数字电子技术-第一章-逻辑代数基础.ppt

数字电子技术 教师 熊兰cqlxiong参考教材 电子技术基础 数字部分 第四版 康华光 华中理工大学 高等教育出版社 电子技术基础 数字部分 第四版 习题全解 陈洪明 中国建材工业出版社 数字电子技术基础 第四版 阎石 高等教育出版社 课程的内容与地位是电气工程类各专业的技术基础课 学习数字逻辑电路的分析 设计与应用等知识 为后续课程 如单片机原理 电工电子综合设计 电机测试与控制 数字信号处理器 DSP 电气传动等课程 的学习打下基础 1 1概述 1 2逻辑函数 第1章逻辑代数基础 1 3逻辑代数的基本定律 1 6具有无关项的函数化简 1 5逻辑函数化简法 1 4逻辑函数表示法 教学要求 了解常用的二 十进制编码 理解最小项及其性质 掌握二 八 十六进制及其与十进制的相互转换 逻辑代数的基本定理及常用公式 逻辑代数的代数化简法和卡诺图化简法 逻辑函数的一般表达式及标准表达式的转换 1 1概述 1 1 1数字信号与数字电路 1 1 2数制与码制 1 1 3算术运算与逻辑运算 1 1 1数字信号与数字电路 模拟信号 在时间上和数值上均连续的信号 数字信号 在时间上和数值上均不连续的 即离散的 信号 u u 模拟信号波形 数字信号波形 t t 对模拟信号进行传输 处理的电子线路称为模拟电路 对数字信号进行传输 处理的电子线路称为数字电路 2 按所用器件制作工艺的不同 双极型 TTL型 单极型 MOS型 3 按照电路的结构和工作原理的不同 组合逻辑电路 无记忆功能 时序逻辑电路 有记忆功能 输出信号不仅和当时的输入信号有关 而且与电路以前的状态有关 1 按集成度分类 小规模 SSI 10每片晶体管个数 门电路 触发器中规模 MSI 10 100 计数器 译码器 编码器 比较器大规模 LSI 100 1000 中央控制器 存储器 接口电路超大规模 VLSI 1000 1000000 微型计算机 数字电路的分类 数字电路的优点 1 便于高度集成化 2 工作可靠性高 抗干扰能力强 3 数字信息便于长期保存 4 数字集成电路产品系列多 通用性强 成本低 5 保密性好 1 1 2数制与码制 一 数制 二 码制 1 进位制 表示数时 仅用一位数码往往不够用 必须用进位计数的方法组成多位数码 多位数码的构成方式以及从低位到高位的进位规则称为进位计数制 简称进位制 一 数制 2 基数 进位制的基数 在该进位制中可能用到的数码个数 例如 2 B 8 Q 10 D 16 H 3 位权 位的权数 在某一进位制的数中 每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数 这个固定的数就是这一位的权数 位权是基数的幂 数码为 0 9 基数是10 运算规律 逢十进一 即 9 1 10 十进制数的权展开式 1 十进制 103 102 101 100称为十进制的权 各数位的权是10的幂 同样的数码在不同的数位上代表的数值不同 任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和 称权展开式 即 5555 10 5 103 5 102 5 101 5 100 又如 209 04 10 2 102 0 101 9 100 0 10 1 4 10 2 2 二进制 数码为 0 1 基数是2 运算规律 逢二进一 即 1 1 10 二进制数的权展开式 如 101 01 2 1 22 0 21 1 20 0 2 1 1 2 2 5 25 10 加法规则 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 10乘法规则 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 运算规则 各数位的权是 的幂 二进制数只有0和1两个数码 它的每一位都可以用电子元件来实现 且运算规则简单 相应的运算电路也容易实现 数码为 0 7 基数是8 运算规律 逢八进一 即 7 1 10 八进制数的权展开式 如 207 04 8 2 82 0 81 7 80 0 8 1 4 8 2 135 0625 10 3 八进制 4 十六进制 数码为 0 9 A F 基数是16 运算规律 逢十六进一 即 F 1 10 十六进制数的权展开式 如 