第4章典型系统的可靠性分析

28 第四章第四章 典型系统的可靠性分析典型系统的可靠性分析 4 1 系统及系统可靠性框图系统及系统可靠性框图 4 1 1 概述概述 所谓系统是指为了完成某一特定功能 由若干个彼此有联系的而且又能相互协调 工作的单元组成的综合体 在可靠性研究中 按系统是否可以维修可以将系统分为不可修复系统和可修复系 统 不可修复系统是指系统一但失效 不进行任何维修或更换的系统 例如日光灯 管 导弹以及卫星推进器等一次性使用的系统 不可修复是指技术上不能修复 经 济上不值得修复 或者一次性使用不必要再修复 可修复系统是指通过修复而恢复 功能的系统 机械电子产品大多数都是可修复系统 但不可修复系统相对可修复系 统来说简单得多 而且对不可修复系统的研究方法与结论也适用于可修复系统 同 时是研究可修复系统的基础 4 1 2 系统可靠性框图系统可靠性框图 系统是由若干个彼此有联系的而且又能相互协调工作的单元组成的综合体 因此 各个单元之间必然存在一定的关系 为了分析系统的可靠性 就必须分析系统各单 元之间的关系 首先要将所要分析的系统简化为合理的物理模型 然后在由物理模 型进一步得到参数和设计变量的数学模型 对于复杂产品 用方框表示的各组成部分的故障或它们的组合如何导致产品故障 的逻辑图 称为可靠性框图 可靠性框图可以用来评价产品或系统的设计布置以及 确定子系统或元件的可靠性水平 可靠性框图和数学模型是可靠性预测和可靠性分 配的基础 下面通过实例来说明如何建立可靠性框图 例 4 1 如图 4 1 所示是一个流体系统工程图 表示控制管中的流体的两个阀门通 过管道串联而成 试确定系统类型 图 4 1 两阀门串联流体系统示意图 解 要确定系统类型 要从分析系统的功能及其失效模式入手 1 如果其功能是为了使液体通过 那么系统失效就是液体不能流过 也就是阀门 不能打开 若阀门 1 和阀门 2 这两个单元是相互独立的 只有这两个单元都打开 系统才能完成功能 因此 该系统的可靠性框图如图 3 2a 所示 29 2 如果该系统的功能是截流 那么系统失效就是不能截流 也就是阀门泄漏 那 么可以看到 要是系统完成预定功能 要求两个阀门至少有一个正常 因此 该系 统的可靠性框图如图 3 2b 所示 a 功能是流体流通时的串联系统可靠性框图 b 功能是截流时的并联系统可靠性框图 图4 2 系统可靠性框图 从上面的例子中可以看到 对于同样一个系统 如果它所完成的功能不同 或 者定义它的失效状态不同时 其可靠性框图的形式可能时不同的 例4 2 如图4 3所示是电路中经常使用的并联电容器电路图 从可靠性角度讨论 该系统的类型 图4 3 并联电容器系统图 解 如果所设计的系统在电容器短路时失效 显然 任何一个电容器的失效均 会导致该电路的失效 因此 从功能关系来看 该电容器系统的可靠性框图是一个 串联系统 如图4 4a 所示 如果所设计的系统在电路开路时失效 显然 只有全部电容器均失效才会导致 该电路的失效 因此 从功能关系来看 该电容器系统的可靠性框图是一个并联系 统 如图4 4b 所示 图4 4 电容系统可靠性框图 讨论题 一个系统由完全相同的三台设备组成 在工作期间系统的负载水平 功能 不同 可以将这项任务分为3个阶段 各个阶段的负载情况是第一阶段必须至少有一 台工作 第二阶段必须至少有2台工作 第3阶段必须3台同时工作 试根据上述任务 情况分别画出3个阶段所对于的可靠性框图 4 1 3 系统类型系统类型 根据单元在系统中所处的状态及其对系统的影响 系统可以分为非储备系统 串联系统 储备系统和复杂系统 如图4 5所示 阀门 1阀门 2 输入 输入 阀门 1 输入 阀门 2 输入 12n a 串联模型 b 并联模型 12n 30 图4 5 系统的分类 为了使系统工作更保险可靠 