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第八章连续时间傅里叶变换 连续时间傅里叶变换 CTFT 将连续时间傅里叶级数 CTFS 推广到既能对周期连续时间信号 又能对非周期连续时间信号进行频谱分析 这是一种重要而强有力的方法 因为有很多信号当从时域来看时呈现出很复杂的结构 但从频域来看却很简单 另外 许多LTI系统的特性行为在频域要比在时域容易理解得多 为了更有效地应用频域方法 重要的是要将信号的时域特性是如何与它的频域特性联系起来的建立直观的认识 频谱计算中的问题 连续 离散 抽样 抽样间隔如何选取 无穷积分 有限长 截断 8 1连续时间傅里叶变换的数值近似 傅里叶变换的近似表示 8 2连续时间信号的采样 8 3理想抽样信号的傅里叶变换 利用卷积定理 冲激抽样信号的频谱 说明 抽样定理 8 4DTFT的引出 利用时移性质 DTFT Discrete timeFouriertransform 为研究离散时间系统的频率响应作准备 从抽样信号的傅里叶变换引出 离散时间信号的傅里叶变换DTFT就是抽样信号的傅立叶变换 比较 利用快速傅里叶变换计算频谱 fft函数 FFTDiscreteFouriertransform FFT X isthediscreteFouriertransform DFT ofvectorX Formatrices theFFToperationisappliedtoeachcolumn ForN Darrays theFFToperationoperatesonthefirstnon singletondimension FFT X N istheN pointFFT paddedwithzerosifXhaslessthanNpointsandtruncatedifithasmore FFT实现的是DTFT的一个周期的抽样 实际的频谱近似为 fft函数的使用说明 补充说明 例题 解 画图 利用解析式 ss8 2 manddouble side exp spectrum mTs 0 05 t 5 Ts 5 x exp 2 abs t subplot 2 1 1 h plot t x set h linewidth 2 xlabel t s ylabel exp 2 t N 256 w pi Ts 0 N 1 N 2 pi Ts X 4 w w 4 subplot 2 1 2 h plot w X set h linewidth 2 xlabel omegarad s ylabel X j omega 抽样间隔如何选取 b exe4 2 bcde mclear T 10 Ts 0 01 t T 2 Ts T 2 Ts N length t x exp 2 abs t X fft x N X Ts fftshift X w pi Ts 0 N 1 N 2 pi Ts SEMILOGYSemi logscaleplot SEMILOGY isthesameasPLOT exceptalogarithmic base10 scaleisusedfortheY axis abs X 4 4 w w subplot 2 1 1 h semilogy w abs X set h linewidth 2 xlabel omegarad s ylabel log 1 0 X j omega holdonsemilogy w abs X r legend fft real subplot 2 1 2 h plot w unwrap angle X set h linewidth 1 xlabel omegarad s ylabel phi omega 8 5连续时间傅里叶变换性质 目的 直观 深刻地理解傅里叶变换的性质 主要内容 奇偶虚实性 信号的幅度谱与相位谱尺度变换特性频移性质和调制定理 抽样信号的重建 方法 sound函数 SOUNDPlayvectorassound SOUND Y FS sendsthesignalinvectorY withsamplefrequencyFS outtothespeakeronplatformsthatsupportsound ValuesinYareassumedtobeintherange 1 0 y 1 0 Valuesoutsidethatrangeareclipped Stereosoundsareplayed onplatformsthatsupportit whenYisanN by 2matrix SOUND Y playsthesoundatthedefaultsamplerateof8192Hz SOUND Y FS BITS playsthesoundusingBITSbits sampleifpossible MostplatformssupportBITS 8or16 举例 8 ex4 3 a mloadsplatN 8192 y y 1 N fs 8192 sound y fs t 0 N 1 fs plot t y xlabel t s ylabel y title waveform Theegglandedonmycheekwithasplat 鸡蛋啪嚓一声打在我脸上 b ex4 3 b mclear loadsplatN length y Y fft y Y2 abs Y f 0 N 1 N Fs plot f Y2 xlabel f Hz ylabel Y y1 ifft Y figure plot abs y y1 幅度频谱图 c MATLAB实现 