D8 A 2 13 161 8 160 10 16 1 216 625 10 各数位的权是8的幂 各数位的权是16的幂 结论 一般地 N进制需要用到N个数码 基数是N 运算规律为逢N进一 如果一个N进制数M包含 位整数和 位小数 即 an 1an 2 a1a0 a 1a 2 a m N则该数的权展开式为 M N an 1 Nn 1 an 2 Nn 2 a1 N1 a0 N0 a 1 N 1 a 2 N 2 a m N m 由权展开式很容易将一个N进制数转换为十进制数 复习 不同数制间的转换 1 二进制数转换为八进制数 将二进制数由小数点开始 整数部分向左 小数部分向右 每3位分成一组 不够3位补零 则每组二进制数便是一位八进制数 将N进制数按权展开 即可以转换为十进制数 1 二进制数与八进制数的相互转换 1101010 01 00 0 152 2 8 2 八进制数转换为二进制数 将每位八进制数用3位二进制数表示 011111100 010110 374 26 8 2 二进制数与十六进制数的相互转换 111010100 011 000 0 1E8 6 16 101011110100 01110110 AF4 76 16 二进制数与十六进制数的相互转换 按照每4位二进制数对应于一位十六进制数进行转换 3 十进制数转换为二进制数 采用的方法 基数连除 连乘法原理 将整数部分和小数部分分别进行转换 整数部分采用基数连除法 小数部分采用基数连乘法 转换后再合并 整数部分采用基数连除法 先得到的余数为低位 后得到的余数为高位 小数部分采用基数连乘法 先得到的整数为高位 后得到的整数为低位 所以 44 375 10 101100 011 2 采用基数连除 连乘法 可将十进制数转换为任意的N进制数 用一定位数的二进制数来表示十进制数码 字母 符号等信息称为编码 用以表示十进制数码 字母 符号等信息的一定位数的二进制数称为代码 二 码制 二 十进制 BCD 代码 用4位二进制数b3b2b1b0来表示十进制数中的0 9十个数码 2421码 权值依次为2 4 2 1的十进制数码 余3码 由8421码加0011得到的十进制数码 格雷码 是一种循环码 其特点是任何相邻的两个码字仅有一位代码不同 其它位相同 8421BCD码 用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码 因各位的权值依次为8 4 2 1 常见的BCD 二 十进制 码 可用光电二极管阵列阅读黑条与白条的位置改变 通过数字字反映机器人手臂的位置改变 1 1 3算术运算和逻辑运算 算术运算 表示数量大小的N进制数码进行的数值运算 如 1010 2 1001 2 10011 2 1010 10 1001 10 2011 10逻辑运算 表示不同逻辑状态的二进制数码进行的逻辑运算 与算术运算有本质的区别 如 1010 1001 1011 1 2逻辑函数 1 2 1几个基本概念 1逻辑变量和逻辑函数 逻辑变量 逻辑代数中的变量 用字母 等表示 逻辑变量只有两种可能的取值 和 逻辑函数 逻辑电路中输出变量的简称 常用 等字母表示 它与逻辑变量间的关系可用逻辑表达式表示 逻辑表达式由逻辑变量和逻辑运算符组成 如 逻辑是指事物的因果关系 条件和结果的关系 这些逻辑关系可以用逻辑运算来表示 用逻辑代数来描述 4高 低电平的规定 在逻辑电路中 电位常用电平表示电压的变化范围 标准高电平 如2 4V 标准低电平 如0 4V 2逻辑状态表示法逻辑符号 和 表示两种对立状态 如 高电平和低电平 真和假 是与非等 3两种逻辑体制正逻辑 表示高电平 表示低电平 负逻辑 表示高电平 表示低电平 一般情况下 无特别说明 都采用正逻辑 1 2 2三种基本逻辑关系及运算 1 与逻辑 与运算 与逻辑的定义 仅当决定事件 Y 发生的所有条件 A B C 均满足时 事件 Y 才能发生 表达式为 开关A B串联控制灯泡Y 两个开关必须同时接通 灯才亮 逻辑表达式为 A B都断开 灯不亮 A断开 B接通 灯不亮 A接通 B断开 灯不亮 A B都接通 灯亮 这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表 将开关接通记作1 断开记作0 灯亮记作1 灯灭记作0 可以作出如下表格来描述与逻辑关系 功能表 与门 