《二项式系数的性质》教案完美版

精品文档 1欢迎下载 二项式系数的性质二项式系数的性质 教案教案 教学目标 教学目标 1 1 德育渗透 介绍杨辉三角 加强爱国主义教育 德育渗透 介绍杨辉三角 加强爱国主义教育 2 2 知识目标 掌握二项式系数的性质 知识目标 掌握二项式系数的性质 进一步认识组合数 组合数的性质进一步认识组合数 组合数的性质 会应用二项式系数的性质解决一些简单问题 会应用二项式系数的性质解决一些简单问题 运用函数观点分析处理二项式系数的性质运用函数观点分析处理二项式系数的性质 3 3 能力目标 通过对问题的尝试 探究加强对学生观察 归纳 发现能力的在培养 能力目标 通过对问题的尝试 探究加强对学生观察 归纳 发现能力的在培养 教学重点 教学重点 二项式系数的性质二项式系数的性质 教学难点 教学难点 二项式系数的性质二项式系数的性质 2 2 教学过程 教学过程 教师的教学及活动教师的教学及活动学生的思维与活动学生的思维与活动媒体应用媒体应用 一 设疑 提出问题 一 设疑 提出问题 提提 问问 请同学观察这个图表的结果 有哪些请同学观察这个图表的结果 有哪些 规律 规律 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 4 4 6 6 4 4 1 1 1 1 5 5 1010 1010 5 5 1 1 1 1 6 6 1515 2020 1515 6 6 1 1 提提 问问 为什么会有这些性质 为什么会有这些性质 介介 绍绍 这个图表我们把它叫做二项式系数表 在这个图表我们把它叫做二项式系数表 在 我国它又被叫做杨辉三角 这里还流传一个美我国它又被叫做杨辉三角 这里还流传一个美 丽动人的故事 在国外 这个表被称为帕斯卡丽动人的故事 在国外 这个表被称为帕斯卡 三角 认为是法国数学家帕斯卡在三角 认为是法国数学家帕斯卡在 1717 世纪最世纪最 早发现这一规律的 而在我国 早在早发现这一规律的 而在我国 早在 1313 世纪 世纪 杨辉在他的杨辉在他的 详解九章算法详解九章算法 中就不仅有了这中就不仅有了这 个的图表 还清楚地写着个的图表 还清楚地写着 贾宪用此术贾宪用此术 贾 贾 宪是我国宪是我国 1111 世纪的数学家 这就是说 杨辉世纪的数学家 这就是说 杨辉 三角的发现要比欧洲早五百年 也说明了古代三角的发现要比欧洲早五百年 也说明了古代 中华民族就在数学上有着辉煌的成就 但是 中华民族就在数学上有着辉煌的成就 但是 杨辉 贾宪的成就只有杨辉 贾宪的成就只有 详解九章算法详解九章算法 中有中有 记载而此书早已失传 仅在记载而此书早已失传 仅在 永乐大典永乐大典 中抄中抄 学生思考后总结 学生思考后总结 学生可以讨论 研究无须顺 学生可以讨论 研究无须顺 序总结 序总结 1 1 两边的数都是 两边的数都是 1 1 2 2 具有对称性 具有对称性 3 3 除 除 1 1 以外每个数都是肩上两以外每个数都是肩上两 个数的和 个数的和 4 4 中间数最大 中间数最大 学生讨论后得出结论 学生讨论后得出结论 这些数都是前面讲过的二这些数都是前面讲过的二 项式系数 项式系数 由学生翻阅材料介绍由学生翻阅材料介绍 通过古中国数学成就的介绍 通过古中国数学成就的介绍 加强对学生的爱国主义教育 加强对学生的爱国主义教育 多媒体给多媒体给 出图表 出图表 显示学生显示学生 的总结的总结 可以设 可以设 计跳转 计跳转 多媒体给多媒体给 出有关介出有关介 绍及图片绍及图片 精品文档 2欢迎下载 录了部分内容 这是证明杨 