2017年全国高中数学联赛模拟试题10.doc

2017年全国高中数学联赛模拟试题10第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.若实数满足，且，则的值是 2. 已知集合，且，其中若任意，均有，则实数的最大值为 3. 复数满足，则等于 4. 已知，其中为整数，则 5. 表示、中较小的数，不等式的解集是 .6. 在四面体ABCD中，AD平面BCD，ABD=BDC=.已知E是BD上一点，满足CEBD且BE=AD=1.点D到平面ABC的距离为，则的值为 .7.设为抛物线上相异两点，则的最小值为 8.电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字或.则输出的前个数字之和被整除的概率为 .二、解答题：本大题共3小题，共56分.9在矩形中，为边的中点，设、分别、是上的动点，且满足，连接与交于点，求动点轨迹方程，并指出它的形状。10.设数列定义为 （1）证明：当时，（2）证明： 11. 已知，对任意实数均有，求使取最小值的所有实数对.2017年全国高中数学联赛模拟试题10加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）如图，四边形内接于圆，延长线交于，延长线交于，为圆上任一点，分别交圆于，若对角线交于，求证：三点共线二、（本小题满分40分）给定实数，个复数满足证明： 三、（本题满分50分）求具有下述性质的所有整数：存在无穷多个正整数使得不整除 四、（本题满分50分）给定整数，求最小的整数，使得存在两个由整数构成的集合，同时满足以下条件：（1），且；（2）对中任意两个不同元素有：当且仅当2017年全国高中数学联赛模拟试题10第一试参考解答一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.若实数满足，且，则的值是 2. 已知集合，且，其中若任意，均有，则实数的最大值为 解：令得，在上单调递增，故，故，当时，故对任意都有成立，所以实数的最大值为3. 复数满足，则等于 4. 已知，其中为整数，则 解：由条件知，于是，故5. 表示、中较小的数，不等式的解集是 .解:当时,当时, 故min=又min= 所以有以下四种情形:当时,原不等式为,.此时,.当时,原不等式为.此时,. 当时,原不等式为此时,.当时, 原不等式为.此时,.综上所述,满足题意的x的取值范围为 6. 在四面体ABCD中，AD平面BCD，ABD=BDC=.已知E是BD上一点，满足CEBD且BE=AD=1.点D到平面ABC的距离为，则的值为 .7.设为抛物线上相异两点，则的最小值为 解： 设，则所以当时，取最小值8.电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字或.则输出的前个数字之和被整除的概率为 .解：这n个数字共有种可能情形。设其中数字和被3整除的有种。则不被3整除的有种。对于各数字的情形，若其和被3整除，则前n个数字之和不被3整除；反之，对于前n个数字之和不被3整除的每种情形，有唯一的第个数字可使前个数字之和被3整除。因此，。这表明，概率满足递推关系式。所以法二：若输出的前n个数字之和被3整除的概率为，则不被3整除的概率为。要使输出的前个数字之和被3整除，则必须使前n个数字之和不被3整除，且此时第个数字也随之确定。所以，由条件概率的公式得，余下同法一。法三：n个数字共有种可能情形。下面计算其和被3整除的种数，这等于多项式的展开式种等项的系数之和，即。其中，为三次单位根，是其共轭复数。故。因此，所求的概率为. 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9在矩形中，为边的中点，设、分别、是上的动点，且满足，连接与交于点，求动点轨迹方程，并指出它的形状。解：以中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系则设则由共线得，由共线得，（1）当在上时由得即即得，化简得易知此时轨迹形状是椭圆的一部分（2）当在上时由得即即化简得易知此时，轨迹形状是双曲线的一部分10.设数列定义为 （1）证明：当时，（2）证明： 11. 已知，对任意实数均有，求使取最小值的所有实数对.解：若，则不等式可化为，易知则令，则有，故或，即或，（1）当时若，则由得恒成立，这显然不可能（2）当时若，则由得恒成立，这显然不可能；所以（1）当时的两根为则且，因此此时，等号当时成立（2）当时， 若，则不等式恒成立可化为，所以当或时即，令则当时即。令若则恒成立，故，对恒成立，所以，所以，此时，所以，此时，当时（*）若，则因为故的两根满足且两个等号不能同时成立，则当时若则与恒成立矛盾，当时若则与恒成立矛盾，因此不合题意若，则因为故的两根满足且两个等号不能同时成立，则若则与恒成立矛盾，因此不合题意即且时，等号当且时成立，由可知，由得因为时也符合上述表达式，因此当时， 同理可得当时综上，当或时取得最小值12017年全国高中数学联赛模拟试题10加试参考解答（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）如图，四边形内接于圆，延长线交于，延长线交于，为圆上任一点，分别交圆于，若对角线交于，求证：三点共线二、（本小题满分40分）给定实数，个复数满足证明： 三、（本题满分50分）求具有下述性质的所有整数：存在无穷多个正整数使得不整