实现与逻辑的电路与门的逻辑符号 真值表 逻辑符号 2 或逻辑 或运算 或逻辑的定义 当决定事件 Y 发生的各种条件 A B C 中 只要有一个或多个条件具备 事件 Y 就发生 表达式为 开关A B并联控制灯泡Y 两个开关只要有一个接通 灯就会亮 逻辑表达式为 A B都断开 灯不亮 A断开 B接通 灯亮 A接通 B断开 灯亮 A B都接通 灯亮 或门 实现或逻辑的电路或门的逻辑符号 Y A B 真值表 功能表 逻辑符号 3 非逻辑 非运算 非逻辑指的是逻辑的否定 当决定事件 Y 发生的条件 A 满足时 事件不发生 条件不满足 事件反而发生 表达式为 开关A控制灯泡Y 非门 实现非逻辑的电路 非门的逻辑符号 A断开 灯亮 A接通 灯灭 真值表 功能表 逻辑符号 1 与非运算 逻辑表达式为 2 或非运算 逻辑表达式为 1 2 3复合逻辑运算 3 异或运算 逻辑表达式为 4 与或非运算 逻辑表达式为 5 同或运算 逻辑表达式为 几种运算的运算次序 1 2 和 运算次序相同 3 不使用括号时 运算按以上次序进行 有括号时 先运算括号内 再运算括号外 逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具 利用逻辑代数 可以把实际逻辑问题抽象为逻辑函数来描述 并且可以用逻辑运算的方法 解决逻辑电路的分析和设计问题 与 或 非是3种基本逻辑关系 也是3种基本逻辑运算 与非 或非 与或非 异或则是由与 或 非3种基本逻辑运算复合而成的4种常用逻辑运算 逻辑代数的公式和定理是推演 变换及化简逻辑函数的依据 1 3逻辑代数的基本定律 1 3 1定理和恒等式 1 逻辑运算 2 定理 分别令A 0及A 1代入这些公式 即可证明它们的正确性 利用真值表很容易证明这些公式的正确性 如证明A B B A 与普通代数相似 A B A C AA AB AC BC 分配率A B C AB AC A AB AC BC 重叠率AA A A 1 B C BC 分配率A B C AB AC A BC 0 1率A 1 1 证明分配率 A BC A B A C 证明 分配率A BC A B A C 0 1率A 1 1 或者 分配率A B C AB AC 0 1率A 1 1 例如 已知等式 用函数Y AC代替等式中的A 根据代入规则 等式仍然成立 即有 1 3 2逻辑代数的三个重要规则 1 代入规则 任何一个含有变量A的等式 如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替 则等式仍然成立 这个规则称为代入规则 例如 3 对偶规则 对于任何一个逻辑表达式Y 如果将表达式中的所有 换成 换成 0 换成 1 1 换成 0 而变量保持不变 则可得到的一个新的函数表达式Y Y 称为函Y的对偶函数 这个规则称为对偶规则 例如 对偶规则的意义在于 如果两个函数相等 则它们的对偶函数也相等 利用对偶规则 可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半 例如 注意 在运用反演规则和对偶规则时 必须按照逻辑运算的优先顺序进行 否则就出错 课堂练习 1 1 1 4 1 5 1 6 1 7 1 5 1 8 1 11 a b 作业 1 7 7 9 10 11 1 11 c d 1 12 逻辑函数的表示方法1 真值表2 逻辑表达式3 逻辑图4 卡诺图5 波形图 例 通过真值表可以直接写出逻辑表达式 方法 将真值表中Y为1的输入变量相与 取值为1用原变量表示 0用反变量表示 将这些与项相加 就得到逻辑表达式 这样得到的逻辑函数表达式是标准与 或逻辑式 各种表示法之间可以相互转换 1 4逻辑函数表示法 1 4 1逻辑函数表达式 一 逻辑函数式的5种常见形式和变换 1 最小项的定义及其性质 1 最小项 如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量 其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现 且仅出现一次 则这个乘积项称为该函数的一个标准积项 通常称为最小项 3个变量A B C可组成8个最小项 二 逻辑函数的最小项 2 最小项的表示方法 通常用符号mi来表示最小项 下标i的确定 把最小项中的原变量记为1 反变量记为0 