数学人教版九年级下册专题4 存在性问题.doc

专题4 存在性问题宁洱县磨黑中学 袁佳波【教学目标】知识与能力:通过本节的学习，提高学生分析问题、综合表达、解决问题的能力。并总结出解存在性问题的一般步骤。过程与方法：在教学中，引导学生自主、合作和探究，经过推理、论证、计算，激发的学生学习的信心和兴趣，让学生发现、感受、体验学习此类问题的方法，领悟其中的数学思想方法的思路,提高学生分析问题和解决问题的能力. 情感态度与价值观：在运用数学知识解答问题的活动中，获取成功的体验，培养学生学习的自信心、合作 意识，同时培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质. 【重点与难点】重点：“存在性问题”的探究方法难点：“存在性问题”探究策略的选择【教具准备】多媒体、小黑板【教学过程】点拨交流(1)在圆中，要求角的度数，我们首先联想到什么定理？(2)怎样求抛物线的解析式？(3)存在性问题的解题思路是什么？（学生回忆思考，最后师生总结归纳）探究一 点动型问题 例1 如图Z41所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，C(0，3)，点B是x轴上一点(位于点A右侧)，以AB为直径的圆恰好经过点C.(1)求ACB的度数(2)已知抛物线yax2bx3经过A，B两点，求抛物线的解析式(3)线段BC上是否存在点D，使BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由 图Z41解：(1)90.(2)在RtABC中，OAOBOC2，OB4.故抛物线为ya(x4)ax2bx3，比较常数项，得a，抛物线的解析式为y(x4).(3)存在若BD1OD1，则点D1在OB的中垂线上，点D1横坐标为2，纵坐标为，即D1为所求若OBBD24，则，.得yD2，xD2，即点D2为所求综上所述，在线段BC上存在点D，使BOD为等腰三角形点D的坐标为或.探究二 直角三角形存在问题 例2 2014黔东南 如图Z42，直线yx2与抛物线yax2bx6(a0)相交于点A(，)和B(4，m)，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式(2)是否存在这样的点P，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由(3)是否存在这样的点P，使PAC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 图Z42解：(1)把点B(4，m)代入直线yx2，得m6，点B的坐标为(4，6)把点A(，)，B(4，6)代入抛物线yax2bx6，得 解得抛物线的解析式为y2x28x6.(2)假设存在这样的点P，设点P的坐标为(n，n2)，则点C的坐标为(n，2n28n6)，则PC(n2)(2n28n6)n22n28n62n29n42(n)2.当n时，点P的坐标为(，)，此时PC的长度最长，为.(3)存在这样的点P.i)如图，当PAC90时，则ACAP.PCx轴，CAPEDP90.又APDDPE，CAPEDP，. 设点D的坐标为(x，0)，则点P的坐标为(x，x2)，点C的坐标为(x，2x28x6)由题意易知DEx2，PDx2，1，即ACAP.CAP90，PCAP.点P在线段AB上，x4，AP(x)PC(x2)(2x28x6)(x)，即2x27x30，解得x13，x2(不合题意，舍去)故点P的坐标为(3，5)ii)如图，当ACP90时，则ACPC.PCx轴，ACx轴 抛物线的对称轴为直线x2，且点A的坐标为(，)，点C也在抛物线上，点A与点C关于直线x2对称，点C的坐标为(，)，点P的横坐标为x.当x时，y2，点P的坐标为(，)iii)直线EB与x轴相交于点E，PCx轴，PC不可能与EB垂直，即APC不可以为90，因此，这种情况不存在点P.综上所述，当PAC为直角三角形时，点P的坐标为(3，5)或(，)探究三 面动型问题例3 2014曲靖 如图Z43，抛物线yax2bxc与坐标轴分别交于A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，D是抛物线顶点，E是对称轴与x轴的交点(1)求抛物线的解析式；(2)F是抛物线对称轴上一点，且tanAFE，求点O到直线AF的距离；(3)点P是x轴上的一个动点，过点P作PQOF交抛物线于点Q，是否存在以点O，F，P，Q为顶点的平行四边形？若存在，求出点P的坐标，并说明理由 图Z43解：(1)根据题意，得 解得 抛物线的解析式为yx22x3.(2)当x1时，y4.顶点D的坐标为(1，4)，AE1(3)2.又tanAFE，EF4，点F的坐标为(1，4)或(1，4)过点O作OHAF于点H.根据勾股定理，得AF2 .2 OH34，OH.(3)若以点O，F，P，Q为顶点的平行四边形存在，则点Q(x，y)满足4.当y4时，x22x34，解得x12 ，Q1(12 ，4)，Q2(12 ，4)，P1(2 ，0)，P2(2 ，0)当y4时，x22x34，解得x1，Q3(1，4)，P3(2，0)综上所述，符合条件的点P有三个，即P1(2 ，0)，P2(2 ，0)，P3(2，0) 探究四 相似三角形存在问题 例4 2014十堰 已知抛物线C1：ya2的顶点为A，且经过点B(2，1)(1)求点A的坐标和抛物线C1的解析式(2)如图Z44，将抛物线C1向下平移2个单位长度后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求SOACSOAD的值(3)如图Z44，若过点P(4，0)，Q(0，2)的直线为l，点E在(2)中抛物线C2的对称轴右侧部分(含顶点)运动，直线m过点C和点E，问：是否存在直线m，使得直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由图Z44解：(1)抛物线C1：ya(x1)22经过点B(2，1)，a1，y(x1)22，顶点A的坐标为(1，2)(2)抛物线C1：y(x1)22向下平移2个单位长度后得抛物C2：y(x1)24x22x3.A(1，2)，B(2，1)，直线AB的解析式为yx3，解得 点C的坐标为(3，0)，点D的坐标为(0，3)A(1，2)，B(2，1)，CBBAAD，SOACSOAD21.(3)存在设直线m的解析式为ykxb，与直线l交于点M，与y轴交于点N .PC1，CO3，PO4，QO2.如图，当MNPQ时，QMNCMP，此时CONQ