人教版高中数学必修示范教案(基本不等式的应用(一))教案

人教版高中数学必修示范教案(基本不等式的应用(一)教案 3.4.2基本不等式2b aab?的应用（一）从容说课通过本节课的学习，让学生进一步体会基本不等式的重要性，进一步领悟不等式证明的基本思路、方法.这为下面基本不等式的实际应用打下了坚实的基础，所以说，本节课研究内容在本大节中是起承上启下作用.在本节课的研究中，将由基本不等式推导出许多结构简洁的重要不等式，让学生去体会数学的简洁美与推理过程的严谨美.从而激发学生对数学的热爱和专研.进而让学生的数学逻辑思维能力及逻辑关系的分析能力得到锻炼与培养，这方面也是贯穿学生的整个数学学习过程.根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对基本不等式展开应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式2b aab?.以数学知识为载体，对学生的逻辑思维能力，各种思想方法的掌握，进而提高学生的数学素质与数学素养，这是高中数学教学的一项主要任务.在本节课的教学过程中，对一些不等式的证明不是直接给出，而是以设问方式的变化，引导学生思考，通过由特殊到一般的探索规律去解决问题教学重点1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式2b aab?；2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路教学难点1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式2b aab?；2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标 一、知识与技能1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式2b aab?；2.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路；3.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达 二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣 三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验不等式的证明过程需要从理性的角度去思考，通过设置思考项，让学生探究，层层铺设，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣教学过程导入新课师师前一节课，我们通过问题背景，抽象出了不等式a2+b22ab(a、bR)，然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式2b aab?.本节课，我们将利用基本不等式2b aab?来尝试证明一些简单的不等式(此时，老师用投影仪给出下列问题推进新课问题1.已知x、y都是正数，求证 (1)2?yxxy； (2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3师师前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式，请同学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢？（思考两分钟）生生不可以证明师师是否可以用基本不等式证明呢？生生可以（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解x、y都是正数，0yx，0xy.22?xyyxxyyx，即2?xyyx师师这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗？（齐声完成）合作探究师师请同学继续思考第二小问该如何证明？它是否能用一次基本不等式就能证明呢？（引导同学们积极思考）生生可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质师师这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位生生x，y都是正数，x20，y20，x30，y30.xy2xy0，x2y22x2y20,x3+y32x3y30.可得（xy）（x2y2）（x3y3）2xy222yx222y xx3y3，即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3师师这位同学表达得非常好，思维即严谨又周到（在表达过程中，对条件x，y都是正数往往忽视）师师在运用定理abb a?2时，注意条件a、b均为正数，往往可以激发我们想到解题思路，再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形，进而可以得证(此时，老师用投影仪给出下列问题问题3.求证2)2(222b ab a?（此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）师师利用完全平方公式，结合重要不等式a2b22ab，恰当变形，是证明本题的关键（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解a2b22ab，2（a2b2）a2b22ab（ab）2.2（a2b2）（ab）2不等式两边同除以4，得222b a?2)2(b a?，即2)2(222b ab a?师师下面同学都是用这种思路解答的吗？生生也可由结论到条件去证明，即用作差法师师这位同学答得非常好，思维很活跃，具体的过程让同学们课后去完成课堂练习1.已知a、b、c都是正数，求证（ab）（bc）（ca）ab分析对于此类题目，选择定理abb a?2（a0，b0）灵活变形，可求得结果.a、b、c都是正数，ab2ab0,bc2bc0,c+a2ac（ab）（bc）（ca）2ab2bc2acab即（ab）（bc）（ca）ab合作探究2.已知（ab）（xy）2（aybx），求证2?y xb ab ayx（老师先分析，再让学生完成）师师本题结论中，注意y xb ab ayx?与互为倒数，它们的积为1，可利用公式ab2ab，但要注意条件a、b为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明y xb ab ayx?与为正数开始证题(在教师引导下，学生积极参与下列证题过程生生（ab）（xy）2（aybx）axaybxby2ay2bxaxaybybx（axbx）（ayby）（ab）（xy）即ab与xy同号y xbab ayx?与均为正数22?y xbab ayxy xbab ayx与(当且仅当y xbab ayx?时取“2?y xbab ayx师生共析我们在运用重要不等式a2b22ab时，只要求a、b为实数就可以了.而运用定理“2ba?ab”时，必须使a、b满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断y xbab ayx?与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法课堂小结师师本节课我们研究了什么问题？同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢？生生我们以基本不等式为基础，证明了另外一些重要、常用的不等式，并且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方法.（教师提出对重要、常用不等式的掌握要求）师师本节课我们用到重要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均数（2ba?），几何平均数（ab）及它们的关系)2(abb a?证明了一些不等式，它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题222b aab?，2)2(b aab?师师同学们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础布置作业课本第116页，组第1题板书设计基本不等式2b aab?的应用（一）复习引入例1方法归纳基本不等式例22b aab?方法引导小结实例剖析（知识方法应用）示范解题备课资料备用习题1.已知a、bR+，求证a3+b3a2b+ab2证明:a、bR+(a3+b3)-(a2b+ab2=a2(a-b)-b2(a-b=(a-b)(a2-b2=(a+b)(a-b)20，a3+b3a2b+ab22.