高一第一学期集合典型例题.doc

此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除高一第一学期集合典型例题：1.解不等式： 解: 设，即对应的曲线是以(,0)为顶点，开口向右的抛物线的上半支。而函数的图象是一直线。解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，此不等式的解在图象上就是抛物线位于直线上方的部分，故不等式的解集是。2. 已知，则的最小值是_。如果将看成是两点之间的距离，那么我们头脑里就立即造出一个几何模型来。(x,y)和(1,1)两点之间的距离。点(1,1)到直线的距离即为满足题目条件的最小值。3. 若定义在区间（1，0）内的函数f（x）= log2a（x + 1）满足f（x）0，则a的取值范围是（ ）-1OxyA（0，） B（0， C（，+） D（0，+）分析 数形结合由在（1，0）内f（x）0可知函数f（x）= log2a（x + 1）在（1，0）内的图象位于x轴上方，且x0时，f（x）0 （如图所示）所以底数2a应满足02a1，得0a，选A评注 解题时应善于将f（x）0加以转化，由式想形本题还可进一步考查函数在（1，0）内的单调性4. 设函数 f（x）= x sin x（xR）（1）证明 f（x + 2kp）f（x）= 2kx sin x，其中为k为整数；（2）设x0为f（x）的一个极值点，证明 证明 （1）由函数f（x）的定义，对任意整数，有f（x + 2kp）f（x）=（x + 2kp）sin（x + 2kx）x sin x =（x + 2kp）sin xx sin x = 2kp sinx（2）函数f（x）在定义域R上可导，f （x）= x cos x + sin x 令 f （x）= 0， 得 sin x =x cos x若 cos x = 0，则 sin x =x cos x = 0，这与 cos2 x + sin2 x = 1矛盾，所以cos x0当 cos x0 时，f （x）= 0 x =tan x 由于函数y =x的图象和函数y = tan x 的图象知，f （x）= 0有解，f（x）的极值点x0一定满足 tan x0 =x0当f （x0）= 0时，5. 设二次方程：x-px+15=0，x-5x+q=0的解集分别为A,B，且AB=2.3.5，AB=3.试求A B及p、q的值。 解：解：AB=33是两个方程的公共跟，分别代入其方程得.得p=8 q=6原方程分别为x-8x+15=0及x-5x+6=0设他们的另一根分别为和，由一元二次方程的根系关系得 3=15 3=6 =5 =2A=3，5 B=2，36. 函数f(x)ax2(3a1)xa2在1，上是增函数，求实数a的取值范围 解：当a0时，f(x)x在区间1，)上是增函数。若a0时，无解 a的取值范围是0a1 7. 利用函数单调性定义证明函数f(x)x31在(，)上是减函数 证取任意两个值x1，x2(，)且x1x2 解：定义域为(，0)(0，)，任取定义域内两个值x1、x2，且x1x2 当0x1x21或1x1x20时，有x1x210，x1x20，f(x1)f(x2)f(x)在(0，1，1，0)上为减函数 当1x1x2或x1x21时，有x1x210，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，1，1，)上为增函数 根据上面讨论的单调区间的结果，又x0时，f(x)minf(1)2，当x0时，f(x)maxf(1)28. 定义域为R的函数y=f(x)，对任意xR，都有f(a+x)=f(a-x)，其中a为常数又知x(a，+)时，该函数为减函数，判断当x(-，a)时，函数y=f(x)的单调状况，证明自己的结论 解：当x(-，a)时，函数是增函数设x1x2a，则2a-x12a-x2a因为函数y=f(x)在(a，+)上是减函数，所以f (2a-x1)f(2a-x2)注意到对任意xR，都有f(a+x)=f(a-x)，可见对于实数a-x1，也有fa+(a-x1)=fa-(a-x1)，即f(2a-x1)=f(x1)同理f(2a-x2)=f(x2)所以f(x1)f(x2)，所以函数y=f(x)在(-，a)上是增函数 9.已知函数y=sin2x+cos2x-2. (1)用“五点法”作出函数在一个周期内的图象. (2)求这个函数的周期和单调区间. (3)求函数图象的对称轴方程. (4)说明图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的. 解：y=sin2x+cos2x-2=2sin(2x+)-2(1)列表 x02-20-2-4-2其图象如图示 (2)=. 由-+2k2x+2k，知函数的单调增区间为 -+k,+k,kZ. 由+2k2x+2k，知函数的单调减区间为 +k,+k,kZ. (3)由2x+=+k得x=+. 