高中数学函数总结.doc

二、函数的单调性一、定义二、判断单调性的方法：（1）定义法：在给定的区间上任取，且设； 作差；定号下结论； (2)作商法：若为区间上的单调递增函数，、为区间内两任意值，那么有：或若为区间上的单调递减函数，、为区间内两任意值，那么有：或（3）复合函数的单调性：对于函数和，如果函数在区间上具有单调性，当时，且函数在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性。同增异减。（4）由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断：对于两个单调函数和，若它们的定义域分别为和，且：(1)当和具有相同的增减性时，函数的增减性与 (或)相同，、的增减性不能确定； (2)当和具有相异的增减性时，我们假设为增函数，为减函数，那么：增函数，、， 的增减性不能确定；（5）导数法：对y=f(x)求导 三、复合函数的定义域,值域,单调性四、导数1、定义问: ,，,2、几何意义 3、基本初等函数的导数公式 求切线方程时，把在某点处的切线与过某点的切线混淆。求函数在图像上某点处的切线方程是导数的重要应用之一。当点P在曲线上时，求过点P的切线方程有以下两种可能的情形：一是P点就是切点，二是切线以曲线上另一点为切点，但该切线经过点P。注意：曲线在点P的切线，只指前一种情形。4、复合函数的导数公式 例题： 5、利用导数判断函数的单调性 求的单调区间 求的单调区间注意：，但，但例3 求函数的单调递增区间。错解：由题意，得 令得解得又函数的定义域是（0，+），函数的单调递增区间是（0,1）和（1,+ ）。剖析：对于的解集中的断开点的连续性，我们要进行研究，不能草率地下结论。此题就是错在对函数在x=1处是否连续没有进一步研究，显然函数在x=1处是连续的，所以函数的单调递增区间是（0,+ ）。正确答案：（0,+ ）五、反函数其实如果AB是一一映射，那么就存在BA的逆映射，且该映射亦为一一映射。这两个映射也是原函数和反函数对应的两个映射 一般来说，若一个函数具有严格的单调性，则该函数的定义域与值域之间存在一一映射关系。一个函数的反函数存在的条件：若函数在定义域内单调，则该函数在此定义域内存在反函数，且唯一反函数的求法：(1)互换X,Y(2)用X来表达Y原函数和反函数的性质：（1）原函数的定义域为饭函数的值域（2）原函数的值域为饭函数的定义域（3）原函数与反函数的图像关于y=x对称（4）原函数与反函数的单调性相同反三角函数的图像和性质定义域R值域0，单调性在上单调递增无减区间在上单调递减无增区间在R上单调递增无减区间奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数图象运算公式1运算公式2运算公式3运算公式4三、函数的奇偶性一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数的定义域内任意一个： 是偶函数；奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。二、关于函数按奇偶性的分类全体实函数可按奇偶性分为四类：奇偶数、偶函数、既是奇函数也是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的几个性质、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称, 且函数的定义域关于原点对称是函数成为奇(偶)函数的必要条件.、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；、可逆性： 是偶函数；奇函数；、等价性：、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；注意函数y=f(x)与y=kf(x)的单调性与k(k0)的相关性;.(1) (2)若函数是奇函数,且在处有定义,那么 (3)任何一个定义域关于原点对称的函数,都可以写成一个偶函数加一个奇函数的形式.例 的定义域关于原点对称,则 为偶函数, 为奇函数，且四、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、 相等，判断步骤如下：、 定义域是否关于原点对称；、 数量关系哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 、 、 、 、 、 、解：为奇函数 为偶函数 为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。例2：判断函数的奇偶性。 第二种方法： 求两个函数加（减）、积是否为奇偶函数 时，首先应该求两函数的定义域，再判断两函数的定义域交集是否关于原点对称.在判断两函数定义域关于原点对称后可以利用以下结论:两个奇函数的和是奇函数;两个偶函数的和是偶函数;两个奇函数的积是偶函数;两个偶函数的积是偶函数;奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。命题1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。命题2 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|=不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。命题3 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶函数。此命题错误。如函数f(x)= 从图像上看，f(x)的图像既不关于原点对称，也不关于y轴对称，故此函数非奇非偶。命题4 的定义域关于原点对称, 函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。此命题正确。由函数奇偶性易证。命题5 已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。此命题正确。由奇函数的定义易证。命题6 已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。此命题正确。方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若f(x0)=0，则f(-x0)=0。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有f(0)=0。故原命题成立。五、关于函数奇偶性的简单应用1、利用奇偶性求函数值例1：已知且，那么2、利用奇偶性比较大小例2：已知偶函数在上为减函数，比较，的大小。3.利用奇偶性求解析式例3：已知为偶函数，求的解析式？4、利用奇偶性讨论函数的单调性例4：若是偶函数，讨论函数的单调区间？5、利用奇偶性判断函数的奇偶性 例5：已知函数是偶函数，判断的奇偶性。6、利用奇偶性求参数的值 例6：定义在R上的偶函数在是单调递减，若，则的取值范围是如何？7、利用图像解题例7（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为-5,5.若当x0,5时, f(x)的图象如右图,则不等式的解是 .8.利用定义解题例8.已知函数，若为奇函数，则_。四、周期性一、定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，T为这个函数的周期. 二、函数的周期性的主要结论：结论1：如果（），那么是周期函数，其中一个周期结论2：如果（），那么是周期函数，其中一个周期结论3：如果定义在上的函数有两条对称轴、对称，那么是周期函数，其中一个周期结论4：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期结论5：如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期结论6：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期结论7：如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期结论8：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期结论9：如果或，那么是周期函数，其中一个周期结论10：如果或，那么是周期函数，其中一个周期结论11：如果，那么是周期函数，其中一个周期五、函数的对称性：一、函数自对称（1）关于轴对称的函数（偶函数）的充要条件是（2）关于原点对称的函数（奇函数）的充要条件是（3）关于直线对称的函数的充要条件是（反函数为本身）二、两个函数的图象对称性（1）与关于轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。（2）与关于轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。（3）与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。（4）与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。（5）关于点对称。换种说法：与若满足，即它们关于点对称。（6）与关于直线对称。（7）与关于直线对称。六、基本初等函数:指数,对数,幂函数一、指数函数二、对数函数换底公式三、幂函数七、函数的应用:一、函数与方程1、方程的根与函数的零点2、用二分法求方程的近似解二、函数模型及其应用一、函数的定义(概念)一、映射,一一映射,单射和满射1、单射：设f是由集合A到集合B的映射，如果x,yA,且xy等价于f(x)f(y),则称f为由A到B的单射。可理解成“源不同则像不同”