备战高三数学高考：怎样分类讨论解答集合问题例题解析

高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )数学：怎样分类讨论解答集合问题 解答某些集合问题，需要分类讨论，但同学们却不知道怎样去分类讨论。有时是不知道为什么要分类讨论；有时是不知道以什么为标准去分类讨论；有时又不知道分哪几类去讨论。本文就这些问题举例加以说明，期望能给同学们以启迪。 一、按集合中对应的元素进行分类讨论 例1 已知集合，若A=B，求的值。 分析：根据集合相等的定义，A与B中除公共元素外，另两个元素应分别对应相等，即或，故应分这两种情况进行讨论。 解：当时，消去得， 显然(否则B中三元素相同，矛盾)， ，得， 此时B中三元素相同，矛盾。 当时，消去得，由得， 而， 。将代入，得。从而可得，满足A=B。 故为所求的值。 二、从反面入手分类讨论 例2 已知知集合，则集合不可能是( ) A. B. C. D. 分析：我们暂时难以知道不可能是哪种情况，但我们可以从反面考虑这个问题，即从题意可以考虑有可能取哪几种情况，于是从选择支提供的信息，可以分类进行讨论。 解：如果，则可取(当然，其它的值也可以，如、等)；如果，则；如果，则。故选D。 三、按集合中元素的特征分类讨论 例3 若集合只有一个元素，求实数的值。 分析：根据题意，集合A中的元素的特征是：方程中有一个解，而这个方程可以是一元二次方程，也可以是一元一次方程(后一种情况同学们容易忽视)，究竟是哪种方程，则由的取值来决定。因此，应对的取值情况分类讨论 解：当时，方程只有一解。此时，A中只有一个元素。 当时，A中只有一个元素的条件是方程只有一解，此时，得。 故所求的值为或。 四、利用数轴表示集合分类讨论 例4 已知集合，若，求的取值范围。 分析：把集合A、B在数轴上表示出来，BA-23如图，因为，而集合A在数轴上是确定的，集合B在数轴上随的变化而变化，所以，要使，只要B位于A的左或-23BA右侧即可，故按B的位置分两种情况分类讨论。 解：如图，把集合A、B在数轴上表示出来。因为两数与在数轴上对应的两点之间的距离为3，所以，故要使，只要或，即或。故所求的取值范围是或。 五、按子集逐个分类讨论 例5 设集合，求实数的值。 分析：因为，所以。由可知，A的子集有4个，故需要对这4个子集逐个分类讨论。 解：求得， 又因为，所以。 (1)若，则，即， 得 。 (2)若，把代入方程得。 又由方程仅有一解得， 解得。即若，则。 (3)若时，把代入方程得或。 当时，说明不符合要求； 当时，说明不符合要求。 (4)若，则，得，当时，即符合题意。 综上所述：。 点评：本题第(3)问可以用与第(2)问一样的解法去求角，但这里用了另一种解法，目的是为了开拓同学们的解题思路；第(4)问也可用另一种更简单的解法，即根与系数的关系求解，由得到。 六、按集合中的元素逐个分类讨论 例6 设集合，若A=B，求实数、的值及集合A与B。 分析： A=B， ，可见集合A中的三个元素均有可能为0。故需分，或，或这三种情况进行讨论。 解： A=B， 。可见，或，或。 ()若，则，此时集合B中有两个元素0，与集合中的元素互异性矛盾； ()若，则，同样与集合中的元素互异性矛盾； ()若。这时，又分以下两种情况： 或 由得； 由。 当时，集合A、B中的三个元素均为0，应舍去； 当时，集合A、B中都有两个0元素，也应舍去。 故。为所求。 点评：本题综合性较强,要用分层讨论。第一层分、这三种种情况。对时，又分、这两种情况进行第二层讨论。分层讨论是个难点，希望同学们要有信心突破这个难点。 七、按集合中元素的个数分类讨论 例7 设全集，求满足的所有集合A的个数有多少? 分析：因为，所以集合A一定含有1、3、5、7这四个元素，一定不含9这个元素。即集合A至少有四个元素(1、3、5、7)，最多可含八个元素(1、3、5、7、2、4、6、8)，故可按集合A中的元素个数的多少分类讨论来解答这道题。 解：因为，所以集合A一定含有1、3、5、7这四个元素，一定不含9这个元素。即集合A至少有四个元素，最多可含八个元素。 若集合A仅有四个元素，则； 若集合A有五个元素，则，或，或，若； 若集合A有六个元素，则，或，或，或，或，或； 若集合A有七个元素，则，或，或，或； 若集合A有八个元素，则。 综上所述，满足条件的所有集合A的个数有个。 八、利用Venn图分类讨论 例8 已知全集，集合A与B都是全集U的子集。并满足条件且。试写所有满足条件的集合A与B。 分析：画出右图所示的Venn图，只要确定3与4放在哪个区域内，就能写出相应的集合A与B。于是，可根据这个Venn图，按3与4所在的区域进行讨论。 解：根据题意，画出右图所示的Venn图。 当3与4都在左