函数图象的对称轴方程为x=+,(kZ). (4)把函数y1=sinx的图象上所有点向左平移个单位，得到函数y2=sin(x+)的图象； 再把y2图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y3=sin (2x+)的图象； 再把y3图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y4=2sin (2x+)的图象； 最后把y4图象上所有点向下平移2个单位，得到函数y=2sin (2x+)-2的图象. 10.如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(x+)+B. (1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式. 解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是30-10=20() (2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(x+)+B的半个周期的图象. =14-6=. 又由图可得 y=10sin(x+)+20. 将x=6，y=10代入上式得：sin(+)=-1 故所求的解析式为 y=10sin(x+)+20，x6,14.11. a为何值时，方程sin2x+2sinxcosx-2cos2x=a有实数解. 解：当实数a取函数y=sin2x+2sinxcosx-2cos2x值域中的数值时，原方程有实根.因此，求a的范围，实质上就是求上述函数的值域. y=sin2x+2sinxcosx-2cos2x =1+sin2x-3cos2x =1+sin2x-(1+cos2x) =sin2x-cos2x-=sin(2x-)- . 其中 y. 即a时，原方程有实数根. 12. 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室.(如图所示)，ABCD是一块边长为50 m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40 m，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G、M分别在AB和AD上，H在 上.设矩形AGHM的面积为S，HCF=，请将S表示为的函数，并指出当点H在 的何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少？ 分析：主要考查学生解决实际问题的能力及函数最值的求解. 解：延长GH交CD于N，则NH=40 sin,CN=40 cos. HM=ND=50-40 cos,AM=50-40 sin. 故S=(50-40 cos)(50-40 sin) =10025-20(sin+cos)+16sincos(0).令t=sin+cos=sin(+). 则sincos=且t1, S=10025-20t+8(t2-1)=800(t-)2+450. 又t1, .当t=1时，Smax=500. 此时sin(+)=1sin (+)=. + +=或. EF即=0或=. 答：当点H在 的端点E或F处时，该健身室的面积最大，最大值是500 m2.13. 已知y=f(x+1)的定义域为1,2，求f(x)，f(x-3)的定义域。分析：f(x+1)的定义域是指x 的取值范围，即1x2，那么x+1的取值范围为2,3,这就是f(x)的定义域。解：y=f(x+1)的定义域为1,2，2x+13即f(x)的定义域为2,3又f(x)的定义域为2,32x-33，5x6即f(x-3)的定义域为5,614. 试用适当的方式表示：被3整除余1的自然数集合解 集合可以表示为x|x3n1，nN15. 解不等式x2-ax+a0解：这个二次函数开口是向上的（1） 当0时，整个函数图象都在X轴上方，所以x2-ax+a恒大于0，成立。0，即a2-4a0解得a为（0，4）X为R（2） 当=0。函数有一个点在X轴上，其他都在X轴上方，所以x2-ax+a0，成立。=0，a=4或0 X为R（3） 当0，a为（负无穷，0）并（4，正无穷）函数有一部份在X轴下了，函数有两个和X轴的交点了，那要f（X）0，X只能取在这两个交点的左右区间，包括交点。16. 已知角终边上一点P（4，3），求的值解： 17. 求证： 证明： 18. 已知，求的值解： 故两边平方得， 而 与联立解得 19. 