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土木工程结构力学总复习重点考点大全 1 第一部分力法 一 基本概念 2 3 力法典型方程的形式 力法方程的物理意义 各符号的含义 力法方程的物理意义 基本结构在荷载和多余约束力共同作用下 在多余约束处的变形和原结构在多余约束处的变形是相等的 实质是多余约束处的变形协调条件 位移条件 应明确以下几点 基本未知量xi是广义多余力 每个方程是与多余约束相应的位移条件 力法的基本结构是去掉多余约束后的静定结构 力法方程中 3 4 在外荷载作用下 超静定梁和刚架的内力与各杆的EI的相对值有关 而与其绝对值无关 的分母中都有EI 计算未知力时 EI可约简 图乘法计算公式 图自乘 恒为正 应掌握图乘法的注意事项 一个弯矩图的面积 y0 与取面积的图形形心对应的另一个弯矩图的纵标值 两个弯矩图中 至少有一个是直线图形 y0取自直线图形 折线应分段 必须是等截面的直杆 变截面应分段 常用的图乘结果 主系数 副系数 基线同侧图乘为正 反之为负 自由项 4 基线同侧积为正 反之为负 记住几种常用图形的形心位置 面积计算公式 曲线图形与直线图形图乘 1 6杆长乘2倍同侧积加1倍异侧积 5 举例 1 指出以下结构的超静定次数 静定结构的内力计算 可不考虑变形条件 复铰 2 判断或选择 力法典型方程的物理意义是 A 结构的平衡条件B 结点的平衡条件C 结构的变形协调条件D 结构的平衡条件及变形协调条件 力法只能用于线形变形体系 通过静力平衡条件能求出静定结构的全部反力及内力 4次 6次 4次 C 6 D 7 基本结构 基本结构 基本结构 P A B C A B C A B C 8 用力法计算并绘图示结构的M图 解 1 取基本结构 确定基本未知量 2 列力法方程 4 求系数和自由项 5 把系数和自由项代入力法方程求未知量 6 作结构的M图 将解得的基本未知量直接作用于B支座处 利用截面法计算即可 二 力法解超静定结构的计算步骤 以02级试题为例 25分 原结构 9 三 对称性的利用 重点掌握半刚架法 1 对称结构的概念 几何尺寸 支座 刚度均对称 对称结构 非对称结构 非对称结构 10 b 偶数跨 取半边结构时 对称轴截面处视为固定端 L 2 简化为 2 简化方法 对称结构在对称荷载作用下 特点 M N图对称 Q图反对称 a 奇数跨 取半边结构时 对称轴截面处视为定向支座 简化为 11 对称结构在反对称荷载作用下 特点 M N图为反对称 Q图为对称 a 奇数跨 取半边结构时 对称轴截面处视为与杆件垂直的可动铰支座 M0 简化为 b 偶数跨 取半边结构时 对称轴通过的杆件 弯曲刚度取一半 L 2 L 2 简化为 L 2 EI EI EI EI EI 2 12 对称结构上作用一般荷载时 可将荷载分解为正对称与反对称两种情况之后在于以简化 例如 作业1第四题 略 另 简化时 应充分利用局部平衡的特殊性 以简化计算 反对称荷载 13 03级试题 15分 用力法求图示结构M图 EI 常数 M0 45kN m 解 1 利用对称结构在反对称荷载作用下取左半跨结构进行计算 取基本结构 列力法方程 3 求X1 4 绘M图 往届试题举例 A B C D 请思考 若此题若改为对称荷载 结构又应该如何简化 14 20分 图b为图a的基本体系 已知 求结构的M图 EI 常数 图b 01级试题 此方法简便 15 用力法计算图示结构 并绘出M图 EI 常数 20分 01级试题 同作业1第三题3 16 15分 图b为图a的基本体系 求 1P E 常数 02级试题 2 求系数 1P 提示 