往往在系统的工作过程中使所需要的零件 部件 有一定的储备 以用来改进系统可靠性 储备系统是为了完成某一工作目的所设置 的设备除了满足运行的需要外 还有一定冗余的储备的系统 例如将某些控制系统 设计成两套并联系统 或设计成同时有机械式 电气式和液压式的 只要有一套在 正常工作 就能维持系统正常工作 储备系统又可分为工作储备和非工作储备系统 又称平行冗余和开关系统 工作储备系统是使用多个零部件来完成同一任务的组合 在该系统中 所有的 单元一开始就同时工作 但其中任一个单元 零部件 都能单独地支持整个系统工作 也就是说 在系统中只要不是全部单元都失效 系统就可以正常运行 有的工作储备系统要求同时有两个以上的单元正常工作 系统才能正常工作 例如飞机有四个发动机 只要有两个发动机正常工作就能飞行 这就称为 n中取 k 或 表决 系统 非工作储备系统是指系统中有一个或多个单元处于工作状态 其余单元则处于 待命 状态 当工作的某单元出现故障后 处于 待命 状态的单元立即转入工 作状态 转入工作状态时 必须经过转换开关 而这时就存在一个能否及时发现故 障的监测问题和转换开关本身的可靠性问题 那么 在这里我们说的 理想 开关 是指开关本身完全可靠 不发生故障 且监测可靠安全 一般来说 非工作储备系统的可靠度要高于工作储备系统 这是因为工作储备 系统虽然每个单元均在不满负荷状态下运行 但它们毕竟在运行 设备的损耗总是 不可避免地存在 而非工作储备系统就不存在这个问题 但非工作储备系统存在着 何时启用 待命单元 的监测及 待命单元 启动投入运行的 开关 可靠性问题 因此 非工作储备 比 工作储备 可靠性高的结论是假定单元在储备期不失效 并且在系统监测故障完全准确及时和转换开关 理想 的条件下得出的 实际上 开关的可靠度问题总是存在的 4 2 不可修复系统的可靠性分析不可修复系统的可靠性分析 4 2 1 串联系统 非储备系统 可靠性模型串联系统 非储备系统 可靠性模型 设由 n 个部件组成的系统 其中任何一个部件发生故障 系统即出现故障 或者 说只有全部部件都正常系统才能正常 这样的系统称为串联系统 其可靠性框图如 31 图4 6 所示 图 4 6 串联系统可靠性框图 假定第i个部件的寿命为 可靠度为 并假定随机变 i x 1 2 ii RP xtin 量 相互独立 若初始时刻t 0 所有部件都是新的 且同时开始工作 1 x 2 x n x 根据串联系统的定义 系统的寿命为 4 1 12 min sn Xx xx 于是系统的可靠度为 12 min ssn R tP XtPx xxt 4 2 12 1 1 n ni i n i i P xt xtxtP xt R t 上式表明 一个由独立部件组成的串联系统的可靠度等于组成该系统各个部件 的可靠度之积 如果第i个部件的失效率为 则系统的可靠度为 i 0 010 1 n t tt i is i nt dt t dtt dt s i R teee 4 3 故系统的故障率为 4 4 1 n si i tt 上式表明 一个由独立部件组成的串联系统的失效率等于组成该系统所有部件 的失效率之和 通过上述分析 我们得出以下关于串联系统的结论 串联系统的可靠度低于组成系统的每个部件的可靠度 且随着串联部件数目 的增加而迅速下降 因此在设计串联系统时 应当选择较高可靠度的元件 并尽量 减少串联的元件数 串联系统的失效率大于该系统的每个部件的失效率 若串联系统的各个部件都服从指数分布 则该系统寿命也服从指数分布 例4 3 某数控机床数控系统由50片集成电路芯片组成 它们分别安装在两块电 路板上 每块板平均有80个插件接头 每片芯片上有25个焊点和15个金属化孔 设 各部件均服从指数分布 集成电路芯片的故障率为 焊点的故障率为金 7 1 10 9 1 10 属化孔的故障率为插件接头的故障率为 