三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.2 空间几何体的表面积与体积课件.ppt

7 2空间几何体的表面积与体积 1 柱体 锥体 台体的侧面积就是 之和 表面积是各个面的面积之和 即 与 之和 2 把柱体 锥体 台体的面展开成一个平面图形 称为它的展开图 它的表面积就是展开图的面积 3 圆柱的侧面积公式是s柱侧 2 rl 表面积公式是s柱 2 r r l 圆锥的侧面积公式是s锥侧 rl 表面积公式是s锥 r r l 圆台的侧面积公式是s台侧 r r l 表面积公式是s台 r 2 r2 r l rl 各侧面面积 侧面积 底面积 4 长方体的体积公式为v abc 正方体的体积公式为v a3 圆柱的体积公式为v r2h 所有棱柱和圆柱的体积公式可以统一为 其中s为底面积 h为高 5 圆锥的体积公式为v r2h 棱锥的体积公式为v sh 圆锥和棱锥的体积公式可以统一为 v锥 sh 其中s为底面积 h为高 6 圆台的体积公式为v r 2 r r r2 h 棱台的体积公式为v s s h 圆台和棱台的体积公式可以统一为v台 s s h 其中s s分别为上 下底面的面积 h为高 v柱 sh c 7 用一个平面去截一个球 截面是圆面 球的截面有下面的性质 1 球心和截面圆心的连线垂直于截面 2 球心到截面的距离d与球的半径r及截面圆的半径r的关系 d2 r2 r2 8 球的体积及球的表面积公式 1 半径为r的球的体积为 v r3 2 半径为r的球的表面积为 c s 4 r2 1 圆柱的一个底面面积为s 侧面展开图是一个正方形 那么这个圆柱的侧面积是 a 4 sb 2 sc sd s答案a设底面半径为r 则s r2 圆柱的高为2 r s侧 2 r 2 r 4 2r2 4 s c 2 2015山西忻州四校联考 点a b c d在同一球面上 且ab ac ad两两垂直 且ab 1 ac 2 ad 3 则该球的表面积为 a 7 b 14 c d 答案b ab ac ad两两垂直 可以以ab ac ad为相邻的棱构造一个球的内接长方体 其体对角线长度为 球的半径为r 球的表面积为s 4 r2 14 故选b c 3 如图 已知正三棱锥a bcd侧面的顶角为40 侧棱长为a 动点e f分别在侧棱ac ad上 则以线段be ef fb长度和的最小值为半径的球的体积为 a 4 a3b a3c a3d 4 a3 答案a如图为正三棱锥a bcd的侧面展开图 则线段be ef fb长度和的最小值为图中bb 的长 由于 bab 120 ba b a a 故bb a 所 以v a 3 4 a3 故选a 4 如图 在三棱台abc a1b1c1中 ab a1b1 1 2 则三棱锥a1 abc b a1b1c c a1b1c1的体积之比为 a 1 1 1b 1 1 2c 1 2 4d 1 4 4答案c设棱台的高为h s abc s 则 4s s abc h sh h sh 又v台 h s 4s 2s sh v台 sh sh 三棱锥a1 abc b a1b1c c a1b1c1的体积之比为1 2 4 故选c c 5 如图 已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 e f分别为aa1 cd的中点 则四面体d1ebf的体积为 答案解析取a1b1的中点g 连结ge gb gd1 则由正方体的性质可知d1gbf为平行四边形 则 在正方形abb1a1中 s beg s c abe 1 1 1 1 所以 s beg a1d1 1 则四面体d1ebf的体积为 6 取棱长为a的正方体的一个顶点 过从此顶点出发的三条棱的中点作截面 依次进行下去 对正方体的所有顶点都如此操作 所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体 则此多面体 有12个顶点 有24条棱 有12个面 表面积为3a2 体积为a3 以上结论正确的是 要求填上正确结论的序号 答案 解析多面体是连结各棱的中点围成的几何体 故有12个顶点 有4 6 24条棱 有6 8 14个面 表面积为 3 a2 体积为a3 8 a3 故正确的结论是 c 几何体的表面积典例1 2014浙江 3 5分 某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的表面积是 a 90cm2b 129cm2c 132cm2d 138cm2 如图 其表面积为s 3 5 2 4 3 4 3 3 3 2 4 3 2 4 6 3 6 138 cm2 答案d解析由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成 1 以三视图为载体考查几何体的表面积 关键是能够对给出的三视图进行恰当分析 从三视图中发现几何体各元素间的位置关系及数量关系 几何体表面积的求法 2 多面体的表面积是各个面的面积之和 组合体的表面积应注意重合部分的处理 1 1 2015课标 11 5分 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 半径为r 组成一个几何体 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 若该几何体的表面积为16 20 则r a 1b 2c 4d 8 答案b解析由已知可知 该几何体的直观图如图所示 其表面积为2 r2 r2 4r2 2 r2 5 r2 4r2 由5 r2 4r2 16 20 得r 2 故选b 1 2 2015西宁一检 如图 已知h是球o的直径ab上一点 ah hb 1 2 ab 