变截面杆应分段图乘 或 17 15分 用力法计算并绘图示结构M图 EI 常数 A 3I 2l2 l q 4 求系数和自由项 5 求X1 6 绘M图 解 1 选取基本结构 确定基本未知量 2 列出力法方程 03级试题 18 第二部分位移法 一 基本概念 判断位移法基本未知量数目的方法 刚结点数目 角位移数目 不含固定端 用直观法或换铰法确定独立结点线位移的数目 直观法 由两个不动点引出的两个不共线直杆的交点也为不动点 换铰法 将结构所有的刚性联结均变为铰接后 含固定端 组成的可变铰接体系的自由度数目 即为独立线位移数目 注意角位移 线位移图形符号与约束力 力矩图形符号的区别 注意角位移 线位移正 负方向的规定 2 位移法的基本结构 由若干个单个超静定杆件构成的组合体 为使结构中各杆变为超静定直杆 1 梁和刚架一般均忽略杆件的轴向变形 2 位移法的基本结构一般应是固定形式 3 位移法既用于计算超静定结构 也能计算静定结构 注意 19 1 2 举例 判断下列结构位移法的基本未知量的个数n 并画出基本结构图 作业2第一题 20 3 21 举例 03级试题 注意 当横梁刚度为 时 右图无角位移 只有线位移 1 试确定图示结构位移法的基本未知量和基本结构 链杆a b需考虑轴向变形 15分 22 3 位移法基本方程的形式及其物理意义 一个结点位移 两个结点位移 位移法方程的物理意义 基本结构在基本未知量 1 2 及荷载共同作用下 每个附加约束处的反力之和等于零 实质是静力平衡条件 刚度系数 分别表示基本结构在结点位移 1 1单独作用 2 0 时 其附加约束1和附加约束2中产生的约束力 或力矩 在M1图之中 刚度系数 分别表示基本结构在结点位移 2 1单独作用 1 0 时 其附加约束1和附加约束2中产生的约束力 或力矩 在M2图之中 自由项 分别表示基本结构在荷载单独作用时 其附加约束1和附加约束2中产生的约束力 或力矩 在MP图之中 4 附加刚臂处的约束力矩与附加链杆处的约束力的计算方法 计算附加刚臂处的约束力矩 应取相应刚结点为隔离体 由力矩平衡条件求出 计算附加链杆处的约束力 应用截面切取附加链杆所在的结构一部分为隔离体 由截面剪力平衡条件求出 23 5 单跨梁的形常数 是位移法绘图的依据 是力矩分配法中计算转动刚度的依据 2 一端固定另一端铰支的单跨梁 3 一端固定另一端定向支座的单跨梁 当A端产生角位移时有 当A端产生角位移 B端产生角位移且AB杆的B端产生竖向位移时有 1 两端固定的单跨梁 图中虚线为变形曲线 24 6 单跨梁的载常数 固端弯矩 可直接查表3 2 是位移法绘图的依据 考试时一般给出 查表时 应注意灵活运用 7 掌握对称性的利用 半刚架法 同力法复习部分 例如 作业2第三题 8 会由已知的结点位移 求结构的M图 利用转角位移方程 9 复习位移法与力法的比较表 见教材第65页表3 3 25 本题15分 用位移法计算图示对称刚架 并作M图 各杆EI 常数 求基本未知量 利用叠加法求 图 二 位移法解题步骤 以01级试题为例 26 三 小结注意事项 1 确定基本未知量时 不要忽视组合结点处的角位移 而杆件自由端和滑动支承端的线位移 铰结端的角位移不作为基本未知量 2 在有侧移的刚架中 注意分清无侧移杆与有侧移杆 列截面剪力平衡条件时 所取截面应截断相应的有侧移杆 3 计算固端弯矩时 注意杆件的铰结端或滑动端所在的方位 以判断固端弯矩的正负号 4 列结点平衡条件时 注意杆端弯矩反作用与结点上 应以逆时针为正 结点上的力偶荷载及约束力矩则应以顺时针为正 27 计算图示结构位移法典型方程式中系数r11和自由项R p EI 常数 