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第四节 一 隐函数的导数 二 由参数方程确定的函数的导数 机动目录上页下页返回结束 隐函数和参数方程求导 第三章 及高阶导数 一 三 高阶导数的概念 一 隐函数的导数 若由方程 可确定y是x的函数 由 表示的函数 称为显函数 例如 可确定显函数 可确定y是x的函数 但此隐函数不能显化 函数为隐函数 则称此 隐函数求导方法 两边对x求导 含导数的方程 机动目录上页下页返回结束 例1 求椭圆 在点 处的切线方程 解 椭圆方程两边对x求导 故切线方程为 即 机动目录上页下页返回结束 解出y 取正号 例2 求由方程 在x 0处的导数 解 方程两边对x求导 得 因x 0时y 0 故 确定的显函数 机动目录上页下页返回结束 例3 求由方程 的导数 解 将上式移项然后两边取对数 确定的显函数 机动目录上页下页返回结束 方程两边对x求导 即 二 由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个y与x之间的函数 可导 且 则 时 有 时 有 此时看成x是y的函数 关系 机动目录上页下页返回结束 例4 求参数方程 的导数 解 机动目录上页下页返回结束 例5 求 解 例6 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向 解 先求速度大小 速度的水平分量为 垂直分量为 故抛射体速度大小 再求速度方向 即轨迹的切线方向 设 为切线倾角 则 机动目录上页下页返回结束 抛射体轨迹的参数方程 速度的水平分量 垂直分量 在刚射出 即t 0 时 倾角为 达到最高点的时刻 高度 落地时刻 抛射最远距离 速度的方向 机动目录上页下页返回结束 例7 设由方程 确定函数 求 解 方程组两边对t求导 得 故 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 求螺线 在对应于 的点处的切线方程 解 化为参数方程 当 时对应点 斜率 切线方程为 机动目录上页下页返回结束 定义 若函数 的导数 可导 或 即 或 类似地 二阶导数的导数称为三阶导数 阶导数的导数称为n阶导数 或 的二阶导数 记作 的导数为 依次类推 分别记作 则称 机动目录上页下页返回结束 三 高阶导数的概念 设 求 解 依次类推 例8 思考 设 问 可得 机动目录上页下页返回结束 例9 设 求 解 特别有 解 规定0 1 思考 例10 设 求 机动目录上页下页返回结束 例11 设 求 解 一般地 类似可证 机动目录上页下页返回结束 例12 设 解 机动目录上页下页返回结束 例13 设 求使 存在的最高 分析 但是 不存在 2 又 阶数 机动目录上页下页返回结束 求其反函数的导数 解 方法1 方法2 等式两边同时对求
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