贾两人成就的唯录了部分内容 这是证明杨 贾两人成就的唯 一证据 一证据 永乐大典永乐大典 是极其珍贵的国宝 是极其珍贵的国宝 然然 而而 19001900 年 八年联军侵占北京 把翰林院中年 八年联军侵占北京 把翰林院中 的的 永乐大典永乐大典 残本掠走 运往英国 后来 残本掠走 运往英国 后来 中国数学家李俨的外国朋友在英国见到中国数学家李俨的外国朋友在英国见到 永乐永乐 大典大典 残本 拍下了记载残本 拍下了记载 杨辉三角杨辉三角 内容的内容的 文字 并把照片寄给李俨 这段历史才得以证文字 并把照片寄给李俨 这段历史才得以证 实 我们今天的数学课本中也才能堂堂正正地实 我们今天的数学课本中也才能堂堂正正地 写上写上 杨辉三角杨辉三角 但是可惜的是 但是可惜的是 永乐大典永乐大典 的残本至今未能回到祖国的怀抱 的残本至今未能回到祖国的怀抱 二 尝试 二 尝试 提出问题尝试解决 杨辉三角既然是二项式系数表我们就可以杨辉三角既然是二项式系数表我们就可以 用杨辉三角来研究二项式系数的性质 用杨辉三角来研究二项式系数的性质 提提 问 问 还可以用什么方法研究它的性质 还可以用什么方法研究它的性质 提提 问 问 如何来做图象 如何来做图象 提提 问 问 观察图象有何性质 为什么会有这观察图象有何性质 为什么会有这 种性质 种性质 提提 问 问 能否用语言总结一下 能否用语言总结一下 提提 问 问 能否证明 能否证明 学生预习得出 学生预习得出 函数图象可以形象 直观函数图象可以形象 直观 反应性质 我们还可以用函数反应性质 我们还可以用函数 图象来研究二项式的系数 图象来研究二项式的系数 学生讨论后回答 学生讨论后回答 C Cn nr r可以看成以可以看成以 r r 为自变量为自变量 的函数的函数 f f r r 其定义域是 其定义域是 0 1 0 1 n n 当 当 n 6n 6 时 它的时 它的 图象如图 图象如图 观察图表及图象得出 观察图表及图象得出 对称性 对称性 这是二项式系数的性质这是二项式系数的性质 1 1 学生总结 学生总结 生 在二项展开式中 与首生 在二项展开式中 与首 末两端末两端 等距等距 的两项的二项的两项的二项 式系数相等 式系数相等 学生证明 学生证明 有组合数性质有组合数性质 C Cn nr r C Cn nn r n r得到 得到 多媒体给多媒体给 出图象出图象 给出学生给出学生 的确定函的确定函 数的过程 数的过程 多媒体给多媒体给 出图表出图表 精品文档 3欢迎下载 提提 问 问 下面我们继续观察图象 还可以发下面我们继续观察图象 还可以发 现哪些问题 现哪些问题 提提 问 问 有最大值吗 有最大值吗 提提 问 问 能再具体一些吗 是哪些项二项式能再具体一些吗 是哪些项二项式 系数最大 系数最大 提提 问 问 目前我们已经发现了二项式系数的目前我们已经发现了二项式系数的 两个性质 二项式系数还有没有其它规律呢 两个性质 二项式系数还有没有其它规律呢 我们看杨辉三角 我们看杨辉三角 和和 为为 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 22 2 1 1 3 3 3 3 1 1 2 23 3 1 1 4 4 6 6 4 4 1 1 2 24 4 1 1 5 5 1010 1010 5 5 1 1 2 25 5 1 1 6 6 1515 2020 1515 6 6 1 1 2 26 6 提提 问 问 可以发现什么规律呢 可以发现什么规律呢 提提 问 问 如何来证明呢 如何来证明呢 回答 回答 