已知是方程的两根，且，求的值解： 是方程的两根， ，从而可知故又 20已知函数，求：（1）函数y的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y的单调递增区间解： （1） 函数y的最大值为2，最小值为2，最小正周期（2）由，得函数y的单调递增区间为：高一第一学期函数典型例题：一、函数值域21、函数，x0，4的值域是_答案：分析： x0，4， ， 又 4 y2 4 + (x + 4x) = 8 22、求下列函数的值域 y=3x+2(-1x1) 解：-1x1，-33x 3，-13x+25，即-1y5，值域是y-1，523、y=x-2x+310(4ac-b)/4a=413-（-2）/41=1即函数的值域是y|y2 二、函数最值24、f(x)=x-6x+12 x4,6解：因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/21=3 二次项系数10所以f(x)=x-6x+12 在x4,6是增函数所以f(x)min=f(4)=4 f(x)max=f(6)=12f(x)的值域是4,1225、f(x)=x-6x+12 x0,5解：因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/21=3 二次项系数10所以f(x)=x-6x+12 在x0,3是减函数，在x(3,5是增函数所以f(x)min=f(3)=3 而f(0)=12 f(5)=7，所以f(x)max=f(0)=12 f(x)的值域是3,12常见方法有配方法、观察法、图像法例1、 26、求下列函数的定义域和值域（1） （2）解：（1）令，则由定义域为R，有，所以。即所求定义域为而（可以直接应用：）（2）由，有，即所求定义域为而27、例3、已知函数a) 求定义域及值域；b) 求函数的单调区间。解：令（1）为所求值域。（2）当时 而，在上，函数为减函数。当时 而，在上，函数为增函数。比较复杂但常见的求最值和值域的立体28、已知，求的最值。解：，最大值18；最小值29、.如何求函数的最值？解： ，当且仅当时取等号；即时，y的最小值是2。没有最大值。另外方法同上，即时，y的最大值是。没有最小值。说明：本题不能用判别式法。因为。若用判别式法得，当时，求得，不合。30、已知函数的值域为1，3，求实数b、c的值。解：由y= 得 (2y)x2+bx+cy=0,当y20,由xR,有=b24(2y)(cy)0即4y24(2+c)y+8cb20，由已知得2+c=1+3且=13b=2,c=2又b0,又f(a)0B.f(x)在a,b上单调递增，且f(b)0C.f(x)在a,b上单调递减，且f(b)0 B.a0)的单调减区间是A.(2,+) B.(0,2) C.(,+) D.(0, )答案：D38、.函数y=sinxcos2x在（0，）上的减区间为A.(0,arctan)B.(arctan) C.(0,)D.(arctan)答案：B39、函数y=xlnx在区间（0，1）上是A.单调增函数 B. 在（0，）上是减函数，在（,1）上是增函数C. 单调减函数 D.在（0, ）上是增函数，在（,1)上是减函数答案：B典型大题40、求下列函数的增区间与减区间 (1)y|x22x3| 解 (1)令f(x)x22x3(x1)24 先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y|x22x3|的图像，如图231所示 由图像易得： 递增区间是3，1，1，) 递减区间是(，3，1，1 (2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间 解 当x10且x11时，得x1且x2，则函数yx 当x10且x11时，得x1且x0时，则函数yx2 增区间是(，0)和(0，1) 减区间是1，2)和(2，) (3)解：由x22x30，得3x1 令ug(x)x22x3(x1)24在x3，1上是 在x1，1上是 函数y的增区间是3，1，减区间是1，141、.已知函数f(x)=kx33(k+1)x2k2+1(k0).若f(x)的单调递减区间是（0，4），（1）求k的值；（2）当k3.解：（1）f(x)=3kx26(k+1)x由f(x)0得0x1时，10g(x)在x1,+)上单调递增x1时，g(x)g(1)即232342、.三次函数f(x)=x33bx+3b在1，2内恒为正值，求b的取值范围.x1,2时，f(x)0f(1)0,f(2)0f(1)=10,f(2)=83b0b0(2)若1b由f(x)=0,得x=当1x时，f(x)0f(x)在1，上单调递减，f(x)f()f()为最小值当0f(x)在（,2上单调递增f(x)f()只要f()0，即1b综上（1）、（2），b的取值范围为b.43、已知二次函数yf(x)(xR)的图像是一条开口向下且对称轴为x3的抛物线，试比较大小： (1)f(6)与f(4) 解 (1)yf(x)的图像开口向下，且对称轴是x3，x3时，f(x)为减函数，又643，f(6)f(4) 时为减函数 解 ：任取两个值x1、x2(1，1)，且x1x2 当a0时，f(x)在(1，1)上是减函数 当a0时，f(x)在(1，1)上是增函数证明题：44、利用函数单调性定义证明函数f(x)x31在(，)上是减函数 证： 取任意两个值x1，x2(，)且x1x2 又x1x20，f(x2)f(x1) 故f(x)在(，)上是减函数 得f(x)在(，)上是减函数函数单调性与反函数的典型例题（总）选择题 45.