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文档简介
“黄金椭圆”性质初探满新民离心率为的椭圆被称做“黄金椭圆”，它有不少有趣的性质，本文约定椭圆方程为（ab0）。现举五例说明。 1. 若椭圆是黄金椭圆，则a，b，c成等比数列。证明：因为椭圆为黄金椭圆，所以，故a，b，c成等比数列。上述命题的逆命题也真。事实上，由b2=ac及b2=a2c2，得a2c2=ac，e2+e-1=0，因为0e1，所以，故此椭圆为黄金椭圆。 2. 若椭圆为黄金椭圆，设A（a，0），B（0，b），F（-c，0），则ABF为直角三角形。证明：在ABF中，所以，又 椭圆为黄金椭圆。由性质1有b2=ac，所以，即 ABF为直角三角形。上述命题的逆命题也为真命题。事实上，由ABF为直角三角形，得，即（a2+b2）+(b2+c2)=(a+c)2，所以，b2=ac。故此椭圆为黄金椭圆。3. 若椭圆是黄金椭圆，P、Q为椭圆上任意两点，M为线段PQ的中点，若PQ与OM的斜率存在，则。证明：设M（x0，y0），P（x0+m，y0+n），则Q（x0-m，y0-n），于是kOM=。因为点P、Q在椭圆上，所以，得，所以，又椭圆为黄金椭圆，所以b2=ac，。上述命题的逆命题也成立。事实上，由上得知，所以b2=ac，故此椭圆为黄金椭圆。 4. 若椭圆是黄金椭圆，P为椭圆上任意一点，P在x轴上的射影为M，椭圆在P点的法线交x轴于N，则。证明：设P（x0，y0）。将b2x2+a2y2=a2b2两边对x求导，得2b2x+2a2yy=0，所以。即椭圆在点P的法线的斜率，故点P的法线方程为y-y0=。令y=0，得，又，所以。又椭圆为黄金椭圆，所以。上述命题的逆命题也成立。事实上，由上可知，所以。故此椭圆为黄金椭圆。 5. 若椭圆是黄金椭圆，设A1（a，），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b），则菱形A1B1A2B2的内切圆过焦点。证明：设A2B2：，即bx+ay=ab。又点（0，0）到直线bx+ay=ab的距离，所以，故焦点在内切圆上。上述命题的逆命题也成立。事实上，由上知，将b=ac代入，化简得a43ac+c4=0，所以e
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