《无穷等比数列的各项和》教案1

无穷等比数列的各项和教案1 7.8 （1）无穷等比数列的各项和 （1） 一、教学内容分析本小节的重点是无穷等比数列的各项和公式及简单应用教材在前面已经介绍了等比数列的前n项和与极限的概念，利用极限不难将“等比数列的有限求和”转化为“等比数列的无限项求和”教材这样处理，既符合学生的认知规律，又让学生深刻体会从有限认识无限、从已知认识、从近似认识精确的极限思想，能充分调动学生的求知欲望，开扩学生思路，激发学习数学的兴趣本小节的难点是正确理解无穷等比数列的各项和的定义突破难点的关键是创设问题情景，利用对问题的分析，得出定义，推导出无穷等比数列的的各项和的公式，激发学生学习知识的兴趣，引导学生进行思维创新，在不断探索中发现问题、解决问题 二、教学目标设计1理解无穷等比数列的各项和的定义；2掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；3理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别；4通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应用意识. 三、教学重点及难点教学重点无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用.教学难点正确理解无穷等比数列的各项和的定义. 四、教学用具准备实物投影仪 五、教学流程设计实例引入 六、教学过程设计 一、复习引入思考下列问题 1、0.9?和1哪个数大？为什么？ 2、由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%.假设其第一次摆动弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆动的弧的长度和.对于问题1，先让学生进行讨论，然后展示他们的结果.引导学生回答以下问题 （1）如果你认为0.91?，那么0.9?比1小多少？ （2）如果你认为0.91?，那么你能否找到一个实数a，使得0.91a?成立？换一个角度来看，事实上?100.90.9990.90.090.0009n?个而?100.90.090.0009n?个，是首项为0.9，公比为110的无穷等比数列，它的前n项和为?1010.911010.90.090.00091110110nnnnS?个.课堂小结并布置作业无穷等比数列的各项和的定义无穷等比数列无穷等比数列的各项和公式的推导公式的运用与深化(例题解析、巩固练习)于是可以把0.9?看作nS当n?时的极限，从而110.91111010n nnn n nnlimS lim lim lim?.对于问题2，同样进行分析.对比以上两个问题，它们有何共同特征？ 二、讲授新课 1、无穷等比数列的各项和的公式的推导提问在问题1的讨论中，我们将0.9?看成首项为0. 9、公比为0.1的无穷等比数列的前n项和的极限.请同学们思考，是否无穷等比数列的前n项和的极限都存在？如果它的极限存在，那么极限等于什么？指出当无穷等比数列的公比q满足|1q?时，其前n项和的极限才存在.当0|1q?时，无穷等比数列前n项和的极限如下111 (1)111nnna qa aSqq qq?（|1q?）11 (1) (1)11nnnn nn naq alimSlimlimlim qqq?11 (1)11nn naalim limqqq?.0|1q?，0nnlimq?.11nnalimSq?让学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式强调只有当无穷等比数列的公比q满足0|1q?时，其前n项和的极限才存在 2、无穷等比数列的各项和的定义提问通过刚才的讨论，你能否给无穷等比数列各项和下一个定义？请用数学语言来描述一下我们把|1q?的无穷等比数列的前n项的和nS当n?时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S表示.11aSq?（|1q?）.强调只有当无穷等比数列的公比q满足0|1q?时，其前n项和的极限才存在 3、无穷等比数列各项和的应用例1化下列循环小数为分数 （1）0.29?； （2）3.431?.分析设法将循环小数化成等比数列的前n项和，然后求极限.解 （1）?2100.290.290.00290.00029n?个等式右边是首项为0.29，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，所以0.29290.2910.0199?. （2）3.4313.40.0310.000310.0000031?，等式右边是3.4加上一个首项为0.031，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，所以0.0314314273.4313.43310.0110990990?.师生共同总结得出循环小数化为分数的法则1纯循环小数化分数将一个循环节的数作分子，分母是99?9，其中9的个数是循环节数字的个数2混循环小数化分数将一个循环节连同不循环部分的数减去不循环部分所得的差作分子，分母是99?900?0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同练习471,2P例2（补充）求下列循环小数的和0.290.00290.000029?分析把每一个循环小数化为分数，然后再求和解同例1可求得，290.2999?，290.00299900?，290.000029990000?，?原式=292929999900990000?上式表示首项为2999，公比为1100的无穷等比数列的各项和原式=29290099198011100?练习求下列循环小数的和0.30.030.003?答案1027例3如图，正方形ABCD的边长为1，联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形A1B1C1D1；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小正方形A2B2C2D2；如此无限继续下去.求所有这些正方形周长的和与面积的和分析关键是求出第n个正方形的边长与前一个正方形的边长的关系.解由题意得第1个正方形的边长11a?，第n个正方形的边长22111122nnn nnn nA B BCa A B?211222nnaa?，2n?.即所有正方形的边长组成的数列为121221,2242n?，于是所有正方形的周长组成的数列为D3C3B3A3D2C2B2A2B1C1A1D1DABC?124,22,2,2,4,2n?，这是首项为 4、公比为22的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和l为4842212l?.所有正方形的面积组成的数列为111111,2482n?，这是首项为 1、公项为12的无穷等比数列，故所有的正方形的面积之和S为12112S?.练习473P.补充练习（可以和作业的思考题 （2）联系讲解）在边长为1的正方形ABCD中，取AD、BC中点1A、1B，得矩形11ABB A；取11AB、DC中点2A、2B，得一小矩形212A BCB；再取1AD、22AB中点33AB、，得一小矩形1233AA BA；如此无限继续下去，求所有这些矩形的面积之和所有面积组成首项为12，公比为12的无穷等比数列，所有这些矩形面积之和为1事实上，从作图的过程可知，让作图无限下去，这些矩形面积之和正好是边长为1的正方形的面积. 三、课堂小结1.无穷等比数列的各项和的公式S=qa?11(1?q)；2无穷等比数列各项的和，是一个极限值，并且这个极限是可以达到的；3无穷等比数列的各项和存在是有条件的，即公比q满足01q?；4要学会从特殊问题的解决过程中体会一般化问题的解决方法 四、课后作业A4B4B3A3B2A2B1A1CBAD 1、书面作业21.1,2,3,5P A；22.1,2P B 2、思考题 （1）正项等比数列的首项为1，前n项和为nS，求1nnnSlimS? （2）早在公元前四世纪我国的公孙龙就有“一尺之捶，日取其半，万事不竭”的提法， （1）请写出此数列并求其各项的和； （2）可把此数列与哪个图形的面积联系起来，使此数列各项的和等于其面积和参看小结前的补充练习 七、教学设计说明1本节课的关键是让学生体会到无穷多个数相加时，加法法则不再适用求无穷多个数的和实际上是求一个极限（并且这个极限可以达到）一个无穷等比数列的各项和存在的关键是该数列的前n项