材料力学：压杆稳定

材料力学 I 2020年4月8日 中国地质大学工程学院力学课部 第九章压杆稳定 9 1压杆稳定性的概念 9 2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 9 3不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式 压杆的长度因素 9 4欧拉公式的应用范围 临界应力总图 9 5实际压杆的稳定因素 9 6压杆的稳定计算 压杆的合理截面 一 问题的提出 轴向受压的杆 已经建立了强度条件 即 问题 9 1压杆稳定性的概念 一个小实验 钢尺 1 20 150 实验结果 破坏压力 约154N 远没达到Ps 实际的受压杆件由于 其轴线并非理想的直线而存在初弯曲2 作用于杆上的轴向压力有 偶然 偏心3 材料性质并非绝对均匀因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形 且由此引起的侧向位移随轴向压力的增大而更快地增大 压杆的稳定性是指压杆保持或恢复原有平衡状态的能力 构件除了强度 刚度失效外 还可能发生稳定失效 二 压杆失稳的概念 稳定 和 不稳定 是指物体的平衡性质而言 受压直杆同样存在类似的平衡性质问题 稳定平衡与不稳定平衡 使中心受压直杆的直线平衡形式 由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力 称为临界载荷 或简称为临界力 用表示 2 杆件失稳时 小 科学技术的发展 大量高强 超高强新材料的应用 稳定性问题日益突出 3 受压杆件的失稳 造成整个构架的倒塌 三 稳定性问题的重要性 1 干扰因素的客观存在 1 杆件有一定的初曲率 2 杆件不完全均匀 3 加载时偏心 4 振动因素的不可避免 4 稳定性问题 不仅适用于受压的杆件 其它形式的构件 也有稳定性问题 各种关于平衡形式的突然变化 统称为稳定失效 简称为失稳或屈曲 其他形式的失稳 结构失稳 坝体失稳 板条或工字梁的侧向弯曲问题 狭长截面梁在横向载荷作用下 将发生平面弯曲 但当载荷超过一定数值时 梁的平衡形式将突然变为弯曲和扭转 薄平板的弹性稳定问题 球形薄壳受均匀外压力作用时的稳定问题 受均匀压力的球形薄壳或薄圆环 当压力超过一定数值时 圆环将不能保持圆对称的平衡形式 而突然变为非圆对称的平衡形式 薄壁圆柱筒壳的弹性稳定问题 由于构件的失稳往往是突然发生的 因而其危害性也较大 历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故 如1907年加拿大劳伦斯河上 跨长为548米的奎拜克大桥 因压杆失稳 导致整座大桥倒塌 近代这类事故仍时有发生 韩国汉城 1995年6月29日下午 韩国汉城三丰百货大楼 由于盲目扩建 加层 致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏 大楼倒塌 死502人 伤930人 失踪113人 坍塌后的奎拜克桥 中国南京 2000年10月25日上午10时 南京电视台演播中心演播大厅的屋顶的施工中 由于脚手架失稳 造成屋顶模板倒塌 死6人 伤34人 江西省吉安市 2004年1月5日9时30分 由江西省第一建筑有限责任公司承建的吉安市井冈山师院学生会堂工程 施工人员在22m高处浇筑混凝土时 模板支撑系统失稳坍塌 造成5人死亡 1人重伤 为了保证压杆安全可靠的工作 必须使压杆处于直线平衡形式 因而压杆是以临界力作为其极限承载能力 可见 临界力的确定是非常重要的 压杆的微弯必定发生在抗弯能力最小的纵向截面内 所以惯性I应为截面最小的惯性矩Imin 