它的值先增后减 它的值先增后减 回答 回答 有 中间位置可能最大有 中间位置可能最大 学生活动 学生活动 这里让学生讨论研究 尝试 这里让学生讨论研究 尝试 证明 让学板演 可以多种方证明 让学板演 可以多种方 法证明 让学生充分体会成功法证明 让学生充分体会成功 的喜悦 教师还可以让学生对的喜悦 教师还可以让学生对 不完善的证明加以补充 不完善的证明加以补充 学生未必一下能说清楚 尽 学生未必一下能说清楚 尽 量鼓励学生说 积极参与 量鼓励学生说 积极参与 n n 为偶数时 中间一项二项式为偶数时 中间一项二项式 系数最大 中间一项是第系数最大 中间一项是第 项 项 n n 为奇数是 中间两为奇数是 中间两1 2 n 项二项式系数最大 中间两项项二项式系数最大 中间两项 是第是第项 项 2 3n 2 1n 学生语言未必简捷 只要正 学生语言未必简捷 只要正 确就要鼓励他往下说 以免打确就要鼓励他往下说 以免打 消学生的积极性 消学生的积极性 思考得出 思考得出 计算每行和 计算每行和 二项式系数和为二项式系数和为 2 2n n 学生讨论 尝试证明并板演 学生讨论 尝试证明并板演 可以多种方法 如 可以多种方法 如 1 x1 x n n 中令中令 x 1x 1 或 或 a ba b n n中令中令 多媒体给多媒体给 出图象出图象 多媒体给多媒体给 出图表 出图表 动画显示动画显示 每行最大每行最大 值值 多媒体闪多媒体闪 烁指明最烁指明最 大值 并大值 并 指出其项指出其项 数 数 多媒体给多媒体给 出图表出图表 在学生计在学生计 算过程中算过程中 有动画效有动画效 果果 精品文档 4欢迎下载 定义 定义 这种方法我们叫赋值法 是解决与二这种方法我们叫赋值法 是解决与二 项展开系数有关问题的重要手段 项展开系数有关问题的重要手段 提提 问 问 我们已经发现并证明了二项式系数我们已经发现并证明了二项式系数 的三个性质 可以发现什么规律呢的三个性质 可以发现什么规律呢 奇数项和为奇数项和为 偶数项和偶数项和 为为 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 22 2 1 1 3 3 3 3 1 1 2 22 2 2 23 3 1 1 4 4 6 6 4 4 1 1 2 23 3 2 24 4 1 1 5 5 1010 1010 5 5 1 1 2 24 4 2 25 5 1 1 6 6 1515 2020 1515 6 6 1 1 2 2 5 5 提提 问 问 如何来证明呢 如何来证明呢 强调 强调 我们得到了奇数项的二项式系数和与我们得到了奇数项的二项式系数和与 偶数项的二项式系数和相等 但这并不意味着偶数项的二项式系数和相等 但这并不意味着 等号两边的个数相同 当等号两边的个数相同 当 n n 为偶数时 奇数项为偶数时 奇数项 的二项式系数多一个 当的二项式系数多一个 当 n n 为奇数时 奇数项为奇数时 奇数项 的二项式系数与偶数项的二项式系数个数才相的二项式系数与偶数项的二项式系数个数才相 同 同 提提 问 问 可有没有发现其他规律呢 可有没有发现其他规律呢 1 1 7 7 2121 3535 2121 7 7 1 1 1 1 8 8 2828 5656 5656 2828 8 8 1 1 定义 定义 这种方法我们叫递推法 我们可以无这种方法我们叫递推法 我们可以无 限得到下面的行的结果 限得到下面的行的结果 三 归纳 三 归纳 时间关系 我们今天这堂课就研究到这里 时间关系 我们今天这堂课就研究到这里 a 1a 1 b 