空间与图形讲义

空间与图形知识点复习1、 平面图形（1） 直线、射线和线段直线：直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。射线：射线只有一个端点；长度无限。线段：线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为 最短。平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 两条平行线之间的垂线长度都相等。垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另 一条直线的垂线，相交的点叫做垂足。 从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。端点长度相关知识延伸线段有两个端点两个端点间的距离就是线段的长度。不可以延伸射线只有一个端点无法测量角：由一点出发的两条射线所组成的图形叫角。向一端无限延伸直线没有端点无法测量垂直：由直线外一点到直线的垂直线段最短。向两端无限延伸平行线：平行线间的距离处处相等。 过一点可以画出无数条射线。过一点可以画出无数直线。过两点可以画出一条直线。（2） 角1、 角的定义：从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边；角的大小与角的两边叉开的大小有关、角的大小与所画角的边的长短无关；角用“”表示；计量角的大小单位是“度”，用“”表示。2、角的分类 锐角：小于90的角叫做锐角。 直角：等于90的角叫做直角。 钝角：大于90而小于180的角叫做钝角。 平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180。 周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360。3、 画角和量角如果让我们任意画一个角，用直尺就可以了；要画一个指定度数的角就必须用量角器画。先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合；在量角器所画角刻度线的地方点一点；以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。（3） 三角形 1、特征 由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。 2、分类 按角分 锐角三角形 ：三个角都是锐角。 直角三角形 ：有一个角是直角。 钝角三角形：有一个角是钝角。 按边分 不等边三角形：三条边长度不相等。 等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。 等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。（4） 四边形 1、平行四边形 特征：两组对边分别平行的四边形。 性质：相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180 度。平行四边形容易变形。2、梯形 特征：只有一组对边平行的四边形。 性质：中位线等于上下底和的一半。等腰梯形有一条对称轴。 2、 圆 1、圆的认识 平面上的一种曲线图形。 圆中心的一点叫做圆心。一般用字母“o”表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用r表示；在同一 个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用d表示；同一个圆里 有无数条直径，所有的直径都相等；同一个圆里，直径等于两个半径的长 度，即d=2r。 圆的大小由半径决定。 圆有无数条对称轴。 2、圆的画法 把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）； 把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上； 把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 3、扇形 （1）扇形的认识 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。 顶点在圆心的角叫做圆心角。 在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。 扇形有一条对称轴。 （2）计算公式 S=nr2/360 （n表示圆心角度数） 4、环形 (1) 特征 由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。 (2) 计算公式 S=(R2-r2） （R表示大圆半径，r表示小圆半径） 四、图形变换与位置（一）图形与变换 1、轴对称图形 （1）特征 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。对称点到对称轴之间的距离相 （2）常见的轴对称图形 正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴； 等腰三角形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴； 等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴； 扇形有一条对称轴，环形有无数条对称轴。 2、图形变换 （1）位置变换 平移：是物体或图形沿着一条直线移动，而本身没有改变方向； 旋转：物体绕着一个中心或一条轴转动；图形的平移和旋转可以变换图形的位置，不能改变图形的大小。平移时要注意说清平移的方向以及平移的距离，需要数准平移了几格，最好的方法是先找一个对应点。图形的旋转，一定要说清围绕哪个点旋转，向什么方向旋转,旋转了多少度。 2、大小变换放大与缩小：图形按比例放大与缩小不能改变图形的形状，但可以改变图形 的大小。（二）图形与位置 1、用上、下、前、后、左、右描述物体的位置； 2、用东、南、西、北描述物体的方向； 3、用数对表示物体的具体位置； 4、比例尺的知识5、 平面图形的周长与面积1、 周长、面积的含义 周长：围成一个图形的所有边长的总和叫做这个图形的周长。计量周长要用 长度单位。 面积：物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。常用的面积单 位有平方米、平方分米、平方厘米、公顷、平方千米。2、 周长、面积的计算图形周长面积长方形C=2（a+b）S=ab正方形C=4aS=a2三角形S=ab平行四边形S=ah梯形S=（a+b）h圆C=2rC=dS=r2扇形C=2r+nr180C=d+nd360 S=nr23606、 立体图形（一）长方体与正方体 长方体：六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。 相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。 有8个顶点。 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。 把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。 正方体：六个面都是正方形。 六个面的面积相等，12条棱，棱长都相等。 有8个顶点。 正方体可以看作特殊的长方体。 长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点。（二）圆柱与圆锥 圆柱：圆柱的上下两个面叫做底面，底面是两个大小相等的圆。 圆柱两个底面之间的距离叫做高。 圆柱有一个曲面叫做侧面，侧面展开是一个以底面圆周长为长，圆柱高 为宽的长方形。 圆锥：圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面，侧面展开得到一个扇形。 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶 点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。（3） 表面积、体积的计算图形表面积体积长方体S=2（ah+ab+bh）V=abh正方体S=6a2V=a3圆柱体S=2r2+2rhV=r2h圆锥体V=r2h 在平面图形和立体图形的相关实际计算中常常要用到进一法。进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些 ，因此，要保留数的时候，省略的位上的不管是4或者比4小，都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。巩固练习一、填空题。1、从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中最短的是和这条直线 的线段。2、下图中，1= 度，2= 度。3、下图是三个半径相等的圆组成的图形，它有 条对称轴。4、用百分数表示以下阴影部分是整个图形面积的百分之几。 % % % %5、把一个底面直径2分米的圆柱体截去一个高1分米的圆柱体，原来的圆柱体表面积减少（ ）平方分米。6、“”和“”的周长之比是 ，面积之比是 。7、 左图是由棱长1厘米的小正方体木块搭成的，这个几何体的表面积是 平方厘米，至少还需要 块这样的小正方体才能搭成一个大正方体。8、画一个周长25.12厘米的圆，圆规两脚间的距离是 厘米，画成的圆的面积是 。9、下面的小方格边长为1厘米，估一估图中“福娃”的面积，算一算图中阴影部分的面积。 图 图 10、 一个梯形，上底长a厘米，下底长b厘米，高h厘米。它的面积是 平方厘米。