下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( B ) (A)y=-3x+1 (B)y=|x+2| (C)y= (D)y=x2-4x+3 46.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是( B ) (A)3，+ ) (B)(-，-3 (C)-3 (D)(-，5 47.已知函数f(x)=2x2-mx+3，当x(-2，+)时是增函数，当x(-，-2)时是减函数，则f(1)等于( B ) (A)-3 (B)13 (C)7 (D)由m而决定的常数 48.函数f(x)在(-2，3)上是增函数，则f(x-5)的递增区间是( A ) (A)(3，8) (B)(-7，-2) (C)(-2，3) (D)(0，5) 49.函数y=的递增区间是( B ) (A)(-，-2) (B)-5，-2 (C)-2，1 (D)1，+) 50.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意t都有f(2+t)=f(2-t)，那么( A ) (A)f(2)f(1)f(4) (B)f(1)f(2)f(4)(C)f(2)f(4)f(1) (D)f(4)f(2)O，得函数的定义域为(-，02，+)又抛物线开口向上，对称轴方程为x=1，故递增区间为2，+58、已知函数f(x)=x2-2ax+a2+b，(1)若f(x)在(-，1)上是减函数，则a的取值范围是_；(2)若对于任意xR恒有f(x)0，则b的取值范围是_提示：由已知条件知a1f(x)=(x-a)2+b0恒成立,b0，故(1)填a1，(2)填b059、函数y=3m(x-1)的反函数图象必过定点 _提示：y=3m(x-1),x=1时,y=1.y=3m(x-1)的图像必过(1,1)点.其反函数图像必过(1,1)点.60、函数y=-(x-1)2(xO)的反函数为 _提示：y-1,-y=(x-1)2.x=1,x0,x=1-.其反函数为y=1-.解答题61、求函数f(x)=x+在(0，+)上的单调性证明：设x1，x2(O，+)，且x1x2， 则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-) 当1x1x2时，x1-x2l，00,(x1-x2)(1-)0，f(x1)f(x2) f(x)在1，+上是增函数 当0x1x2l时，x1-x20，0x1x21，l-0，f(x1)f(x2)， f(x)在(O，1)上是减函数 即f(x)=x+在(0，1)上是减函数，在1，+)上是增函数62、.设函数f(x)在(0，+)上是减函数，且有f(2a2+a+1)0， 3a2-2a+1=3(a2-a+)+=3(a-)2+0 又f(x)在(0，+)上是减函数， 原不等式可变形为2a2+a+l3a2-2a+1 整理，得a2-3a0解得0aO，解得定义域为x-(2)任取x1,x2-，+)，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-= (x1-x2)+-= (x1-x2)+= (x1-x2)(1+).-x1x2,x1-x20f(x1)f(x2)，f(x)在-，+上是增函数(3)由(2)知f(x)min=f(-)=-， y=f(x)的值域为-，+)64、已知f(x)=f-1(x)=(x-a)，求实数a解：由y=，得xy+ya=2x+1，x(y-2)=l-ay, x=交换x，y，得y=， 即f-1(x)= 又f(x)=f-1(x)， ，即，对x2的任意实数x恒成立 a=-265、求函数y=，x(-1，+)的图象与其反函数y=f-1(x)图象的交点坐标解：由y=；得xy+y=2x，x(y-2)=-y，x=交换x，y得y=的反函数为y=代入y= 得=，+=0， x()=0, x=0x=0 x1=0,x2=1, 0,1(-1,+)分别代入y= ,得y1=0,y2=1 函数y=，x(-1，+)与其反函数的交点为(0，0)和(1，1)66、已知函数f(x)=，函数g(x)=f-1()试判断g(x)在(1，+)上的单调性，并加以证明 解:由y=f(x),得yx-y=x+1,x(y-1)=y+1,x=,交换x,y得f-1(x)=(x1)g(x)=f-1()=-=-=-1-g(x)=-1在(1，+)上是增函数证明：设1x1x2，则g(x1)-g(x2)=-1-+1+=-=. 1x1x2,x1-x20,