求系统工作8小时的可靠度和 9 5 10 8 1 10 平均无故障工作时间 解 数控系统中各部件是串联组成的 利用串联系统模型可以得到 12n 32 7998 1 50 1050 25 1050 15 5 102 80 10 n si i tt 5 1 16 10 因此系统的可靠度为 55 1 16 1089 28 10 8 0 999907 st s R teee 系统的平均寿命为 5 11 86206 9 1 16 10 S MTTFh 4 2 2 工作储备系统可靠性模型工作储备系统可靠性模型 4 2 2 1 并联系统并联系统 设系统由 n 个部件组成 若只有当系统所有部件都失效 系统才丧失其规定功 能 或者只要有一个部件正常工作 系统就能完成其规定的功能 这种系统称为并 联系统 并联系统的可靠性框图如图 4 7 所示 图 4 7 并联系统可靠性框图 假定系统的第i个部件的寿命为 可靠度为 并假定 i x 1 2 ii RP xtin 随机变量 相互独立 若0初始时刻t 0 所有部件都是新的 且同时 1 x 2 x n x 开始工作 根据串联系统的定义 系统的寿命为 4 5 12 max sn Xx xx 于是系统的可靠度为 12 max ssn R tP XtPx xxt 4 6 12 12 1 1 max 1 1 1 n n n i i Px xxt P xt xtxt R t 上式表明 一个由独立部件组成的并联系统的可靠度高于组成该系统任何一个部件 的可靠度 由式 4 6 可以看出并联系统的累积失效概率为 4 7 1 n i i F tF t 即并联系统的失效概率为各组成系统的部件的失效概率之积 当部件的寿命服从参数为的指数分布 即 则系统的可 i 1 2 it i R tein 靠度为 1 1 1 i n t s i R te 12n 33 4 8 12 1 1 1 111 1 n i ijjjji ii i nt tt tn iij njjn eeee 积分上式得系统的平均寿命为 4 9 1 11 12 111 1 n n iij n iijn MTTF 由上述分析可知 并联系统的失效概率低于各部件的失效概率 并联系统的平均寿命高于各部件的平均寿命 并联系统的可靠度大于部件可靠度的最大值 并联系统的各部件服从指数寿命分布 该系统不再服从指数寿命分布 随着部件数 n 的增加 系统的可靠度增大 系统的平均寿命也随之增加但随 着部件数目的增加 新增加部件对系统可靠性及寿命提高的贡献变得越来越小 并联系统的部件数目越多 说明系统的结构尺寸越大 质量和成本越高 所以 在机械系统中一般采用得并联部件不多 如动力装置 安全装置和制动装置中采用 并联时 常取 n 2 3 例 4 4 由 3 个零件组成的并联工作储备系统 其每个零件的可靠度分别为 0 8 0 7 和 0 6 求该系统的可靠度 解 由式 4 7 得 0 976 3 1 1 1 1 1 0 8 1 0 7 1 0 6 si i R tR t 由计算结果可以看出 并联工作储备系统可以大大提高系统的可靠性 4 2 2 2 混联系统混联系统 一 一般混联系统 由串联和并联系统混合而成的系统称为混联系统 如图 4 8 所示 对于一般的混联系统 可用串联和并联原理 将混联系统中的串联和并联部分 简化成等效子系统 然后利用串联和并联系统的可靠性特征量计算公式求出子系统 的可靠性特征量 然后将每个子系统作为一个等效单元 得到一个与混联系统等效 的串联或并联系统 即可求得整个系统的可靠性特征量 图 4 8 混联系统可靠性框图 在图 4 8 所示的混联系统 元件 1 和元件 2 串联构成的子系统 1 元件 5 和元件 6 串联构成子系统 2 子系统 1 和元件 3 并联构成子系统 2 元件 4 和子系统 2 并联 