如果a=b，那么这个图形就是一个 形。11、在一块边长是20厘米的正方形木板上锯下一个最大的圆，这个圆的面积是 平方厘米，剩下的边料是 平方厘米。12、 将一个大正方体切成大小相同的8个小正方体，每个小正方体的表面积是 18平方厘米，原正方体的表面积是 平方厘米。13、5个棱长为30厘米的正方体木箱堆放在墙角（如下图），露在外面的表面积是 平方厘米。14、如下左图，已知大正方形的边长是a厘米，小正方形的边长是b厘米。用字母表示阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 二、选择题。1、小青坐在教室的第3行第4列，用（4，3）表示，小明坐在教室的第1行第3列应当表示为（ ）。A. （1，3） B. （3，1） C. （1，1） D. （3，3）2、在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画（ ）。A. 1条 B. 4条 C. 2条 D. 无数条3、 用100倍的放大镜看40的角，这个角的度数是（ ）度。A. 4 B. 40 C. 400 D. 40004、下面图形是用木条钉成的支架，最不容易变形的是（ ）。5、下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）。6、水桶占地面积是指水桶的（ ）。A. 表面积 B. 体积 C. 容积 D. 底面积7、下列形体，截面形状不可能是长方形的是（ ）。8、一个用立方块搭成的立体图形，淘气从前面看到的图形是，从上面看是，那么搭成这样一个立体图形最少要（ ）个小立方块。A. 4 B. 5 C. 6 D. 79、有两个大小不同的圆，直径都增加1厘米，则它们的周长（ ）。A. 大圆增加得多 B. 小圆增加得多 C. 增加得一样多10、一个立方体木块，6个面都涂上红色，然后把它切成大小相等的27个小立方体，其中有三个面是红色的小立方体有（ ）个。A. 4 B. 12 C. 6 D. 811、 左图最有可能是（ ）的展开示意图。12、有两盒滋补品，用下面三种方式包装，你认为最省包装纸的是（ ）。13、甲图和乙图所占空间的大小关系是甲（ ）乙。14、下图中甲和乙周长相比，结果是（ ），面积相比，结果是（ ）。A. 甲比乙大 B. 甲比乙小 C. 甲和乙一样大 D. 无法比较三、判断题。1、一条射线长12米。 （ ）2、两条直线相交，一定有两个交点。 （ ）3、小于180的角是钝角。 （ ）4、角的两条边画得越短，这个角就越小。 （ ）5、用一套三角板可以拼成105的角。 （ ）6、用8个小正方体拼成一个大正方体，任意拿走一个小正方体后表面积一定会减少。 （ ）7、任何一个长方体都有8个面，12条棱，6个顶点。 （ ）8、只要有一个角是直角的平行四边形，就是长方形或正方形。 （ ）9、以圆规两脚间的距离为4厘米画一个圆，这个圆的半径是2厘米。（ ）10、把一个长方形拉成一个平行四边形后，保持不变的是面积。 （ ）11、半圆的周长就是圆的周长的一半。 （ ）12、一个正方形的边长与一个圆的直径相等，那么这个正方形的周长一定大于圆的周长。 （ ）13、棱长6厘米的正方体，表面积和体积相等。 （ ）四、操作题。1、在方格纸上按以下要求画出图形B和图形C。（1）以直线MN为对称轴画图图形A的对称图形B。（2）将图形B向右平移4格，再以O点为中心，顺时针旋转90得到图形C。（甘肃兰州市城关区）2、画出下面图形的全部对称轴。3、在方格纸上分别画出从正面、左面和上面看到的图形。4、 画两个圆，使它们的面积的比是1：4，并且使它们组成的图形有无数条对称轴。5、根据图中的信息解答下列问题：（1）车站到学校的路线与游乐园到学校的路线的夹角的度数是（ ）。（2）电影院距离学校有500米，位置刚好在学校的东偏北方向，并且路线与学校到车站的路线垂直，则学校到电影院的图上距离是多少厘米？请你在图中画出学校到电影院的路线，并标上电影院的位置。（3）根据图上的距离，求出学校到车站的实际距离是多少米。6、在生产、生活中，我们经常把一些同样大小的圆柱捆扎起来，下面我们来探索捆扎时怎样求绳子的长度。假设每个圆柱管的直径都是10厘米，当圆柱管的放置方式是“单层平放”时，捆扎后的横截面如下图所示：请你根据图形，完成下表：圆柱管个数123100绳子长度（厘米）五、面积、周长计算题。1、光明小区要将一块四边形闲置地（如下图，单位：米）改建为小区花园。请你帮忙算一算：这块闲置地的面积是多少？ 2、求下图正方形内阴影部分的面积。（正方形边长是4厘米） 3、下图中阴影部分的面积是多少？ 4、已知阴影部分的面积是8平方厘米，求圆的面积。 5、如下图（单位：米），阴影部分的面积分别是和，与的比为1：4，求、。 6、下图中，正方形的边长是2厘米，四个圆的半径都是1厘米，圆心分别是正方形的四个顶点。求出阴影部分的面积。 7、图中四个等圆的周长都是50.24厘米，求阴影部分的面积。 8、给水缸做一个圆形木盖，木盖面的直径是0.8米。木盖面的面积是多少平方米？