其中，对 (2)式采用2SLS估计得到参数估计量： (3) ， ，是工具变量矩阵。是的一致估计量，而且。关于工具变量矩阵H的选择，Kelejian(1998,2006)认为理论上可以取为： (4)Kelejian(2006)建议，一般情况可采用矩阵所有线性无关列构成的矩阵；如果解释变量个数较多，可用的线性无关列构成的矩阵。 Kelejian（1998，2003，2006）2SLS估计的约束条件是，解释变量矩阵X有限假设矩阵A，其元素为，如果存在常数，使得成立，则认为矩阵A有限。满秩，空间权重矩阵有限；一般取行标准型，其特征根绝对值小于等于1，且矩阵有限非奇异。令，有限非奇异；令，有限满秩。模型(1)假设各个观测点的系数相同，故该模型本质上是全局模型。由于空间异质性的存在，Brunsdon(1998)提出模型(1)的局部模型，即地理加权空间滞后模型(GWR-SL模型)：假设在任意观测点o(o=1,2,n), 回归面可近似为如下线性形式： ， (5)其中，分别表示维因变量观测值矩阵和维解释变量观测值的矩阵，是与观测点o相关的维待估参数向量，是与观测点o相关的空间滞后项的待估标量参数，W是维空间权重矩阵，是与观测点o相关的型误差向量，误差向量各元素相互独立，且，地理权重矩阵(是的逆矩阵)有多种取法(Brunsdon,1998) 为地理核权矩阵，常用的有Gauss核、bi-squre核等，见文献Brunsdon1998。本文令，即取Gauss地理权重矩阵，表示观测点o与观测点i的距离，h是窗宽。(5)式也可写成如下形式： (6) 将矩阵左乘 (5)式的两端，有 (7)记，则(7)式可以写成如下形式： (8)其中，。由于模型(8)含有空间滞后项，此时采用OLS估计将会导致估计参数有偏，且非一致估计量（Aselin1988， Kelkejian1998）。三、GWR-SL模型估计与参数显著性检验为解决OLS对GWR-SL模型估计有偏，ML估计计算量大和误差分布已知的限制，本文在Kelkejian(1998，2006)的基础上，建立GWR-SL模型的2SLS估计框架，对GWR-SL模型进行估计与参数显著性检验研究。1、GWR-SL模型的2SLS估计记，模型(8)变为 (9)对(9)式采用2SLS估计法进行估计，得到估计量如下： (10)其中， ，是与观测点o的地理位置相关的工具变量矩阵；是的一致估计量。通过对(10)式化简，有表示真值的第o(o=1,2,n)个元素的拟合值，表示矩阵Z的第行，H见(4)式，可以得到模型(5)的被解释变量在各个观测点的拟合值：，其中帽子矩阵为如下形式： (11)全局误差拟合值为，全局误差平方和为。窗宽的确定法则有很多，如拇指法（Rule-of-thumb）,插入法（Plug-In）,交错鉴定法（CV，Allen&Stone1974）、广义交错鉴定法（GCV，Wahba 1977；Craven，Wahba1979），AIC法则，BIC信息法则等。本文与多数研究者相一致，采用CV法则。CV法则的具体表达式为：， 表示除掉o点后，在窗宽h下，的拟合值。由于GWR-SL模型包含空间权重矩阵，利用CV法则涉及到n个n-1维的空间权重矩阵，所以采用ML估计计算量非常巨大（Brunsdon 1998）。2、工具变量矩阵的选择由于，所以，根据(5)，有 当 (12)故工具变量矩阵可取为线性无关列组成的矩阵。实际操作时，通常取线性无关列构成的矩阵；如果解释变量包含的变量个数较多，则取为的线性无关列构成的矩阵。3、GWR-SL模型估计系数的显著性检验在观测点o(i=1,2,n)的近似线性回归曲面上，根据Kelkejian(1998)，的2SLS估计量服从正态分布，即。把代入(5)式,有 (13)将代入，有 (14)令,有，得到，可求出的无偏估计量，即，可以对进行参数显著性检验。对于参数是否显著异于0的检验，可构造统计量 (15)有。其中，表示矩阵的第o个对角线元素。从(10)、(15)式可知，在2SLS框架下对GWR-SL模型进行估计与推断，相比ML估计，计算量大为减少，而且放松了误差分布已知的限制，丰富了GWR-SL模型的估计方法。 四、实例分析本文以Anselin(1988)对美国俄亥俄州(Ohio)哥伦比亚(Columbus) 的城市犯罪问题的研究作为例子 LeSage(1999)用该例对GWR模型进行了验证，结果说明该例存在显著的空间异质性，但是没有对该例存在的空间相关性进行研究。，对GWR-SL模型的2SLS估计进行了验证。实例中所有计算均采用GAUSS 7.0完成(Lin,2003)。Anselin（1988）认为，城市犯罪与地区收入水平，以及该地区房地产价格相关。由于一个地区的犯罪情况往往会受到相邻地区犯罪情况的影响，应该引入空间相关性，林光平(2007)通过LM-Error与LM-Lag检验，认为采用空间滞后模型更为恰当，其采用的空间模型与模型估计结果如下：犯罪次数=+家庭收入+房地产价格+犯罪次数+ (16)犯罪次数=45.079-1.032家庭收入房地产价格+犯罪次数 (17)模型(16)本质上而言是全局模型，并不能够说明变量“家庭收入”、“房地产价格”以及空间影响对各个地区的分别作用。为此，本文采用GWR-SL模型从局部角度加以研究。本研究计算中，地理权重矩阵采用Gauss权重矩阵，窗宽的选择采用CV法则，工具变量矩阵H为线性无关列（X是解释变量矩阵）。值得说明的是，在2SLS估计中，只要求误差项独立同分布，并不要求误差项的分布已知，而且2SLS估计并不涉及最优化计算，所以计算速度要远远快于ML估计。本文计算结果见附表1。图1是各解释变量的系数估计值与系数显著性t值图，左边纵坐标为系数估计值的刻度，右边纵坐标为系数显著性t值的刻度。