复变函数与积分变换教学大纲

复变函数与积分变换课程教学大纲课程编号：30505008课程性质：专业必修课 先修课程：高等数学 总学时数：54 学分：3 适合专业：电子信息工程（一）课程教学目标本课程是电子信息工程专业和自动化专业的一门重要的专业必修课。课程的教学目标是使学生理解掌握复数和复变函数的有关理论，能应用复变函数的积分理论、留数理论等解决一些实际问题，并初步建立起平面区域之间的共形映射的概念，为学习后续课程打下比较扎实的基础。（二）课程的目的与任务本课程的目的是：使学生能够正确理解和掌握复变函数的基本理论和基本方法，并具备较熟练的演算技能和初步的综合应用能力。本课程的任务是：使学生学习复变函数的基本知识、解析函数的基本理论、复变函数的积分性质和计算方法、解析函数的泰勒展开式和洛朗展开式、留数及其在实积分中的应用，共形映射及分式线性映射等方面的知识。（三）理论教学的基础要求通过本课程教学的主要环节（课堂讲授与讨论、习题课、作业、辅导答疑等），使学生对复数的概念、表示法、解析函数的概念和性质、复变函数的积分、解析函数的幂级数展开式、留数理论及共形映射等内容有比较深刻的了解和认识，着重理解和掌握解析函数的一系列性质和定理等，具备较熟练的演算技能和初步的应用能力；能满足新世纪新科技发展的需求，能胜任自己的工作，运用自己所学复变函数的思想方法去解决学习生活中遇到的实际问题，并为学习后续课程打下坚实的基础。 （四）教学学时分配章次各章名称总学时学时分配讲课习题一复数与复变函数1082二解析函数862三复变函数的积分972四解析函数的级数表示972五留数及其应用972六保形映射972总计544212（五）大纲内容复变函数与积分变换教学大纲第一章 复数与复变函数 （10学时）本章教学内容：1、复数2、复数的三角表示3、平面点集的一般概念4、无穷大与复球面5、复变函数本章教学目的及要求：1、使学生熟练掌握复数的各种表示方法和运算法则。2、使学生了解区域的概念。3、深刻理解复变函数的概念，掌握复变函数的极限和连续性的概念。本章教学重点及难点：复数的各种表示方法；复变函数的概念；复变函数的极限和连续性的概念和性质。第二章 解析函数教学时数 （8学时）本章教学内容：1、解析函数的概念2、解析函数和调和函数的关系3、初等函数本章教学目的及要求：1、使学生深刻理解复变函数的导数概念、解析函数的概念、解析函数与柯西黎曼方程的联系。2、使学生掌握初等解析函数的基本性质。3、了解调和函数与解析函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法。本章教学重点及难点：复变函数的导数概念及解析函数的概念；解析函数与柯西黎曼方程；调和函数与解析函数。第三章 复变函数的积分 （9学时）本章教学内容：1、复积分的概念2、柯西积分定理3、柯西积分公式4、解析函数的高阶导数本章教学目的及要求：1、使学生理解复积分的定义，了解其性质，掌握复积分的求法。2、理解并掌握柯西定理、复合闭路定理、柯西积分公式和高阶求导公式。本章教学重点及难点：复积分的定义；柯西积分定理、复合闭路定理、柯西积分公式和高阶求导公式。第四章 解析函数的级数表示 （9学时）本章教学内容：1、复数项级数2、复变函数项级数3、泰勒级数4、洛朗级数本章教学目的及要求：1、使学生理解复数项级数和幂级数收敛、发散概念。2、了解幂级数的基本性质，掌握收敛半径的求法。3、掌握简单函数在不同圆环域内展开为罗朗级数的间接方法。本章教学重点及难点：复数项级数、幂级数收敛、发散概念；简单函数在不同圆环域内展开为罗朗级数的间接方法。第五章 留数及其应用 （9学时）本章教学内容：1、孤立奇点；2、留数3、留数在定积分计算中的应用本章教学目的及要求：1、使学生理解孤立奇点及其分类；掌握留数的概念和留数定理。2、使学生熟练掌握极点处留数的求法及用留数求定积分的方法。本章教学重点及难点：孤立奇点及其分类、留数的概念及留数定理；极点处留数的求法；用留数求定积分的方法。第六章 保形映射 （9学时）本章教学内容：1、保形映射的概念2、保形映射的基本问题3、分式线性映射4、几个初等函数构成的保形映射本章教学目的及要求：1、使学生了解导数的几何意义及保角映射的概念。2、使学生掌握分式线性映射的保圆性、保对称性等映射性质及幂函数、指数函数的映射特点。3、了解一些简单区域（如半平面、角形域、圆域、带形域等）之间的保形映射。本章教学重点及难点：分式线性映射的保圆性、保对称性等映射性质及幂函数、指数函数的映射特点。（六） 课程有关说明1、复变函数与积分变换课程是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课。本课程主要讲授复变函数与积分变换的基本理论和方法。通过本课程的学习，学生不仅能够学到复变函数与积分变换的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特殊重要的作用。2、本课程是物理与电子工程系电子信息工程专业和自动化专业的一门重要基础课，它的任务是使学生学习复变函数的基本知识、解析函数的基本理论、复变函数的积分性质和计算方法、解析函数的泰勒展开式和洛朗展开式、留数及其在实积分中的应用，共形映射及分式线性映射等方面的知识。3、通过本课程的讲授不仅有助于培养学生的辩证唯物主义观点，而且能够使学生进一步加深对复数和复变函数的有关理论的理解，能应用复变函数的积分理论、留数理论等解决一些实际问题，初步建立起平面区域之间的共形映射的概念；为学习后续课程打下比较扎实的基础。4、本课程总教学时数为54学时，其中课堂讲授与习题课之比约为3：1（括号内的时数包括习题课时数）。5、执行本大纲时，应注意以下几个问题：（1）在不影响基本要求的情况下，本大纲所列各单元讲授顺序和时数安排，可作适当调整。（2）为避免教学上的难点过于集中，有些内容可先提出并应用，把证明推迟进行，如留数定理在实积分中的应用。（3）为了有利于高等数学教学的衔接，建议把高等数学微积分的内容和复变函数的极限、连续、积分、幂级数展开式等相联系，以便于学生更好的学好复变函数与积分变换这门课程。6、本课程的教学重点是解析函数、复变函数的积分、解析函数的幂级数展开式和留数定理，第一章主要介绍了复数和复变函数的概念和性质，为学习后继内容作好准备；第七章主要把数与形相结合，以便于学生能更好的理解复变函数。本课程的教学难点是柯西-黎曼方程、柯西积分定理、柯西积分公式、留数在实积分中的应用。7、本课程的教学主要采用课堂讲授与讨论、习题课、作业、辅导答疑等方式进行，并在教学过程中注意使用现代教育技术，不断提高教学效率和教学质量。8、本课程考核将采用笔试的方式进行，期末总成绩由期末考试成绩、平时成绩两部分组成，所占比例分别为70%，30%。 （七） 主要教学方法与媒体要求 本课程的教学主要采用课堂讲授与讨论、习题课、作业、辅导答疑等方式进行，结合课程特点，在教学过程中注重现代教育技术手段的开发和使用，不断提高教学效率和教学质量。坚持理论严谨与直观背景相平行的方法，运用启发式进行课堂教学，注重素质创新教育。（八） 使用教材及主要参考书本课程使