18分 2 作图 3 求系数 四 往届试题举例 01级试题 28 用位移法作图示结构的M图 20分 4 求系数和自由项 A B C D 02级试题 29 用位移法计算图示结构 并作M图 AB BC杆弯矩图不画 20分 解 1 取基本结构 确定基本未知量 1 2 列位移法方程3 绘出图4 计算系数和自由项 5 代入方程求未知量6 绘M图 03级试题 30 第三部分力矩分配法 一 基本概念1 应用范围 仅有结点角位移的刚架和连续梁 2 正负号规定 同位移法 3 基本参数 转动刚度S 使杆端发生单位转角时 其他位移分量为0 需在该端 近端 施加的杆端力矩 其值与杆件的线刚度 远端支承情况有关 远端固定 远端铰支 远端定向 滑动 远端自由 31 力矩分配系数 其值为小于1的正数 而 ik杆的转动刚度 汇交于i结点处各杆转动刚度之和 ik杆分配系数 4 结点的不平衡力矩及其 反号分配 的概念 不平衡力矩是指将刚结点视为固定端后产生的约束力矩 其等于汇交于该结点的所有杆端的固端弯矩之和 而它在实际结构中是不存在的 为了消除这个不平衡力矩 需在该结点处再施加一个与它等值反向的外力偶并按分配系数将其分配到各杆端 即 反号分配 32 1 判断 01级试题 用力矩分配法计算结构时 汇交于每一个结点各杆端力矩分配系数总和为1 则表明力矩分配系数的计算绝对无错误 2 选择 01级试题 图示结构E 常数 正确的杆端弯矩 顺时针为正 是 分析 概念举例 X B 33 A结点 解 1 求各杆的转动刚度 设EI 1 3 计算固端弯矩 2 计算分配系数 二 力矩分配法的计算步骤 1 单结点力矩分配 一次分配 传递即可结束运算 举例 02级试题 15分 用力矩分配法计算并做出图示结构M图 EI 常数 34 4 5 1 5 3 1 5 1 5 0 分配传递 35 01级试题 用力矩分配法求 图 给出分配系数和固端弯矩值 10分 1 分配与传递 见框图 2 叠加计算最后杆端弯矩 2 多结点力矩分配 多轮分配与传递 一般2 3轮 举例说明 3 绘 图 36 三 注意事项1 力矩分配应从不平衡力矩最大的结点开始 递减快 分配时一定要反号 传递不变号 2 刚结点处 最后一轮分配时 只向支座传递 不再向远端的刚结点传递 否则结点处不平衡 3 计算精确度 一般进行2 3轮即可 4 结点处的已知外力偶以顺时针为正 其处理方法有 方法 求出固点反力矩后与杆端的固端弯矩相加 再反号分配到各杆端 注意 固点反力矩与外力偶方向相反 见教材74页例4 1 方法 外力偶按原方向 不变号 单独进行第一轮分配 分配结果与该结点处的其它分配弯矩相加 向远端传递即可 见作业4第一题2答案 5 连续梁和刚架中带伸臂端杆件的处理方法 37 01级试题 用力矩分配法计算图示结构 并作M图 EI 常数 12分 38 用力矩分配法计算图示结构 并作M图 EI 常数 10分 解 1 简化悬臂端如图 a 所示 视BC段为左端固定右端铰支 3 计算固端弯矩 D 不平衡力矩 02级试题 39 15分 用力矩分配法计算图示结构M图 已知 计算固端弯矩 03级试题 40 由图示 可知BE杆B端的固端弯矩值为 160 kN m 外侧受拉 请思考 此题若简化B结点处为铰支端 分配系数与固端弯矩有什么变化 第三部分结束 41 第四部分结构的动力计算 一 基本概念及计算理论 公式1 弹性体系的振动自由度 动力自由度 的确定自由度 结构运动时 确定结构上全部质点位置的独立坐标数 确定振动自由度应考虑弹性变形 或支座具有弹性变形 不能将结构视为刚片系 这与结构几何组成分析中的自由度概念有区别 其数目与超静定次数无关 和质点的数目也无一定的关系 