图1显示各项变量估计系数的符号都符合经济意义，系数都显著不为0。由于GWR-SL模型是局部模型，解释变量的估计系数在每个观测点的值都不同，揭示了家庭收入、房产价格、空间影响等变量在不同的地区有着不同的影响，充分体现空间异质性。模型中空间滞后项系数的变化说明不同地区之间的空间影响，消除了全局模型(10)的系数在每个地区固定不变可能产生的误差。 图1 GWR-SL模型估计系数与系数显著性检验t值五、结论本研究在Kelkejian(1998，2003，2006，2007)的基础上，建立GWR-SL模型的2SLS估计框架，对GWR-SL模型进行估计与推断研究，该估计的优点是计算量远小于ML估计，避免了ML估计中误差分布已知的限制，解决了GWR-SL模型误差分布不确定时模型变量系数的估计问题，拓展了GWR-SL模型估计方法。本文以一阶GWR-SL模型为研究对象，如何建立高阶GWR-SL模型的2SLS估计框架是下一步的工作。参考文献：1 Anselin, L. Spatial Econometrics: Methods and Models. Dordrecht, Kluwer.1988.2 Brunsdon, C., A. S. Fotheringham, and M Charlton, “Geographically weighted regression：a method for exploring spatial nonstationarity”, Geographical Analysis 35，pp.58-82. 3 Brunsdon,C, A. S. Fotheringham,“Spatial nonstationarity and autoregressive models”,Environment and Planning A 1998, volume 30, pages 957-973.4 Brunsdon, C., A. S. Fotheringham, and M Charlton,“Some notes on parametric significance tests for geographically weighted regression” Journal of Regional Science 39,pp.497-524.5 Brunsdon C, McClatchey J, Unwin D J, 2001, Spatial variations in the average rainfall - altitude relationship in Great Britain: an approach using geographically weighted regression International Journal of Climatology 21 455- 466。6 Craven，P.and Wahba,G.1979.Smoothing noisy data with spline functions: Estimating the correct degree of smoothing by the method of generalized cross-validation. J. Numerische Mathematik ,31,377-403.7 Eckey, H.-F., R. Kosfeld, M. Trck，“Regional Convergence in Germany: A Geographically Weighted Regression Approach”, Spatial Economic Anlaysis, 2007, vol. 2, issue 1，4564.8 Have Blocks of Equal Elements”,Journal of Regional Science,vol 46,3,2006,pp.507-515.9 Kelejian H,Prucha,R,“A Generalized Spatial Two-Stage Least Squres Procedure for Estimateing a Spatial Autoregressive Model with Autoregressive Disturbances”,Journal of Real Finance and Economics,vol,17:1,99-121,1998.10 Kelejian H,Prucha,R,”Estimation Problems In Models with Spatial Weighting Matrices Which Have Blocks of Equal Elements”,Journal of Regional Science,vol 46,NO 3, 2006, pp 507-515.11 LeSage J.P. The Theory and Practice of Spatial Econometrics. www.sfc.keio.ac.jp. 1999.12 Lung-fei Lee, GMM and 2SLS estimation of mixed regressive,spatial autoregressive models, Journal of Econometrics, 137 (2007) 489514.13 Lin, K.-P. 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