构成子系统 4 子系统 3 和子系统 4 串联构成整个混联系统 因此 该系统可靠性特 征量可进行如下计算 34 112 s RtR tR t 256 s RtR tR t 3131313 123123 1 1 1 ssss RtRtR tRtR tRtR t R tR tR tR tR tR t 424 1 1 1 ss RtRtR t 4 10 34 sss R tRtRt 二 串 并联系统 考虑一个系统由 m 个子系统串联而成 而每个子系统则是由 n 个元件并联而成 我们称这样的系统为串 并联系统 如图 4 9 所示 图 4 9 串 并联系统可靠性框图 若组成串 并联系统的各单元的可靠度函数分别为 Rij t i 1 2 m j 1 2 ni 且所有单元寿命都相互独立 则按串联和并联模型公式 得 4 11 11 1 1 i n m sij ij R tR t 串 并联系统可以看作是从串联模型变化而来的 考虑一个有 m 个元件的串联 系统 如果将每一个元件都加上几个工作储备元件 则得到串 并联系统 由于串 并联系统中有工作储备元件 其系统可靠性可比单纯串联系统可靠性高 但同时 系统的成本也较高 因此 存在系统优化问题 三 并 串联系统 考虑一个系统由 m 个子系统并联而成 而每个子系统则是由 n 个元件串联而成 我们称这样的系统为并 串联系统 如图 4 10 所示 图 4 10 并 串联系统可靠性框图 同样地假设 组成并 串联系统的各单元的可靠度函数分别为 Rij t i 1 2 m j 1 2 ni 且所有单元寿命都相互独立 则按串联和并联模型公式 得 4 11 11 1 1 i n m sij ij R tR t 并 串联系统也可以看作是从串联系统变化而来的 考虑一个由 n 个元件串联 35 成的子系统 在将 m 个这样的子系统并联起来 就构成了并 串联系统 例 4 5 如果在 m n 4 的并 串联系统和串 并联系统中 单元可靠度均为 R t 0 8 试分别求出这两个系统的可靠度 解 对于并 串联系统 44 1 1 1 1 0 8 0 8785 nm R tR t 对于串 并联系统 4 4 1 1 1 1 0 8 0 9936 mn R tR t 由计算结果可以看出 在单元数目和单元可靠度相同的情况下 串 并联系统 的可靠度高于并 串联系统的可靠度 4 2 2 3 表决系统表决系统 如果组成系统的 n 个单元中有至少有 k 个单元正常工作时 系统才正常工作 这样的系统称为 n 中取 k 表决系统 简称 k n 系统 如图 4 11 所示 显然 当 k 1 时 为 n 个单元纯并联系统 当 k n 时 k n 系统为串联系统 图 4 11 表决系统可靠性框图 设组成系统的每个单元是同种类型 失效概率为q 正常工作概率为p 单元只 有两种状态 即p q 1 且各单元失效相互独立 所以k n系统的失效概率服从二项分 布 即 1 n iin i sn i k R tC n R tR t 4 12 如果各单元服从指数分布 即 则 t R te 4 13 1 n ii ttn i n i k R tCee 系统的平均寿命为 4 14 1111 1 n i k MTTF ikkn 机械系统 电路系统和自动控制系统等常采用简单的 2 3 表决系统 即 3 单元中 至少有两个单元正常工作 系统就正常工作 2 3 表决系统的可靠性框图可以等效为 并串联系统 如图 4 12 所示 12 13 32 36 图 4 12 2 3 系统等效可靠性框图 假设三个单元相互独立 且均服从指数分布 它们的可靠度均为 R t 失效率 均为 则 2 3 表决系统的可靠度和平均寿命时间分别为 4 15 23 32 325 236 tt R tee MTTF 从上式中 可以看出 2 3 表决系统的平均寿命比单元寿命还要低 