如果沿木盖的外沿钉一条铁片，铁片至少长多少厘米？ 9、刘老师从家到学校的路程是3000米，早上7：30他骑自行车从家去学校上班，这辆自行车轮子的外直径是70厘米，平均每分钟转100圈，如果学校8：00上课，刘老师会不会迟到？ 六、表面积、体积计算题。1、母亲节时，小明送妈妈一个茶杯。（如下图，单位：厘米） （1） 茶杯中部的一圈装饰带很漂亮，那是小明怕烫伤妈妈的手特意贴上的，这条装饰带宽5厘米，装饰带展开后至少多少平方厘米？（接头处忽略不计） （2） 这只茶杯的体积是多少？ 2、 某工厂要生产100节圆柱形铁皮通风管，已知每节通风管的管口半径是0.2米，长是1.4米。生产这批圆柱形通风管，至少需要铁皮多少平方米？（通风管的接口、损耗料忽略不计，得数保留整数） 3、一个圆柱形水池，水池内壁和底面都要镶上瓷砖，水池底面直径6米，池深1.2米，镶瓷砖的面积最多是多少平方米?4、砌一个外直径是2.2米，内直径是2米，深0.5米的花坛，这个花坛的占地面积是多少？需要多少立方米的土地才能填满花坛？5、一根圆柱形木料底面周长12.56分米，高是4米。表面积是多少平方米？体积是多少立方分米？如果把把它截成三段小圆柱，表面积增加多少平方分米？6、把一张长18.84厘米，宽12.56厘米的纸圈成一个圆柱体，圈成的圆柱体底面积最大可能是多少？7、有一块长31.4厘米，宽15厘米，高8厘米的长方形钢坯，把他融化后铸成底面半径是4厘米的圆柱，圆柱的高是多少厘米？8、有一个圆锥形帐篷，底面直径约5米，高约3.6米 （1） 它的占地面积约是多少平方米？ （2） 它的体积约是多少立方米？ 9、一块长方形钢板长24分米，宽10分米，重6千克。从这块钢板上截下一个圆心角为120度，半径为9分米的扇形，截下的扇形钢板重多少千克？巩固练习详解一、填空题。1、从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中最短的是和这条直线 垂直 的线段。2、下图中，1= 60 度，2= 150 度。3、下图是三个半径相等的圆组成的图形，它有 3 条对称轴。4、用百分数表示以下阴影部分是整个图形面积的百分之几。 75 % 16.7 % 30 % 37.5 %5、把一个底面直径2分米的圆柱体截去一个高1分米的圆柱体，原来的圆柱体表面积减少（ 2 ）平方分米。（21=2）6、“”和“”的周长之比是 1:1 ，面积之比是 9:5 。7、 左图是由棱长1厘米的小正方体木块搭成的，这个几何体的表面积是 36 平方厘米，至少还需要 17 块这样的小正方体才能搭成一个大正方体。8、画一个周长25.12厘米的圆，圆规两脚间的距离是 4 厘米，画成的圆的面积是 50.24平方厘米 。9、下面的小方格边长为1厘米，估一估图中“福娃”的面积，算一算图中阴影部分的面积。 图 8平方厘米 图 30平方厘米 11、 一个梯形，上底长a厘米，下底长b厘米，高h厘米。它的面积是 平方厘米。如果a=b，那么这个图形就是一个 平行四边 形。11、在一块边长是20厘米的正方形木板上锯下一个最大的圆，这个圆的面积是 314 平方厘米，剩下的边料是 86 平方厘米。13、 将一个大正方体切成大小相同的8个小正方体，每个小正方体的表面积是 18平方厘米，原正方体的表面积是 72 平方厘米。13、5个棱长为30厘米的正方体木箱堆放在墙角（如下图），露在外面的表面积是 20 平方厘米。14、如下左图，已知大正方形的边长是a厘米，小正方形的边长是b厘米。用字母表示阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 二、选择题。1、小青坐在教室的第3行第4列，用（4，3）表示，小明坐在教室的第1行第3列应当表示为（ B ）。A. （1，3） B. （3，1） C. （1，1） D. （3，3）2、在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画（ D ）。A. 1条 B. 4条 C. 2条 D. 无数条3、 用100倍的放大镜看40的角，这个角的度数是（ B ）度。A. 4 B. 40 C. 400 D. 40004、下面图形是用木条钉成的支架，最不容易变形的是（ C ）。5、下列图形中，对称轴条数最多的是（ B ）。6、水桶占地面积是指水桶的（ D ）。A. 表面积 B. 体积 C. 容积 D. 底面积7、下列形体，截面形状不可能是长方形的是（ C ）。8、一个用立方块搭成的立体图形，淘气从前面看到的图形是，从上面看是，那么搭成这样一个立体图形最少要（ B ）个小立方块。A. 4 B. 5 C. 6 D. 79、有两个大小不同的圆，直径都增加1厘米，则它们的周长（ C ）。A. 大圆增加得多 B. 小圆增加得多 C. 增加得一样多10、一个立方体木块，6个面都涂上红色，然后把它切成大小相等的27个小立方体，其中有三个面是红色的小立方体有（ D ）个。A. 4 B. 12 C. 6 D. 811、 左图最有可能是（ D ）的展开示意图。