理想压杆的概念 把细长压杆抽象为无初弯曲 轴向压力无偏心 材料绝对均匀的理想中心压杆 在线弹性 小变形下 近似地 引入记号 改写为 通解为 9 2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 以两端铰支为例 边界条件 y 0 0 y l 0 两端绞支 即 齐次方程有非零解的条件 由此可得 压杆的临界压力是使弯杆保持压缩平衡状态的最小压力 两端绞支细长压杆的欧拉临界压力公式 压杆承受的压力达到临界压力时的微弯曲线 称为失稳波形或失稳形式 n 1时的失稳波形 1 一端固支一端绞支压杆的欧拉临界压力 在线弹性 小变形下 近似地 引入记号 改写为 通解为 边界条件 y 0 0 y 0 0 y l 0 两端绞支 即 9 3不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式 A B FS P不能同时为零 即行列式 一端固支一端绞支细长压杆的欧拉临界压力公式 两端绞支细长压杆的欧拉临界压力公式 例题试推导下端固定 上端铰支的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式 并求该压杆相应的挠曲线方程 图 a 中的xy平面为杆的最小弯曲刚度平面 a 解 1 在推导临界力公式时需要注意 在符合杆端约束条件的微弯状态下 支座处除轴向约束力外还有无横向约束力和约束力偶矩 在推导临界力公式时这是很重要的一步 如果在这一步中发生错误 那么得到的结果将必定是错误的 b 2 杆的任意x截面上的弯矩为 从而有挠曲线近似微分方程 令k2 Fcr EI 将上式改写为 亦即 此微分方程的通解为 从而亦有 式中共有四个未知量 A B k Fy 对于此杆共有三个边界条件 由边界条件x 0 w 0得A Fy kFcr 又由边界条件x 0 w 0得B Fyl Fcr 将以上A和B的表达式代入式 a 有 a 再利用边界条件x l w 0 由上式得 由于杆在微弯状态下保持平衡时 Fy不可能等于零 故由上式得 满足此条件的最小非零解为kl 4 49 亦即从而得到此压杆求临界力的欧拉公式 亦即 还可以进一步求得该压杆在上列临界力作用下挠曲线上的拐点在x 0 3l处 b 各种杆端约束情况下压杆的欧拉临界压力 式中 称为压杆的长度因数 它与杆端约束情况有关 l称为压杆的相当长度 讨论 1 Pcr与E I l 有关 即与材料及结构的形式均有关 2 Pcr与EI成正比 不同的方向EI不一样 压杆要求EI在各方向上尽可能相差不大 且其数值尽可能大 3 Pcr与EI l 有关 同一构件 不同的方向 I不同 不同 视综合情况而定 4 端约束越强 Pcr越大 越不易失稳 5 为了保证不同的方向 尽可能相同 端约束用球铰 这样 各方向有较一致的约束 6 Pcr非外力也非内力 是反映构件承载能力的力学量 该公式仅适用于细长压杆 细长杆定义后述 该公式只适用于线弹性范围 想想为什么 如果杆端为球铰 且杆可以在两个方向上失稳 失稳方向应该是惯性矩较小的那个方向 临界压力下失稳的压杆的挠曲线 杆变形后的曲线形状是半个正弦波 二 公式说明 引入记号 1 细长压杆的临界应力 称为压杆的柔度或细长比 细长压杆的临界应力 这是一个无量纲的量 它综合反映了压杆长度 约束条件 截面形状和尺寸对压杆临界应力的影响 图示钢制压杆的稳定性不合要求 可以采取哪些措施改进设计 其中换用其他钢材对Pcr影响不大 为什么 9 4欧拉公式的应用范围 临界应力总图 2 欧拉公式的适用范围 cr p 欧拉公式成立的条件 欧拉公式适用范围 p 这类压杆又称为大柔度杆 Q235钢 E 206GPa p 200MPa 