确定的方法 直观法 和 附加支杆法 固定体系中全部质点的位置所需附加支杆的最低数目 体系的振动自由度 应注意 忽略杆件的轴向变形 认为弯曲变形是微小的 1个自由度 2个自由度 2个自由度 2个自由度 2个自由度 1个自由度 42 例 01级试题 判断 图示体系有 个质点 其动力自由度为 设忽略直杆轴向变形影响 EI EA 自由度为3 自由度为2 自由度为4 X 43 单自由度体系无阻尼自由振动 简谐周期振动 7 24 任一时刻质点的位移 微分方程的解 2 秒内质点自由振动的次数 自振频率 单位 弧度 秒 1 s 沿振动方向作用一数值为W的力时 质点的静位移 质点完成一次自由振动所需要的时间 自振周期T 单位 秒 s 质点的重量 44 分析 k T之间的关系 1 或T 只与刚度系数k11 柔度系数 11和质量m有关 而与初干扰力P t 及位移y t 无关 2 当k11不变时 m越大 则T越大 小 即质量大 周期越长 3 当m不变时 k11越大 11越小 则T越小 大 即刚度大 柔度小 周期越短 注意 或T 是结构固有的动力特征 只与质量分布及刚度 或柔度 有关 而与动荷载及初始干扰无关 从表达式中能分析出 T 与k 之关系 45 01级试题 判断 外界干扰力只影响振幅 不影响自振频率 自振频率是体系的动力特征与外干扰力无关 举例 与干扰力无关 m和l不变时 若EI增大 刚度k11也增大 由 计算式可知 也增大 C 46 01级试题 选择 图示单自由度动力体系自振周期的关系为 a b B a c C b c D 都不等 47 3 单自由度体系的无阻尼强迫振动 重点 运动微分方程 刚度法 柔度法 或 干扰力方向与质点振动方向共线 干扰力方向与质点振动方向不共线 动力系数 最大动位移与荷载幅值产生的静位移之比 无阻尼时 计算式 48 方法2 动荷载与惯性力共线时的比例计算方法 较简便 动力系数 动荷载幅值 单位力沿质体振动方向作用时的弯矩 方法1 一般方法 较繁 略 可参考作业4第三题及教材书中有关例题 49 4 阻尼对振动的影响 考虑阻尼时 体系的自振频率为 阻尼比 对一般结构 0 2 可取 小阻尼时 1 质体不产生振动 1 c 2m 时 称为 临界阻尼状态 利用有阻尼振动时振幅衰减的特征 可以用实验方法测定体系的阻尼比 其计算公式 经过k个周期后 振幅的对数递减量 其中 补充 计算例题参考作业4第五题 50 在强迫振动中 阻尼起着减小动力系数的作用 简谐荷载作用下 有阻尼振动的动力系数为 51 5 两个自由度体系的自由振动 n个自由度体系应具有n个自振频率 或n个自振周期 有n个主振型 主振型 当体系 即所有质点 按某一自振频率作自由振动时 任一时刻各质点位移之间的比值保持不变 这种特殊的振动形式称为主振型 两个自由度体系自振频率的计算公式 掌握柔度法 称为 频率参数 频率方程 第一主振型自振周期 亦称 基本周期 第一主振型自振频率 亦称 基本频率 简称 基频 52 主振型的计算公式 只能求两个质点振幅的比值 不能计算出确切的值 第一主振型 结构按 1振动 第二主振型 结构按 2振动 主振型正交性验算公式 当 1 2时恒有 量纲复习 附加 国际单位制中质量用 千克 kq 或 吨 t 力用 牛顿 N 或 千牛顿 kN 力矩用 N m kN m 重力加速度 抗弯刚度EI用 kN m2 或 N cm2 或 N mm2 53 分析 3 动力位移总是要比静力位移大些 O O X 54 01级试题 1 单自由度体系运动方程为 其中未考虑质体重力 这是因为 C A 重力在弹性力内考虑了 B 重力与其它力相比 可略去不计 选择题 C 