1b 1 思考得出 思考得出 奇数项二项式系数和等于偶数奇数项二项式系数和等于偶数 项二项式系数和为项二项式系数和为 2 2n n 1 1 既 既 C Cn n C Cn n2 2 C Cn n4 4 C Cn n1 1 C Cn n3 3 C Cn n5 5 学生证明 学生证明 由于有例 由于有例 1 1 的铺垫 学生很的铺垫 学生很 容易想到赋值法 容易想到赋值法 1 x1 x n n中令中令 x 1x 1 或 或 a ba b n n中令中令 a 1a 1 b 1b 1 思考得出 思考得出 由两边的数都是由两边的数都是 1 1 及除 及除 1 1 以以 外每个数都是肩上两个数的和 外每个数都是肩上两个数的和 可以向下接着写出下一行可以向下接着写出下一行 1 1 7 7 2121 3535 2121 7 7 1 1 学生总结 学生总结 由学生叙述这五个性质 由学生叙述这五个性质 多媒体给多媒体给 出图表出图表 在学生计在学生计 算过程中算过程中 有动画效有动画效 果果 多媒体给多媒体给 出图表 出图表 并补充下并补充下 面行的内面行的内 容容 精品文档 5欢迎下载 本节课关键是利用杨辉三角形直观性发现并证本节课关键是利用杨辉三角形直观性发现并证 明二项式系数的性质 明二项式系数的性质 教师归纳 教师归纳 我们可以把第一个性质简记为二项式系数我们可以把第一个性质简记为二项式系数 对称规律 性质对称规律 性质 2 2 简记为最大二项式系数规律 简记为最大二项式系数规律 3 3 4 4 两个性质所采取的方法两个性质所采取的方法 赋值法 性质赋值法 性质 5 5 用了递推法 赋值法解决与二项展开系数有用了递推法 赋值法解决与二项展开系数有 关问题的重要手段 递推法是我们数学归纳法关问题的重要手段 递推法是我们数学归纳法 的基本思想 的基本思想 四 反馈四 反馈 发现了这些性质对解题的帮助体现在哪儿发现了这些性质对解题的帮助体现在哪儿 呢 我们来看几组练习 呢 我们来看几组练习 一 一 基础练习 基础练习 1 1 a ba b 6 6展开式中的倒数第三项的二项式系展开式中的倒数第三项的二项式系 数 数 2 2 若 若 a ba b n n的展开式中 第三项的二项式的展开式中 第三项的二项式 系数与第五项的二项式系数相等 则系数与第五项的二项式系数相等 则 n n 3 3 分别指出 分别指出 a ba b 20 20与 与 x 5yx 5y 15 15的展开式 的展开式 中哪些项的二项式系数最大 并分别求出其最中哪些项的二项式系数最大 并分别求出其最 大的二项式系数 大的二项式系数 用组合数表示 用组合数表示 4 4 已知 已知 a ba b n n的展开式中第十项和第十一的展开式中第十项和第十一 项的二项式系数最大 求项的二项式系数最大 求 n n 的值 的值 5 5 求 求 a ba b 10 10的展开式中的各项的二项式系 的展开式中的各项的二项式系 数和及奇数项的二项式系数和 数和及奇数项的二项式系数和 二 二 尝试练习 尝试练习 1 1 x 1 x 1 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x n n的展开式的各项系的展开式的各项系 数和是数和是 A 2A 2n 1 n 1 2 2 B 2B 2n 1 n 1 1 1 C C 2 2n 1 n 1 D D 2 2n 1 n 1 1 1 三 三 作业 作业 P P 111111 4 4 8 8 学生练习 学生练习 可以请一些基础较差的学生 可以请一些基础较差的学生 