2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 函数的单调性与导数课件 新人教A版选修1-1_第1页
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3 3导数在研究函数中的应用3 3 1函数的单调性与导数 1 函数的单调性与其导函数的关系在某个区间 a b 内 如果 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果 那么函数y f x 在这个区间内 如果恒有 那么函数f x 在这个区间内为常函数 f x 0 f x 0 单调递减 f x 0 2 一般地 如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大 说明函数在这个范围内 这时 函数的图象就比较 反之 函数的图象就 变化得快 陡峭 平缓 3 已知函数y f x 的图象是下列四个图象之一且其导函数y f x 的图象如图所示 则该函数的图象是 4 2015年陕西 设f x x sinx 则f x a 既是奇函数又是减函数b 既是奇函数又是增函数c 是有零点的减函数d 是没有零点的奇函数 答案 b 利用导数判断或证明函数的单调性 8利用导数证明一个函数在给定区间上的单调性实质上就是证明不等式f x 0或f x 0恒成立 这时一般是先将函数的导数求出来 然后对其进行整理 化简 变形 根据不等式的相关知识 在给定区间上判断导数的正负 从而得证 例2 确定函数f x x3 3x在哪个区间上是增函数 在哪个区间上是减函数 解题探究 利用求导的方法确定函数的单调性 求函数的单调区间 解析 f x x3 3x f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令f x 0 可解得x 1或x 1 f x 的单调递增区间为 1 和 1 令f x 0 可解得 1 x 1 f x 的单调递减区间为 1 1 故f x 在区间 1 1 上单调递增 在区间 1 1 上单调递减 8 1 利用导数求函数f x 的单调区间的一般步骤为 确定函数f x 的定义域 求导数f x 在函数f x 的定义域内解不等式f x 0和f x 0 根据 的结果确定函数f x 的单调区间 注意如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个 那么这些单调区间不能用 连接 而只能用 逗号 或 和 字隔开 8 2 利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题 即f x 0 或f x 0 恒成立 利用分离参数或函数性质求解参数范围 然后检验参数取 时是否满足题意 先令f x 0 或f x 0 求出参数的取值范围后 再验证参数取 时f x 是否满足题意 示例 如果函数y f x 的图象如下图所示 那么导函数y f x 的图象可能是 不能抓住图象的关键特征致误 错解 c 错因分析 原函数与导函数的图象关系理解不深刻 凭空乱猜 正解 由原函数的图象可知 函数先增再减 再增再减 故导函数值应是先正再负 再正再负 故选a 警示 判断函数f x 与其导函数f x 的图象 关键是抓住f x 的增减性与f x 的正负的对应关系 1 掌握利用导数判断函数单调性的一般步骤 要注意有两个 或两个以上 单调增区间 或减区间
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