以重力作用时的静平衡位置为y座标零点 D 重力是静力 不在动平衡方程中考虑 计算式M Mst的适用条件是 动力荷载的方向与质点振动方向共线 B B 55 二 计算题类型分析 求单自由度体系的自振频率 或周期 方法 首先根据结构的特点求出与质体振动方向相应的柔度系数或刚度系数 然后用公式计算 可参考教材第157页例7 3和例7 4 刚度系数k11 可用位移法求 柔度系数 11 可用力法去求 56 解 因为梁的刚度为无穷大 所以当质点处作用单位力时 弹簧支座的位移 与质点的位移 11有比例关系 有 所以 由此可得 得 补充 要会计算具有有弹簧支座的单自由度体系的自振频率 57 选择 在图示体系的自振频率为 A B C D 例2 03级试题 分析 B 58 计算单自由度体系在简谐荷载作用下 强迫运动平稳阶段的最大动位移 振幅 和最大动内力M t max Q t max 计算自振频率 EI 2 104kN cm2 4800cm4 9 6 103kN m2 2 计算动力系数 3 计算质点处最大动位移A 4 计算最大动弯矩 分析 此题属于静定结构且振动荷载与惯性力共线 可采用简化的比例算法 此题与作业4第三题类同 复习时注意区别最大位移 或弯矩 与最大动位移 或动弯矩 的区别 59 试求图示体系稳态阶段动力弯矩幅值图 0 5 为自振频率 不计阻尼 20分 分析 此题同作业4第四题 属于 超静定刚架利用内力与位移的比例关系计算动弯矩幅值 类型 注意 若此类型题给出的已知条件是动荷载的频率 而不是频率比 则需先计算自振频率 60 计算两个自由度体系的自振频率和主振型 两种类型 1 单质点双自由度2 双质点双自由度 例1 作业4第二题3 求 图示体系自振频率和主振型 求自振频率 水平振动 竖向振动 求主振型 第一主振型 第二主振型 单质点双自由度 61 例2 作业4第二题1 求图示体系的自振周期和主振型 并绘出主振型的形状 求自振频率 本体系 单质点双自由度 62 求主振型 10 4 验算主振型的正交性 第一主振型 第二主振型 满足验算公式 本题应注意的问题 由于结构只有单个质点 容易误认为是单自由度体系 也容易误认为体系按竖向和水平方向振动 从而由竖向柔度求出竖向振动频率 由水平柔度求出水平振动频率 这是不正确的 虽然两个主振型的振动方向既不是水平的 也不是竖向的 但可以验证两个方向是互相垂直的 即具有正交性 63 例2 01级试题 与教材173页例7 9雷同 求图示梁的自振频率及主振型 并画出主振型图形 杆件分布质量不计 25分 2 求 3 求主振型 64 例2 02 03级试题 与作业4第二题2雷同 求图示结构的自振频率EI 9600 104kN cm2 m 2kg 25分 求系数柔度 2 求自振频率 采用频率参数 且则有 65 3 求主振型 4 正交性验算 满足 66 第五部分影响线 一 基本概念1 影响线定义 当方向不变的单位集中荷载 沿结构移动时 表示结构某指定处的某一量值 反力 弯矩 剪力 变化规律的图形 2 影响线与弯矩图的区别 yC P 1移至C截面时 C截面的弯矩值 yD P 1移至D截面时 C截面的弯矩值 yC P在C截面时 C截面的弯矩值 yD P在C截面时 D截面的弯矩值 67 3 静定梁的影响线是直线或折线图形 可求出具体的纵标值 而超静定梁的影响线是曲线 只能用机动法绘出其影响线的轮廓 4 临界荷载Pk Pcr 的概念 指能使量值S发生极值的荷载 有时临界荷载不止一个 二 熟记简支梁影响线的画法 最基本的 注意 1 影响线中正 负号及纵标值的标注 2 掌握右面四种图的特点 68 三 会用机动法绘制静定梁影响线 可参考教材例题5 