12、有两盒滋补品，用下面三种方式包装，你认为最省包装纸的是（ B ）。13、甲图和乙图所占空间的大小关系是甲（ C ）乙。14、下图中甲和乙周长相比，结果是（ C ），面积相比，结果是（ A ）。A. 甲比乙大 B. 甲比乙小 C. 甲和乙一样大 D. 无法比较三、判断题。1、一条射线长12米。 （ ）2、两条直线相交，一定有两个交点。 （ ）3、小于180的角是钝角。 （ ）4、角的两条边画得越短，这个角就越小。 （ ）5、用一套三角板可以拼成105的角。 （ ）6、用8个小正方体拼成一个大正方体，任意拿走一个小正方体后表面积一定会减少。 （ ）7、任何一个长方体都有8个面，12条棱，6个顶点。 （ ）8、只要有一个角是直角的平行四边形，就是长方形或正方形。 （ ）9、以圆规两脚间的距离为4厘米画一个圆，这个圆的半径是2厘米。（ ）10、把一个长方形拉成一个平行四边形后，保持不变的是面积。 （ ）11、半圆的周长就是圆的周长的一半。 （ ）12、一个正方形的边长与一个圆的直径相等，那么这个正方形的周长一定大于圆的周长。 （ ）13、棱长6厘米的正方体，表面积和体积相等。（单位不同，不能比较大小） （ ）四、操作题。1、在方格纸上按以下要求画出图形B和图形C。（略）（1）以直线MN为对称轴画图图形A的对称图形B。（2）将图形B向右平移4格，再以O点为中心，顺时针旋转90得到图形C。（甘肃兰州市城关区）2、画出下面图形的全部对称轴。（四条）3、在方格纸上分别画出从正面、左面和上面看到的图形。（略）4、画两个圆，使它们的面积的比是1：4，并且使它们组成的图形有无数条对称轴。（半径比为1:2的两个同心圆）5、根据图中的信息解答下列问题：（1）车站到学校的路线与游乐园到学校的路线的夹角的度数是（ 135 ）。（2）电影院距离学校有500米，位置刚好在学校的东偏北方向，并且路线与学校到车站的路线垂直，则学校到电影院的图上距离是多少厘米？请你在图中画出学校到电影院的路线，并标上电影院的位置。（2厘米，图略）（3）根据图上的距离，求出学校到车站的实际距离是多少米。6、在生产、生活中，我们经常把一些同样大小的圆柱捆扎起来，下面我们来探索捆扎时怎样求绳子的长度。假设每个圆柱管的直径都是10厘米，当圆柱管的放置方式是“单层平放”时，捆扎后的横截面如下图所示：请你根据图形，完成下表：圆柱管个数123100绳子长度（厘米）020401980五、面积、周长计算题。1、光明小区要将一块四边形闲置地（如下图，单位：米）改建为小区花园。请你帮忙算一算：这块闲置地的面积是多少？ 100542=2700（平方米）2、求下图正方形内阴影部分的面积。（正方形边长是4厘米） 如图连接B、D两点，将阴影面积等分为两份，其中一份为就是四分之一圆面积减去直角三角形面积，即；所以阴影面积为：4.562=9.12（平方厘米）3、下图中阴影部分的面积是多少？ 如图做辅助线，可知a、b、c、d四部分的面积相等，所以阴影面积就是四分之一圆面积减去直角三角形面积，即4、已知阴影部分的面积是8平方厘米，求圆的面积。 正方形面积为：84=32；设圆的半径为r，则圆的面积：正方形面积=r2:2r2=：2所以圆的面积=16=50.24（平方厘米）5、如下图（单位：米），阴影部分的面积分别是和，与的比为1：4，求、。 空白平行四边形面积=210=20 长方形面积=2010=200 =180=36（平方米） =180=144（平方米）6、下图中，正方形的边长是2厘米，四个圆的半径都是1厘米，圆心分别是正方形的四个顶点。求出阴影部分的面积。 22-12=0.86（平方厘米）7、图中四个等圆的周长都是50.24厘米，求阴影部分的面积。 任意四边形四个内角和为360，所以四个阴影面积刚好构成一个周长为50.24厘米圆面积，即：3.14（50.243.142）2=200.96（平方厘米）8、给水缸做一个圆形木盖，木盖面的直径是0.8米。木盖面的面积是多少平方米？如果沿木盖的外沿钉一条铁片，铁片至少长多少厘米？ 木盖面的面积=（0.82）2=0.5024（平方米） 铁片长=0.8=2.512（米）=251.2（厘米）9、刘老师从家到学校的路程是3000米，早上7：30他骑自行车从家去学校上班，这辆自行车轮子的外直径是70厘米，平均每分钟转100圈，如果学校8：00上课，刘老师会不会迟到？ 车轮周长=70=219.8（厘米）=2.198（米） 自行车每分钟行：2.198100=219.8（米） 行3000米需要：3000219.813.5（分钟），所以刘老师不会迟到六、表面积、体积计算题。1、母亲节时，小明送妈妈一个茶杯。（如下图，单位：厘米） （3） 茶杯中部的一圈装饰带很漂亮，那是小明怕烫伤妈妈的手特意贴上的，这条装饰带宽5厘米，装饰带展开后至少多少平方厘米？（接头处忽略不计） 65=94.2（平方厘米）（4） 这只茶杯的体积是多少？ V=（62）215=423.9（立方厘米）3、 某工厂要生产100节圆柱形铁皮通风管，已知每节通风管的管口半径是0.2米，长是1.4米。生产这批圆柱形通风管，至少需要铁皮