平面 h为垂足 截球o所得截面的面积为 则球o的表面积为 a b 4 c d 答案c解析平面 截球o所得截面为圆面 圆心为h 设球o的半径为r 则由ah hb 1 2得oh r 由圆h的面积为 得圆h的半径为1 所以 12 r2 得出r2 所以球o的表面积s 4 r2 4 几何体的体积典例2 1 2015山东 7 5分 在梯形abcd中 abc ad bc bc 2ad 2ab 2 将梯形abcd绕ad所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 a b c d 2 2 2015金丽衢十二校二联 14 6分 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是平行四边形 点e f为pa pd的中点 则平面bcfe将四棱锥p abcd所分成的上下两部分的体积的比为 答案 1 c 2 解析 1 如图 此几何体是底面半径为1 高为2的圆柱挖去一个底面半径为1 高为1的圆锥 故所求体积v 2 2 设四棱锥p abcd的体积为v 连结fa fb 则下面部分几何体的体积为vf abcd vb aef 其中vf abcd v vb aef vb apf vb adp vp abd v 所以vf abcd vb aef v 则上面部分几何体的体积为v v v 故平面bcfe将四棱锥p abcd所分成的上下两部分的体积的比为 1 求简单几何体的体积 要选择适当的底面和高 应用公式直接计算 常见几何体的体积公式要熟记 特别是锥体体积公式中的不要漏掉 2 求几何体体积的常用方法有割补法和等积变换法 1 割补法 求一个不规则几何体的体积时 可以将这个几何体分割成几个柱体 锥体等 或拼补成一个规则的柱体 锥体等 分别求出柱体 锥体等的体积 从而得出几何体的体积 2 等积变换法 主要有同底等高和同高等底两种基本类型 3 利用体积相等 可以间接求点到平面的距离 2 1 2015广东 18 14分 如图 三角形pdc所在的平面与长方形abcd所在的平面垂直 pd pc 4 ab 6 bc 3 1 证明 bc 平面pda 2 证明 bc pd 3 求点c到平面pda的距离 解析 1 证明 因为四边形abcd是长方形 所以ad bc 又因为ad 平面pda bc 平面pda 所以bc 平面pda 2 证明 取cd的中点 记为e 连结pe 因为pd pc 所以pe dc 又因为平面pdc 平面abcd 平面pdc 平面abcd dc pe 平面pdc 所以pe 平面abcd 又bc 平面abcd 所以pe bc 因为四边形abcd为长方形 所以bc dc 又因为pe dc e 所以bc 平面pdc 而pd 平面pdc 所以bc pd 3 连结ac 由 2 知 bc pd 又因为ad bc 所以ad pd 所以s pda ad pd 3 4 6 在rt pde中 pe s adc ad dc 3 6 9 由 2 知 pe 平面abcd 则pe为三棱锥p adc的高 设点c到平面pda的距离为d 由vc pda vp adc 即d s pda pe s adc 亦即 6d 9 得d 故点c到平面pda的距离为 点 po垂直于圆o所在的平面 且po ob 1 1 若d为线段ac的中点 求证 ac 平面pdo 2 求三棱锥p abc体积的最大值 3 若bc 点e在线段pb上 求ce oe的最小值 2 2 2015福建 20 12分 如图 ab是圆o的直径 点c是圆o上异于a b的 又po垂直于圆o所在的平面 所以po ac 因为do po o 所以ac 平面pdo 2 因为点c在圆o上 解析解法一 1 在 aoc中 因为oa oc d为ac的中点 所以ac do 所以当co ab时 c到ab的距离最大 且最大值为1 又ab 2 所以 abc面积的最大值为 2 1 1 又因为三棱锥p abc的高po 1 故三棱锥p abc体积的最大值为 1 1 3 在 pob中 po ob 1 pob 90 所以pb 同理 pc 所以pb pc bc 在三棱锥p abc中 将侧面bcp绕pb所在直线旋转至平面bc p 使之与平面abp共面 如图所示 当o e c 共线时 ce oe取得最小值 又因为op ob c p c b 所以oc 垂直平分pb 即e为pb中点 从而oc oe ec 亦即ce oe的最小值为 解法二 1 2 同解法一 3 在 pob中 po ob 1 pob 90 所以 opb 45 pb 同理 pc 所以pb pc bc 所以 cpb 60 在三棱锥p abc中 将侧面bcp绕pb所在直线旋转至平面bc p 使之与平面abp共面 如图所示 当o e c 共线时 ce oe取得最小值 所以在 oc p中 由余弦定理得 oc 2 1 2 2 1 cos 45 60 1 2 2 2 从而oc 所以ce oe的最小值为 球的表面积和体积典例3 2014陕西 5 5分 已知底面边长为1 侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上 则该球的体积为 a b 4 c 2 d 答案d解析如图为正四棱柱ac1 根据题意得ac 对角面acc1a1为正方形 外接球直径2r a1c 2 r 1 v球 故选d c 1 解决与球有关的 切 接 问题 一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面 将空间问题转化为平面问题 从而寻找几何体各元素之间的关系 几何体切接问题的解法 2 记住几个常用的结论 1 正方体的棱长为a 球的半径为r 正方体的外接球 则2r a 正方体的内切球 则2r a 球与