当临界应力小于或等于材料的比例极限 1 细长杆的临界应力 引入记号 欧拉公式的适用范围 2 中长杆的临界应力 经验公式 3 短杆的临界应力 强度问题 3 临界应力总图 B C A cr D cr a b cr s s P s P O 0 s称为小柔度杆 cr s s p称为中柔度杆 cr a b 二 应用欧拉公式的解题步骤和注意事项 例题由A3钢制成的矩形截面杆 其两端用绞销支撑如图 已知截面尺寸 a 40mm b 60mm 求此杆的临界压力 设l 2 1m l1 2m E 205GPa sp 200MPa 解 压杆在xoy平面内 压杆在xoz平面内 所以 压杆为细长杆 例截面为120mm 200mm的矩形木柱 长l 7m 材料的弹性模量E 10GPa p 8MPa 其支承情况是 在屏幕平面内失稳时柱的两端可视为固定端 图a 若在垂直于屏幕平面内失稳时 柱的两端可视为铰支端 图b 试求该木柱的临界力 解 由于该柱在两个形心主惯性平面内的支承条件不相同 因此 首先必须判断 如果木柱失稳 朝哪个方向弯 从临界应力总图 我们知道 越大 越容易失稳 计算 y z 在屏幕平面绕y轴失稳时 两端固定 y 0 5 在垂直于屏幕平面内绕z轴失稳时 两端铰支 z 1 z y 如果木柱失稳 将在垂直于屏幕平面内绕z轴失稳 z p 应采用欧拉公式计算 例题一端固定一端球绞的圆截面杆的最大工作压力为4kN 其长度0 5m 规定nst 6 材料为A3 sp 200MPa ss 240MPa E 205GPa 试确定压杆的截面直径d 解 因为d未知 不能确定压杆的柔度 采用试算法 假设为细长杆 经验算 假设不合理 解 1 求BC杆的轴力 以AB梁为分离体 对A点取矩 有 2 求BC杆的临界力 16mm 2 cos30 16 103 144 3 707mm2 181132mm4 因为 P 100 前面已求得 故可用欧拉公式计算BC杆的临界力 181132 1 0 2 cos30 103 2 69kN Fcr 69 得 q 15 3kN m 9 5实际压杆的稳定因数 1 影响实际压杆稳定性的因素 初曲率 压力偏心 残余应力 2 稳定许用应力 st 称为稳定因数 与柔度 有关 我国钢结构设计规范根据对常用截面形式 尺寸和加工工艺的96根钢压杆 并考虑初曲率和加工产生的残余应力所作数值计算结果 在选取适当的安全因数后 给出了钢压杆稳定因数j与柔度l的一系列关系值 该规范按钢压杆中残余应力对临界应力的影响从小到大分为a b c三类截面 大多数钢压杆可取作b类截面压杆 例 由Q235钢加工成的工字型截面杆件 两端为柱形铰 即在xy平面内失稳时 杆端约束情况接近于两端铰支 长度因素 z 1 0 当在xz平面内失稳时 杆端约束情况接近于两端固定 长度因素 y 0 6 已知连杆在工作时承受的最大压力为F 35kN 材料的强度许用应力 206MPa 并符合钢结构设计规范中a类中心受压杆的要求 试校核其稳定性 解 522 522 1 计算惯性半径 2 计算柔度 68 9 64 8 3 求稳定因数 取 y和 z中较大的 y来查表和计算 0 849 0 844 0 849 0 845 4 求稳定许用应力 st 0 845 206 174MPa 64 3MPa st 故该连杆满足稳定性要求 此题中的连杆在两个平面失稳时的约束情况 计算长度和惯性矩都不同 应分别计算其柔度以判断其稳定性的强弱 计算压杆稳定性时应注意的问题 1 压杆在不同平面内失稳时约束的不同使 值不同 3 注意压杆在不同平面内失稳时计算长度l的不同 1 压杆稳定计算 稳定安全系数法 考虑一定的安全储备 稳定条件为 P 工作压力 Pcr 临界压力 nst 额定安全系数 