2 1 机动法的原理 虚位移原理 2 机动法绘制静定结构某量值X影响线的步骤 去掉与所求量值X相应的约束 以X代之 使体系转为具有一个自由度的机构 使所得的机构沿X的正方向发生相应单位虚位移 X 1 由此得到的刚体虚位移图 P图 即为所求的影响线 若位移图在基线上侧 则影响线的竖标取正号 反之取负号 要理解 相应 的含义 举例 用机动法作图示结构中RA和QC的影响线 69 1 判断 图示结构 影响线的 段 纵标不为 往届试题举例 分析 虚位移图 A 01级试题 70 02级试题 判断 用机动法做得图a所示结构RB影响线如图b C X 71 四 掌握荷载的不利布置 临界荷载的判别及内力极大 极小值的计算1 均布断续活荷q的不利布置 2 在行列移动荷载作用下 利用影响线求某截面最大 最小弯矩值 或剪力值 步骤 绘出所求量值的影响线 判断临界荷载 找出最不利荷载位置直观判断与试算或用判别式 仅限三角形影响线 相结合 利用 计算该荷载位置下的该量值 设PK为临界荷载 当其位于影响线顶点时 应满足下式 附 三角形影响线临界荷载的判别式 q布满影响线正号部分 有最大值Smax q布满影响线负号部分 有最小值Smin 72 03级试题 C 73 2 图示梁在所示移动荷载作用下截面K的最大弯矩值是15kN m MKmax 5 3 5 2 5 1 30kN m 74 五 利用影响线 求固定荷载下 某量值S的大小 影响线 1 求的值 举例 作业3第四题 集中荷载 与集中荷载对应的影响线中的纵标值 均布荷载 均布荷载覆盖下的影响线的面积 解 75 2 求的值 下侧受拉 3 求的值 影响线 76 习题5 9试求图示简支梁在吊车荷载作用下C截面的最大弯矩 最大正剪力和最大负剪力 P1 解 1 计算C截面的最大弯矩先作MC影响线如图所示 再判别临界荷载 初步判断P1和P4不是临界荷载 再利用临界荷载判别式 将P2置于影响线顶点 将P3置于影响线顶点 P2为一临界荷载 P3不是临界荷载 P2 P3 P4 补充作业 77 MC影响线 y3 y4 y2 当P2作用于C点时 78 2 计算C截面的最大剪力 采用试算法 临界荷载判别式在这里不适用 79 80 h 补充1梁的极限荷载 1 定义 整个梁截面达到塑性流动状态时所能承受的最大弯矩值 称为梁截面的极限弯矩 Mu Mu 弹性状态 弹塑状态 塑性状态 中性轴 塑性状态 y y b A2 A1 一 极限弯矩Mu 极限状态时中性轴将截面面积分成两个相等的部分 81 2 极限弯矩 Mu 的计算方法 横截面 极限状态应力 A1 y A2 y 中性轴 等面积轴 设A1为受拉区面积 A2为受压区面积 A为全截面面积 由静力平衡条件可得 又由于 所以 82 二 塑性铰的概念 见图8 4 1 梁达到极限弯矩Mu时 两个相邻截面由于纵向纤维呈现缩短或伸长的流动产生有限的转角 相当于在此处形成一个铰 称为 塑性铰 形成塑性铰后 梁变为一个机构 这时的状态为 塑性极限状态 2 塑性铰与普通铰的区别 塑性铰的两端承受大小为Mu的极限弯矩 而普通铰不能承受弯矩 在结构未破坏之前 塑性铰具有暂时性 若此时卸载塑性铰会消失 而普通铰无此性质 普通铰是双向铰 而塑性铰是单向的 其转动方向与极限弯矩转向一致 三 破坏机构1 定义 结构构件形成塑性铰 一个或几个 后 原结构就要变成几何可变体系 失去继续承载的能力 该体系称为该原结构的破坏机构 形成破坏机构瞬时所对应的结构变形状态 称为结构的极限状态 此时的荷载即为极限荷载 写为pu qu 如图8 4所示 在极限状态下 对结构的内力进行分析 按平衡条件即可求出极限荷载 称为 极限平衡法 2 形成破坏机