也就是说 2 3 表决系统不能提高系统的平均寿命 2 3 表决系统的意义在于短时间内可靠性的 改善 讨论 设计一个电源 要求平时能提供最大电力为 6kW 紧急情况下要求提供 12kW 若利用发电机作为电源 可提供以下三种方案 采用一台 12kW 发电机 采用 2 台 6kW 发电机 采用 3 台 4kW 发电机 假设各种发电机的可靠度均相同 且它们的失效相互独立 试比较这 3 种方案 方案 工况紧急情况 保证 12kW 平时 保证 6kW 1 1 台发电机Rs1 R0Rs1 R0 2 2 台发电机Rs2 R02 可靠性串联 Rs2 2 R0 R02 可靠性并联 3 3 台发电机Rs3 R03 可靠性串联 Rs3 3R02 2R03 可靠性 2 3 比较 Rs1 Rs2 Rs3Rs1 Rs2 Rs1 Rs30 Rs2 Rs3 2R0 4R02 2R03 2R0 1 2R0 R02 2R0 1 R0 2 0 结论紧急情况用一台电机最可靠平时用 2 台电机最可靠 4 2 3 非工作储备系统可靠性模型非工作储备系统可靠性模型 假设系统由完成同一功能的 n 个部件和一个转换开关 K 组成 如图 4 13 所示 其工作方式是一个部件处于工作状态 其余部件处于备用状态 当工作部件产生故 障时 转换开关使一个备用部件立即转入工作状态 直到最后一个部件失效时为止 系统发生失效 这种系统称为非工作储备系统 图 4 13 非工作储备系统可靠性框图 按储备系统和备用件的不同故障特点 又分为冷储备系统和热储备系统 K 37 4 2 3 1 冷储备系统冷储备系统 冷储备系统的备用部件在备用状态下不会发生失效 不劣化 储备期的长短对以 后的使用寿命没有影响 即备用故障率等于 0 但是储备系统中储备部件代替故障部 件的转换开关对整个系统能否正常工作影响很大 因此 在冷储备系统中 依开关 K 的性质又分为理想转换开关和非理想转换开关两种 一一 理想转换开关的冷储备系统理想转换开关的冷储备系统 假设冷储备系统 n 个部件的寿命分别为 且相互独立 可见 冷储备 12 n x xx 系统的寿命为 4 16 12 sn MTTFxxx 因此 系统的累积故障分布为 4 17 1212 snn F tP xxxtF tF tF t 其中 是第 i 个部件的累积故障分布 表示卷积 因此 系统的可靠 1 ii F tR t 度和平均寿命为 4 18 12 1 1 sn n i i R tF tF tF t MTTFT 当部件的寿命服从参数为的指数分布时 即 i 1 2 n 且互不 i it i R te i 相等 则储备系统的可靠度和平均寿命为 4 19 11 1 1 i nn t k s ik ki k i n i i R te MTTF 当 i 1 2 n 则冷储备系统的可靠度和平均寿命为 i 4 20 1 0 i n t s i i t R te i n MTTF 例 4 6 试比较由两个相同单元组成的串联系统 并联系统 冷储备系统的可靠 度 假定单元寿命服从指数分布 故障率为 单元可靠度为 0 8 解 串联系统 22 0 80 64 s R tR t 并联系统 2 1 1 0 96 s R tR t 旁联系统 1 1 ln 0 9785 t s R tt eR t R t 一般来说 当认为转换开关装置完全可靠时 旁联系统的可靠度大于并联系统 的可靠度 并联系统的可靠度大于串联系统的可靠度 二二 非理想转换开关的冷储备系统非理想转换开关的冷储备系统 由图 4 13 可以看出 当贮备系统的转换开关是非理想的 即转换开关是不完全 38 可靠的时候 转换开关对整个系统的可靠度影响是至关重要的 这时的冷贮备系统 可以看作是由 n 个部件和一个转换开关组成 n 个部件的寿命分别为 且 12 n x xx 相互独立 