已知A+B+C=，求证x2+y2+z22xycosC+2xzcosB+2yzcosA分析:“取差问号”的比较法，关键在于取差（左式右式）后，怎么判断符号.这里可把差式看作关于x（关于y或关于z也可以）的二次三项式证明:左式右式=x2+y2+z2-2xycosC-2xzcosB-2yzcosA=x2-2(ycosC-zcosB)x+y2+z2-2yzcosA=x-(ycosC+zcosB)2+y2+z2-2yzcosA-(ycosC+zcosB)2又y2+z2-2yzcosA-(ycosC+zcosB)2=y2+z2-2yzcosA-y2cos2C-z2cos2B-2yzcosB=y2sin2C+z2sin2B-2yz(cosA+cosBcosC)，由于A+B故cosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinB左式-右式=x-(ycosC+zcosB)2+y2sin2C+z2sin2B-2yzsinBsinC=x-(ycosC+zcosB)2+(ysinC-zsinB)2左式右式点评:二次三项式断号常用配方法.也可由其二次项系数为正，证明它的判别式0来进行.3.4.3基本不等式2b aab?的应用（二）从容说课在本节课的教学过程中，仍应强调不等式的现实背景和实际应用，真正地把不等式作为刻画现实世界中不等关系的工具.通过实际问题的分析解决，让学生去体会基本不等式所具有的广泛的实用价值，同时，也让学生去感受数学的应用价值，从而激发学生去热爱数学、研究数学.而不是觉得数学只是一门枯燥无味的推理学科.在解决实际问题的过程中，既要求学生能用数学的眼光、观点去看待现实生活中的许多问题，又会涉及与函数、方程、三角等许多数学本身的知识与方法的处理.从这个角度来说，本节课的研究是起到了对学生以前所学知识与方法的复习、应用，进而构建他们更完善的知识网络.数学建模能力的培养与锻炼是数学教学的一项长期而艰苦的任务，这一点，在本节课是真正得到了体现和落实根据本节课的教学内容，应用观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对基本不等式展开实际应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助教学重点1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱教学难点1.让学生探究用基本不等式解决实际问题；2.基本不等式应用时等号成立条件的考查；3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标 一、知识与技能1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题；2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱 二、过程与方法1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣 三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣教学过程导入新课师师前一节课我们对基本不等式展开了一些简单的应用.通过数与形的结合及证明应用，我们进一步领悟到基本不等式成立的条件是a 0、b0.在应用的过程中，我们对基本不等式2b aab?的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用推进新课师师已知abb a?2，若ab为常数k，那么a+b的值如何变化？生生当且仅当ab时，ab就有最小值为师师若ab为常数s，那么ab的值如何变化？生生当且仅当ab时，ab就有最大值s21（或ab有最大值241s）师师同学们回答得非常好，对变量与定量理解的很清楚.由上面的研究可知，解决有关最值问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积(此时，老师用投影仪给出本节课的第一组问题最值练习解答下列各题()求函数y2x2x3（x0）的最小值()求函数yx241x（x0）的最小值()求函数y3x22x3（0x23）的最大值()求函数yx（1x2）（0x1）的最大值()设a0，b0，且a222b1，求21ba?的最大值合作探究师师我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题.根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值（留五分钟的时间让学生思考，合作交流，此处留的时间可以更长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生.老师根据学生的思考情况作个别交流）（根据学生完成的典型情况，找五位学生到黑板板演，然后老师根据学生到黑板板演的完成情况再一次作点评）解 (1)x0,2x20，x30.y2x2x32x229323233?x x当且仅当2x2x23，即343?x时等号成立.故当343?x时，y有最小值3293? (2)3422424131221?xx xxxy，当且仅当4212xx?，即x62时，等号成立.故当x62时，y有最小值3413 (3)0x23,32xyx2（32x）xx（32x）（323x x x?）31.当且仅当x32x,即x1时，等号成立 (4)0x1,1x20.y2x2（1x2）2212x2（1x2）（1x2）21 (32)3274.当且仅当2x21x2,即33?x时，等号成立.当33?x时，y2有最大值274.由题意可知y0，故当33?x时，y有最大值932 (5)a0，b0，且a222b1，222212122?ba ba(a2+21+22b)=423,当且仅当2212ba?,即23?a，22?b时取“故当23?a，22?b时，a1+b2有最大值423（学生对等号成立的条件往往没有详细说明）合作探究师师若不考虑等号成立的条件，最值是否一定取到呢？生生不一定.应当考虑等号成立的条件师师用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考察下列三个条件 (1)函数的解析式中，各项均为正数；()函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；()函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值，即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件一正二定三取等.若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法.请同学们看下面几例的解法.若对，请说明理由；若不对，请改正(此时，老师用投影仪给出本节课的第二组问题()yxx12，y的最小值为生生解答是错误的，原因是，当x0时，就不能运用公式.事实上，当x0时，y0，故最小值不可能为2.此时，函数的值域为(-,-2师师这位同学回答得非常好.请你说得再详细一点，让大家都能清楚（此时，这位同学的学习热情很浓，探究问题的兴趣很强）生生当x0时，yxx1-(-x-x1)-师师很好.请坐下.感谢你为大家讲解()y3x241x2x2x234231?x，y的最小值为323生生解答是错误的，其错误的原因是忽视等号成立条件的研究，事实上等号成立的条件为2x2x241x，显然这样的x不存在，故y没有最小值师师很好 (3)yx（1xx2）2)1(2xxx?2（212x?）2，当且仅当x1xx2，即x1时等号成立.当x1时，y有最大值为生生解答是错误的，此种解法的错误在于212x?不是定值.显然当x越大时，212x?也越大，故y无最大值师师很好.在求最值时，对定量与变量要理解清楚师师下面我们再用基本不等式来解决实际应用题(此时，老师用投影仪给出本节课第三组问题课堂练习（让学生独立思考，根据学生完成的典型情况，找两位学生到黑板板演，以便起到示范功能，同时教师再一次作点评）1.用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解设矩形菜园的长、宽分别为x m、y m，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.由xyy x?2，可得x+y2100，等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此这个矩形的长、宽各都为m时，所用篱笆最短，最短的篱笆是2.一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解设矩形菜园的长、宽分别为x m、y m.则2(x+y)=36，x+y=18，矩形菜园的面积为x