nst 额定安全系数 9 6压杆的稳定计算 压杆的合理截面 稳定计算的一般步骤 分别计算各个弯曲平面内的柔度 y z 从而得到 max 计算 s p 根据 max确定计算压杆临界压力的公式 小柔度杆 cr s 中柔度杆 cr a b 大柔度杆 计算Pcr crA 利用稳定条件 进行稳定计算 3m C F B 3 5m 2m A D 例图示结构 立柱CD为外径D 100mm 内径d 80mm的钢管 其材料为Q235钢 P 200MPa s 240MPa E 206GPa 稳定安全系数为nst 3 试求容许荷截 F 解 由杆ACB的平衡条件易求得外力F与CD杆轴向压力的关系为 两端铰支 1 p 可用欧拉公式 由稳定条件 2 压杆稳定计算 折减系数法 工程中为了简便起见 对压杆的稳定计算还常采用折减系数法 即将材料的压缩许用应力 乘上一个小于1的折减系数 作为压杆的许用临界应力 即 1 称为折减系数 P 工作压力 折减系数 A 横截面面积 材料抗压许用值 根据稳定条件 l d P 例图示千斤顶 已知丝杆长度l 0 375m 直径为d 0 04m 材料为Q235钢 强度许用应力 160MPa 符合钢结构设计规范 GBJ17 88 中b类杆件要求 最大起重量为P 80kN 试校核该丝杆的稳定性 解 首先计算该压杆柔度 查表 0 72 故此千斤顶稳定性足够 P l 0 375m 该丝杆可简化为图示下端固定 上端自由的压杆 例题9 5厂房的钢柱由两根槽钢组成 并由缀板和缀条联结成整体 承受轴向压力F 270kN 根据杆端约束情况 该钢柱的长度因数取为m 1 3 钢柱长7m 材料为Q235钢 强度许用应力 s 170MPa 该柱属于b类截面中心压杆 由于杆端连接的需要 其同一横截面上有4个直径为d0 30mm的钉孔 试为该钢柱选择槽钢号码 解 1 按稳定条件选择槽钢号码 为保证此槽钢组合截面压杆在xz平面内和xy平面内具有同样的稳定性 应根据ly lz确定两槽钢的合理间距h 现先按压杆在xy平面内的稳定条件通过试算选择槽钢号码 假设j 0 50 得到压杆的稳定许用应力为 因而按稳定条件算得每根槽钢所需横截面面积为 由型钢表查得 14a号槽钢的横截面面积为A 18 51cm2 18 51 10 4m2 而它对z轴的惯性半径为iz 5 52cm 55 2mm 下面来检查采用两根14a号槽钢的组合截面柱其稳定因数j是否不小于假设的j 0 5 注意到此组合截面对于z轴的惯性矩Iz和面积A都是单根槽钢的两倍 故组合截面的iz值就等于单根槽钢的iz值 于是有该组合截面压杆的柔度 由表查得 Q235钢b类截面中心压杆相应的稳定因数为j 0 262 显然 前面假设的j 0 5这个值过大 需重新假设j值再来试算 重新假设的j值大致上取以前面假设的j 0 5和所得的j 0 262的平均值为基础稍偏于所得j的值 重新假设j 0 35 于是有 试选16号槽钢 其A 25 15 10 4m2 iz 61mm 从而有组合截面压杆的柔度 由表9 3得j 0 311 它略小于假设的j 0 35 现按采用2根16号槽钢的组合截面柱而j 0 311进行稳定性校核 此时稳定许用应力为 按横截面毛面积算得的工作应力为 虽然工作应力超过了稳定许用应力 但仅超过1 5 这是允许的 2 计算钢柱两槽钢的合理间距 由于认为此钢柱的杆端约束在各纵向平面内相同 故要求组合截面的柔度ly lz 根据可知 也就是要求组合截面的惯性矩Iy Iz 如果z0 Iy0 Iz0 A0分别代表单根槽钢的形心位置和自身的形心主惯性矩以及横截面面积则Iy Iz的条件可表达为 亦即 消去公因子2A0后有 在选用16号槽钢的情况下 上式为 由此求得h 81 4mm 实际