初始时刻一个部件开始工作 其余 n 1 个部件作贮备 当工作部件故障时 转换开关立即从刚故障的部件转换到下一个贮备部件 这里开关不完全可靠 假设 转换开关寿命服从 0 1 分布 即使用开关时要么正常 概率为 RSW 要么故障 概 率为 1 RSW 那么在以下两种情况下 会造成系统故障 当某一个工作的部件故障 使用转换开关时 转换开关故障 则系统故障 使用了 n 1 次转换开关 转换开关都正常 n 个部件都故障时系统故障 若部件的寿命服从参数为的指数分布时 即 i 1 2 n 则储备系 t i R te 统的可靠度和平均寿命为 4 21 1 0 1 1 1 i n t sw s i n sw sw R t R te i MTTFR R 4 2 3 2 热储备系统热储备系统 在实际使用中 储备单元由于受到环境因素的影响 在储备期间内的故障率不 一定为 0 当然这种故障率应该比工作故障率要小得多 储备单元在储备期内故障率 不为零的热储备系统比冷储备系统要复杂的多 假设系统由 n 个相同的部件组成 部件的工作寿命和储备寿命分别服从参数为 和 的指数分布 在初始时刻 一个部件工作 其余的部件作工作热储备 这期 间所有的部件均可能故障 但工作部件故障时 由尚未故障的储备部件去替换 直 到所有部件都故障 则系统故障 一一 转换开关完全可靠的热储备系统转换开关完全可靠的热储备系统 假设热储备系统 n 个部件的寿命相互独立 部件的工作寿命与其曾储备了多长 时间无关 所有部件的工作寿命和贮备寿命分别服从参数为 和 的指数分布 为了求系统的可靠度和平均寿命 我们用 ti表示第 i 个故障部件的故障时刻 且令 t0 0 显然热贮备系统的寿命为 4 22 1 1 N sii i Xtt 在时间区间 中 系统已有 i 1 个部件故障 还有 n i 1 个部件是正常 1ii tt 的 其中一个部件工作 n i 个部件作热贮备 由于指数分布的无记忆性 服 1ii tt 从参数为的指数分布 i 1 2 n 且它们相互独立 故该系统等价于 n ni 个独立部件组成的冷贮备系统 其中第 i 个部件的寿命服从的指数分 i ni 布 当 0 时 可以得到 39 4 23 11 00 1 0 1 nn it s ik k i n i k R te ki MTTF i 当部件寿命分布参数不同时 热贮备系统可靠度的表达式相当复杂 这里只介 绍两单元热贮备系统的可靠度和平均寿命 4 24 121 1 12 1 121 11 ttt s R teee MTTF 二二 转换开关不完全可靠的热储备系统转换开关不完全可靠的热储备系统 假定转换开关不完全可靠 转换开关服从 0 1 分布 使用开关时开关正常的概率 为 Rsw 为了简便起见 我们仅考虑两个不同型部件的情形 在初始时刻部件 1 工作 部件 2 热贮备 部件 1 2 的工作寿命分别为 部件 2 的贮备寿命为 y 因此 12 xx和 系统的累积故障分布分别服从参数为的指数分布 此时系统的可靠度和平均 12 寿命是 4 25 121 1 12 1 121 11 ttt ssw sw R teRee MTTFR 4 2 4 网络系统网络系统 可靠性工程中系统的概念是由系统和单元之间的功能关系定义的 在实际问题 中 系统与单元之间的关系错综复杂 除串联 并联 储备 混联等系统外 还有 大型的非串联 非并联系统构成的网络系统 例如在一台大型自动机床上 综合了 机械 液压 气动 电子线路等 构成一个复杂的网络 在电气系统中 也会经常 遇到通信网络 电路网络 计算机网络等 再如图 4 14 a 所示的并网供电系统 当 开关 K 不完全可靠时 其可靠性框图如图 4 14 b 所示 显然 它不属于前面定义过 的任何一种系统 为此 引入新的网络系统的概念 图 4 14 并网供电系统 