当变量顺序确定后 可以按顺序排列成一个二进制数 则与这个二进制数相对应的十进制数 就是这个最小项的下标i 3个变量A B C的8个最小项可以分别表示为 3 最小项的性质 任意一个最小项 只有一组变量取值使其值为1 全部最小项的和必为1 任意两个不同的最小项的乘积必为0 2 逻辑函数的标准与或表达式 标准与或表达式 任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和 也称为最小项表达式 已知函数的真值表 将函数值为1的那些最小项相加 即得到函数的最小项表达式 将真值表中函数值为0的那些最小项相加 便可得到反函数的最小项表达式 1 4 2卡诺图 1 卡诺图的构成 将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式 并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列 这样构成的图形就是卡诺图 卡诺图的特点 任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的 相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量 其余因子均相同 每个2变量的最小项有两个最小项与它相邻 每个3变量的最小项有3个最小项与它相邻 每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻 最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的 最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的 两个相邻最小项可以合并消去一个变量 逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并 1 逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出 在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1 其余的方格内填入0 m1 m3 m4 m6 m7 m11 m14 m15 2 用卡诺图表示逻辑函数 2 逻辑函数以一般的逻辑表达式给出 先将函数变换为与或表达式 不必变换为最小项之和的形式 然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项 该乘积项就是这些最小项的公因子 相对应的方格内填入1 其余的方格内填入0 变换为与或表达式 1 5 1化简的意义与标准 1 5 2公式化简法 1 5 3图形化简法 1 5逻辑函数的化简法 一 逻辑函数化简的标准和意义标准 逻辑表达式最简单 逻辑电路最简单 意义 逻辑函数越简单 电路工作越稳定可靠 1 5 1化简的意义与标准 1 乘积项个数最少 2 每个乘积项中的变量个数也最少 二 逻辑函数的最简与 或式 最简与或表达式 1 5 2公式化简法 1 并项法 逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式 定理和规则来化简逻辑函数 2 吸收法 利用公式 消去多余的项 配项法 利用公式 为某项配上其所能合并的项 消去冗余项法 例 化简函数 解 先求出Y的对偶函数Y 并对其进行化简 求Y 的对偶函数 便得 的最简或与表达式 1 5 3图形化简法 逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示 利用卡诺图来化简逻辑函数 1 卡诺图的性质 1 任何两个 21个 标1的相邻最小项 可以合并为一项 并消去一个变量 消去互为反变量的因子 保留公因子 1 任何两个 21个 标1的相邻最小项 可以合并为一项 并消去一个变量 消去互为反变量的因子 保留公因子 2 任何4个 22个 标1的相邻最小项 可以合并为一项 并消去2个变量 BD 3 任何8个 23个 标1的相邻最小项 可以合并为一项 并消去3个变量 B 2 图形法化简的基本步骤 逻辑表达式或真值表 卡诺图 1 1 合并最小项 圈越大越好 但每个圈中标 的方格数目必须为个 同一个方格可同