回答 使他们也体会成功的喜回答 使他们也体会成功的喜 悦 完成基本教学要求 也可悦 完成基本教学要求 也可 以分组抢答 激发学生的学习以分组抢答 激发学生的学习 兴趣 兴趣 学生讨论研究练习 学生讨论研究练习 这两道题难度较大 给基础 这两道题难度较大 给基础 较好的学生一个提高的机会 较好的学生一个提高的机会 体现了分层教学的思想 体现了分层教学的思想 多媒体给多媒体给 出练习出练习 多媒体给多媒体给 出练习多出练习多 媒体给媒体给 出练习多出练习多 媒体给媒体给 出练习出练习 的的值值为为多多少少 则则 若若 2 31 2 420 4 4 3 3 2 210 4 aaaaa xaxaxaxaa 32x 2 精品文档 6欢迎下载 五 板书设计 五 板书设计 10 410 4 二项式定理 二项式定理 3 3 性质性质 1 1 对称性对称性 性质性质 2 2 证明证明 性质性质 2 2 先增后减先增后减 性质性质 3 3 证明证明 性质性质 3 3 二项式系数和二项式系数和 2 2n n 性质性质 4 4 奇数项二项式系数奇数项二项式系数 和等于偶数项二项和等于偶数项二项 式系数和为式系数和为 2 2n n 1 1 性质性质 5 5 递推法递推法 精品文档 7欢迎下载 育星教育网 风 没有衣裳 时间 没有居所 它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且 还有诗和远方的田野 你赤手空拳来到人世间 为了心中的那片海不顾一切 运动太多和太少 同样的损 伤体力 饮食过多与过少 同样的损伤健康 唯有适度可以产生 增进 保持体力和健康 秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路 岁月极美 在于它必然的流逝 春花 秋月 夏日 冬雪 你必汗流满面才得糊口 直到你归了土 因为你是从土而出的 你本是尘土 仍要归于尘土 我始终相信 开始在内心生活得更严肃的人 也会在外表上开始生活得 更朴素 在一个奢华浪费的年代 我希望能向世界表明 人类真正需要的的东西是非常之微少的 世界上的事情 最忌讳的就是个十全十美 你看那天上的月亮 一旦圆满了 马上就要亏厌 树 上的果子 一旦熟透了 马上就要坠落 凡事总要稍留欠缺 才能持恒 只有经历过地狱般的磨砺 才能练就创造天堂的力量 只有流过血的手指 才能弹出世间的绝响 时光只顾催人老 不 解多情 长恨离亭 滴泪春衫酒易醒 梧桐昨夜西风急 淡月朦胧 好梦频惊 何处高楼雁一声 如果你长时间盯着深渊 深渊也会盯着你 所有的结局都已写好 所有的泪水也都已启程 却忽 然忘了是怎么样的一个开始 在那个古老的不再回来的夏日 无论我如何地去追索 年轻的你只如云影掠过 而你微笑的面容极浅极淡 逐渐隐没在日落后的群岚 遂翻开那发黄的扉页 命运将它装订 得极为拙劣 含着泪 我一读再读 却不得不承认青春是一本太仓促的书 记忆是无花的蔷薇 永远不会败落 我也要求你读书用功 不是因为我要你跟别人比成就 而是因为 我希望你将来会拥 有选择的权利 选择有意义 有时间的工作 而不是被迫谋生 尽管心很累 很疲倦 我却没有理由后退 或滞留在过去与未来之间 三千年读史 不外功名利禄 九万里悟道 终归诗酒田园 这是一个最好的时代 这是一个最坏的时代这是一个智慧的年代 这是一个愚蠢的年代 这是一个光明的季节 这是一个黑暗的季节 这是希望之春 这是失望之冬 人们面前应有尽有 人们面前一无所有 人们正踏上天堂之路 人们正走向地狱之门 我有所感事 结在深深肠 你一定要 离开 才能开展你自己 