ex4 3 c m y fs wavread hello wav loadsplatN length y t 0 N 1 fs subplot 2 1 1 plot t y sound y max y fs pause Y fft y Y1 conj Y y1 ifft Y1 y1 real y1 sound y1 fs subplot 2 1 2 plot t y1 此图对应splat 对应hello wav 证明 c1 c2 实函数 实函数 d e f 编程实现 Y2 abs Y Y3 exp j angle Y w pi 2 pi N pi pi N y2 ifft Y2 y2 real y2 y3 ifft Y3 y3 real y3 sound y2 max y2 pause sound y3 max y3 问题 思考题 如何截断y2信号 即将信号幅度大于1的部分置为1 小于 1的部分置为 1 思路 选出大于1的成分 将大于1的部分置为1 实现 选出大于1的成分 position find y2 1 将大于1的部分置为1 y2 position 1 8 6幅度调制和连续时间傅里叶变换 本地载波 解调 举例 莫尔斯电报编码 a exe4 6 a mclear loadctftmod matZ dashdashdotdot plot t Z r b freqs bf af freqs FREQSLaplace transform s domain frequencyresponse H FREQS B A W returnsthecomplexfrequencyresponsevectorHofthefilterB A giventhenumeratoranddenominatorcoefficientsinvectorsBandA ThefrequencyresponseisevaluatedatthepointsspecifiedinvectorW inrad s ThemagnitudeandphasecanbegraphedbycallingFREQS B A W withnooutputarguments 传输函数 nb 1nb 2B s b 1 s b 2 s b nb H s na 1na 2A s a 1 s a 2 s a na B A矩阵的写法 例题 运行结果 其他用法 H W FREQS B A automaticallypicksasetof200frequenciesWonwhichthefrequencyresponseiscomputed FREQS B A N picksNfrequencies Seealsologspace polyval invfreqs andfreqz 离散系统 c 分析 58 可编辑 d e 相干接收 需要使用本地载波 接收端 同步解调 本地载波与发送端载波同频同相正交调制技术简介 第一种情况 本地载波与调制载波同频同相 高频信号 恢复出的原始信号 第二种情况 本地载波与调制载波同频不同相 只有高频信号 经过低通滤波器后被滤除 第三种情况 本地载波与调制载波不同频 差拍信号 高频信号 y x cos 2 pi f1 t D y x sin 2 pi f1 t P y x cos 2 pi f2 t y x sin 2 pi f2 t S 总结 本地载波 8 7由欠采样引起的混叠 基本题 MATLAB实现 exe7 1 a mT 1 8192 n 0 8191 t n T f0 1000 x sin 2 pi f0 t b 取前50个样本 x 1 50 c exe7 1 c m fs 8192 T 1 fs f0 800 W 2 pi f0 T n 0 fs x sin W n sound x fs X fft x 56 stem abs X d 提示 通过修改exe7 1 c m中的数据来实现 深入题 exe7 1 g mfs 8192 T 1 fs n 0 fs 10 t n T f0 3000 2 pi bate 2000 f0 100 bate 5000 x sin 2 pi f0 t bate t t 2 sound x specgram x 8192 SPECTROGRAM SPECTROGRAMSpectrogramusingaShort TimeFourierTransform STFT 短时傅里叶变换 S SPECTROGRAM X returnsthespectrogramofthesignalspecifiedbyvectorXinthematrixS Bydefault Xisdividedintoeightsegmentswith50 overlap eachsegmentiswindowedwithaHammingwindow ThenumberoffrequencypointsusedtocalculatethediscreteFouriertransformsisequaltothemaximumof256orthenextpoweroftwogreaterthanthelengthofeachsegmentofX 8 7由样本重建信号 零阶保持一阶保持抽样函数 demo 9 sam inverse sam inverse m Sa函数作为内插函数 理想化 Sa函数作为内插函数 理想化 Sa函数作为内插函数 理想化 sinc函数内插 sinc函数内插的MATLAB实现 分析 在各抽样值处插入一个sinc函数 大小与抽样值成正比 定义域为全时域 或给定定义域 时间矩阵 tt ones length n 