对数与对数函数知识精讲 人教实验B

对数与对数函数知识精讲【同步教育信息】一. 本周教学内容： 3.2 对数与对数函数二. 教学目的1、理解对数的概念，能够根据对数定义进行对数式与指数式的互化；2、了解常用对数和自然对数的概念，掌握对数的基本性质；3、掌握对数运算的性质和对数换底公式，并应用之解决有关对数式的求值、化简及证明；4、会用计算器或查对数表求对数值，能解决有关的实际问题；5、掌握对数函数的概念、图象和性质，并能利用它们解决相关的问题；6、会根据对数函数的性质与图象，比较大小、讨论与对数函数有关的函数的单调性、奇偶性和最值问题；7、了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系。三. 教学重点、难点1、对数的概念、基本性质及应用；2、对数函数的概念、性质及应用；3、指数与对数、指数函数与对数函数的关系；4、对反函数的概念的理解也是难点。四. 知识分析（一）关于对数1、如何认识与理解对数？同学们知道，对于，我们可凭经验得到x2，而对，就无能为力了，于是我们引入了一种新的运算对数运算：一般地，对于一个数，如果a的b次幂等于N，即，那么就称b是以a为底N的对数，记做。其中a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”。在实际应用中，一定要注意指数式与对数式的等价性，即。也就是说，指数式与对数式是同一种数量关系的两种不同的表达形式。学习时，应首先从指数式中理解对底数a和真数N的要求，其次对于对数的性质也可以通过指数式来证明和验证。常用对数：以10为底的对数，记做。自然对数：以e为底的对数，记做。2、对数式和指数式的关系是怎样的？我们知道了，指数式与对数式是同一种数量关系的两种不同的表达形式，它们是可以互相转化的，其关系可以用下图表示：由此可见，a、b、N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。于是在的前提下，指数恒等与对数恒等的转化如下：（1）（2）（3）指数的运算法则与对数的运算法则转化如下：（其中）（1）令, 则有。 （2）令, 则有。 （3）令则有。 3、关于换底公式：（1）证明：令 即 （2）推论： 4、在学习和理解对数时应注意以下几个问题：（1）牢固掌握对数式中各字母的取值范围“”，很容易记错。（2）关于对数的运算法则，要注意以下两点：利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才成立。如是不成立的。不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： （二）关于对数函数 1、定义：一般地，函数叫做对数函数，其中x是自变量。 2、对数函数的性质：（三）关于反函数 学习反函数的概念必须抓住两点：一是函数是一一映射才有反函数；二是反函数的自变量与函数值的意义。 （1）反函数的定义：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新函数的因变量，就称这两个函数互为反函数。（2）两个互为反函数的函数，它们的自变量与因变量互换，定义域与值域也互换了，对应法则互逆了。再加上x, y的互换，图象也关于直线y x对称了。（3）求反函数的步骤：一解x ；二换x , y；三找出新自变量x的范围（即原函数的值域）。【典型例题】例1. 求值：（1）（2） （3） 解析：（1）（2）（3） 点评：（1）注意计算公式的灵活运用；（2）同学们在学习时由于分不清导致计算错误的现象很多；（3）在进行对数运算中经常用到。例2. 已知，求的值。解析：法1：，而， 所以。法2：从而法3： 从而点评：解法1借助指数变形来解；解法2与解法3是利用换底公式来解，显得较简明。应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可。例3. 已知，则a，b，1的大小关系是_解析：法1：由， 是增函数，故b a 1.法2：设，则有，从而。由已知，x y 0，考虑到函数是增函数，所以，即b a 1.点评：指数函数和对数函数的单调性在比较大小时用处很大，也很灵活。 例4. 求函数的值域和单调区间。解析：首先考察函数，及。故函数在（1，1）上单增，在1，3上单减，且又因为函数是减函数，所以函数在（1，1上单减，在1，3上单增，且值域是。 点评：本题最典型的错误就是没考虑这一限制。另外本题运用了复合函数单调性的判定方法，学习时注意体会。例5. 已知函数 （1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围； 解析：（1）函数的定义域为R，即关于x的不等式的解集为R， 当a 0时，此不等式变为2x + 1 0, 其解集不是R； 当a 0时，有，所以a的取值范围为a 1。（2）函数的值域为R，即能取遍一切正数，所以a的取值范围是。 点评：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题。的定义域为R，即关于x的不等式的解集为R，这是不等式中的常规问题。 函数的值域为R与恒成立是不等价的，因为这里要求取遍一切实数，即要求取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u可能取遍一切正数的条件是。 例6. 已知函数（其中） （1）求函数的反函数； （2）试判断函数的奇偶性，并证明你的结论。解析：（1）设，则，解得 所以，故所求反函数。（2）且 是奇函数。点评：注意求反函数的三个步骤：（1）解出x关于y的表达式；（2）x，y互换；（3）由原函数的值域得到反函数的定义域。1、已知，那么a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 2、函数的图象是（ ） 3、设，则f(3)的值是（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 84、函数的反函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 5、若函数在区间（1，0）上有，则的递增区间是（ ）A. B. C. D. 6、已知，则的值为（ ）A. 3B. 8 C. 4 D. 7、的值是（ ） A. 4B. 1C. 6D. 38、计算_9、已知函数, 则的值为_10、已知函数的图象恒过点（1，1），则其反函数图象恒过点_11、设的值。12、判断的奇偶性并证明。13、已知函数且 （1）求a的值；（2）求的表达式；（3）当时，求的值域并判断的单调性。参考答案http:/www.DearEDU.com17 D B B A C A B8. 2 9. 10. （1，1）