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模板5函数与导数问题 满分15分 设函数f x emx x2 mx 1 证明 f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 2 若对于任意x1 x2 1 1 都有 f x1 f x2 e 1 求m的取值范围 满分解答 1 证明f x m emx 1 2x 1分 若m 0 则当x 0 时 emx 1 0 f x 0 当x 0 时 emx 1 0 f x 0 3分 若m 0 则当x 0 时 emx 1 0 f x 0 当x 0 时 emx 1 0 f x 0 5分 所以 f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 6分 2 解由 1 知 对于任意的m f x 在 1 0 上单调递减 在 0 1 上单调递增 故f x 在x 0处取得最小值 所以对于任意x1 x2 1 1 f x1 f x2 e 1的充要条件是 当m 1 1 时 g m 0 g m 0 即 式成立 当m 1时 由g t 的单调性知 g m 0 即em m e 1 当m 1时 g m 0 即e m m e 1 综上 m的取值范围是 1 1 15分 得分说明 求导正确得1分 分两种情况讨论正确各得2分 得出结论得1分 找出充要条件得3分 构造函数 求出 t 1 1 时 g t 0 得3分 通过分类讨论 得出结果得3分 解题模板 第一步求导数 一般先确定函数的定义域 再求f x 第二步定区间 根据f x 的符号确定函数的单调区间 第三步寻条件 一般将恒成立问题转化为函数的最值问题 第四步写步骤 通过函数单调性探求函数最值 对于最值可能在两点取到的恒成立问题 可转化为不等式组恒成立 第五步再反思 查看是否注意定义域 区间的
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