1 t Ts n ones 1 length t 内插函数矩阵 sinc fs tt 函数内插 x sinc tt x为样值函数 内插函数矩阵 spline 三次样条内插函数 SPLINECubicsplinedatainterpolation PP SPLINE X Y providesthepiecewisepolynomialformofthecubicsplineinterpolanttothedatavaluesYatthedatasitesX forusewiththeevaluatorPPVALandthesplineutilityUNMKPP Xmustbeavector IfYisavector thenY j istakenasthevaluetobematchedatX j henceYmustbeofthesamelengthasX seebelowforanexceptiontothis IfYisamatrixorNDarray thenY j istakenasthevaluetobematchedatX j hencethelastdimensionofYmustequallength X seebelowforanexceptiontothis YY SPLINE X Y XX isthesameasYY PVAL SPLINE X Y XX thusproviding inYY thevaluesoftheinterpolantatXX ForinformationregardingthesizeofYYseePPVAL 举例 clearTs 1 Fs 1 Ts n 0 10 x sin n t 0 25 10 x spline spline n x t plot t x spline b nTs 0 10 tt ones length n 1 t nTs ones 1 length t x sinc x sinc Fs tt holdon plot t x sinc r legend spline sinc holdon stem n x m hh findobj 0 type line set hh linewidth 2 结果图形 8 8连续时间傅里叶变换的符号计算 x1 sym 1 2 exp 2 t heaviside t x2 sym exp 4 t heaviside t heaviside 单位阶跃函数 helpheavisideHEAVISIDEUnitStepfunctionf Heaviside t returnsavectorfthesamesizeastheinputvector whereeachelementoffis1ifthecorrespondingelementoftisgreaterthanzero 举例 symst y cos t heaviside t 0 5 pi heaviside t 0 5 pi ezplot y 解 主要代码 exe4 7 a mclear x1 sym 1 2 exp 2 t heaviside t x2 sym exp 4 t heaviside t subplot 2 1 1 ezplot x1 0 2 legend x1 axis 0201 subplot 2 1 2 ezplot x2 0 2 legend x2 axis 0201 fourier函数 FOURIERFourierintegraltransform F FOURIER f istheFouriertransformofthesymscalarfwithdefaultindependentvariablex F w int f x exp i w x x inf inf Seealsosym ifourier sym laplace sym ztrans 主要代码 exe4 7 a mx1 sym 1 2 exp 2 t heaviside t x2 sym exp 4 t heaviside t X1 fourier x1 X2 fourier x2 subplot 2 1 1 ezplot abs X1 20 20 legend X1 axis 202000 3 subplot 2 1 2 ezplot abs X2 20 20 legend X2 axis 202000 3 练习1 closeall clearall symstau exersice1 Fouriertransformofexp abs t x1 exp abs t X1 fourier x1 ezplot X1 10 10 axis 10 1002 1 x11 ifourier X1 w figure x111 simple x11 ezplot x111 10 10 axis 10 1001 1 运行结果1 X1 2 w 2 1 x11 2 pi exp w heaviside w 2 pi heaviside w exp w 2 pi x111 exp w heaviside w heaviside w exp w 练习2 exersice2 Fouriertransformof exp a t heaviside t x2 exp a t heaviside t X2 fourier x2 a 2 X22 subs X2 x22 ifourier X22 figure subplot 2 1 1 ezplot abs X22 1010 subplot 2 1 2 ezplot angle X22 1010 运行结果2 X22 1 w i