所谓父母 就是那不断对着背影既欣喜又悲伤 想追回拥抱又不敢声张的人 心之所向 素履以往 生如逆旅 一个人的行走范围 就是他的世界 因为爱过 所以慈悲 因为懂得 所以宽容 刻意去找的 东西 往往是找不到的 天下万物的来和去 都有他的时间 与善人居 如入芝兰之室 久而自芳也 与恶人居 如入鲍鱼之肆 久而自臭也 曾经沧海难为水 除却巫山不是云 回首向来 萧瑟处 归去 也无风雨也无晴 半生闯荡 带来家业丰厚 儿孙满堂 行走一生的脚步 起点 终点 归根到底 都是家所在的地方 这是中国人秉持千年的信仰 朴素 但有力量 风吹不 倒有根的树我能承受多少磨难 就可以问老天要多少人生 心 若没有栖息的地方 到哪里都是流浪 如果有来生 要做一只鸟 飞越永恒 没有迷途的苦恼 东方有火红的希望 南方有温暖 的巢床 向西逐退残阳 向北唤醒芬芳 如果有来生 希望每次相遇 都能化为永恒 不乱于心 不困于情 不畏将来 不念过往 如此 安好 笑 全世界便与你同声笑 哭 你便独自哭 一辈子 不说后悔 不诉离伤 上帝作证 我是真的想忘记 但上帝也知道 我是真的忘不了 如果其中一半是百分百的话那就不是选择了而是正确答案了 一半一半 选哪一半都很困难 所以 这才是选择 跟着你 在哪里 做什么 都好 眠 我倾尽一生 囚你无期 择一人深爱 等一人终老 痴一人情深 留一世繁华 断一根琴弦 歌一曲离别 我背弃一切 共度朝夕 人总是 在接近幸福时倍感幸福 在幸福进行时却患得患失 路过的已经路过 留下的且当珍惜 我相信 真正在乎我的人是不会被别人抢走的 无论是友情 还是爱情 我还是相信 星星会说话 石头 会开花 穿过夏天的木栅栏和冬天的风雪之后 你终会抵达 每一个不曾起舞的日子 都是对生命的辜负 每个清晨都像一记响亮的耳光 提醒我 若不学会遗忘 就背负绝望 那一年夏天 精品文档 8欢迎下载 的雨 像天上的星星一样多 给我美丽的晴空 我们都有小小的伤口 把年轻的爱缝缝又补补 我会一直站在你左右 陪你到最后的最后 如果一开始就知道是这样的结局 我不知道自己是不是会那 样的奋不顾身 黄昏是一天最美丽的时刻 愿每一颗流浪的心 在一盏灯光下 得到永远的归宿 因为有了因为 所以有了所以 既然已成既然 何必再说何必 想念是人最无奈的时候唯一能 做的事情 你受的苦 会照亮你的路 我希望有个如你一般的人 如这山间清晨一般明亮清爽的人 如奔赴古城道路上阳光一般的人 温暖而不炙热 覆盖我所有肌肤 由起点到夜晚 由山野到书房 一切问题的答案都很简单 我希望有个如你一般的人 贯彻 未来 数遍生命的公路牌 岁月极美 在于它必然的流逝 春花 秋月 夏日 冬雪说并用程这为再年余生 风雪是你 成多每内淡是你 清贫是你 荣华是你 心底温柔是你 并用光所内为 界 也是你 个人的遭遇 命运的多舛都使我被迫成熟 这一切的代价都当是日后活下去的力量 送你的白色沙漏 是一个关于成长的礼物 如果能给你爱和感动 我是多么的幸福 我有过很多的朋 友 没有谁像你一样的温柔 每当你牵起我的手 我就忘掉什么是忧愁 很多故事不就是因为没有结局才有了继续等下去的理由 有些人 有些事 是不是你想忘记 就真的能忘记 也许有那么一个 时侯 你忽然会觉得很绝望 觉得全世界都背弃了你 活着就是承担屈辱和痛苦 这个时候你要对自己说 没关系 很多人都是这样长大的 风平浪静的人生是中年以后的追求 当你尚在年少 你受的苦 吃的亏 担的责 扛的罪 忍的痛 到最后都会变成光 照亮你的路 你要做一个不动声色的大人了 不准情绪化 不准偷偷想念 不准回头看 去过自己另外的生活 你要听话 不是所有的鱼都会生活在同一片海里 有人说