简单讲 网络是一些节点以及连接某些节点对之间的弧组成的图 设节点是 V v1 v2 vn 的集合 弧是 E e1 e2 en 的有限集合 对于 V 满足非空集 40 1 2 a b c d e 图 4 15 桥形网络 而且每一个 ei E 与 V 中有序或无序元素 vi vj i j 1 2 n 相对应 且 则称 V E 组成一个网络图 G V 中的元素是 G 的节点 E 中的元素是 G 的 ij vv 弧 连接两个节点的弧是有向的 称为有向弧 连接两个节点的弧若没有方向 或是 双向的 则称为无向弧 若在 G 中同时存在有向弧和无向弧 则称 G 为混合型网络 从网络图的概念来看 不存在从某节点流出又流入该节点的弧 网络分析中 还常用到 路 的概念 任意两个节点间由有向弧或无向弧组成的弧序列称为节点间的一条路 路中所 包含的弧的数目称为路的长度 两个节点间有许多路 对于某一条路 如果从其序 列中除去任意一条弧 它就不再是连接两个节点间的路了 则称此路为该两节点间 的最小路 图 4 15 所示的桥形网络是一个混合型网络 在节点 1 和 2 间有四条最小路 a b c d a e d c e b 在讨论网络系统时 均假设系统或弧都只有两个状态 正常和失效 且假设节点不会失效 各弧之间是相互独立 的 求解复杂系统可靠度或失效概率的方法有 状态枚举法 路径枚举法 割集分析法 贝叶斯简化方法等 详细内容可参考文献 8 4 3 可修复系统的可靠性分析可修复系统的可靠性分析 4 3 1 随机过程随机过程 自然界中事物的变化过程可以区分为两大类 1 确定性过程 这一类事物的变化过程具有确定的形式 用数学语言来说 就是事物变化可以用一个 或几个 时间 t 的函数来描绘 例如 电网中的电压 电流都是正弦变化 如下式所示 I t Imsin t U t Umsin t 换句话说 电流和电压随时间的变化是确定性过程 2 非确定性过程 这一类事物的变化过程具有不确定的形式 用数学的语言 来说 就是事物变化不能用一个 或几个 时间 t 的函数来描绘 例如 电网的负 荷随时间的变化就是一个不确定的过程 这种不确定的过程往往称为随机过程 stochastic process 首先讨论随机过程的定义 设 E 是随机试验 e 是一次随机试验的结果 S 41 e 是它的样本空间 若对于每一个 e S 可以根据某种规则确定一时间 t 的函 数 X e t t T 4 26 与之相对应 T 是时间 t 的变化范围 则对于所有的 e S 来说 就得到一簇 时间 t 的函数 称此簇函数为随机过程 为简便起见 通常省去式 4 26 中的 e 用记号 X t 表示随机过程 要注意 X t 在不同情况下有不同的意义 1 对于特定的 ei S 即一个特定的试验结果 X t 是一个确定的样本函 数 它可以理解为随机过程的一次物理实现 以 xi t 表示 2 对于每一个固定的时刻 例如 t t1 T X t1 是一个随机变量 工程上 有时把 X t1 称作随机过程 X t 在 t t1时的状态 因此 随机过程 X t 也 可理解为一簇随机变量或随机变量的集合 随机过程的两种定义本质上是一样的 只是描述方式不同而已 在理论分析中经常采用第二种描述方法 在实际测量中往 往采用第一种描述方法 因而 这两种描述方法是互为补充的 4 3 2 马尔柯夫过程马尔柯夫过程 马尔柯夫过程是饿国人马尔柯夫在 1907 年提出来的 它是研究系统 状态 与 状态之间相互转移的关系 例如系统完全由定义为 状态 的变量的取值来描述时 则说系统处于一个 状态 假如描述系统的变量从一个状态的特定值变化到了另一 个状态的特定值时 则说系统实现了状态的转移 例如某设备 相对于运行这以状 况 就存在着正常状态 S 和故障状态 F 处于 S 状态的系统由于故障会转移到 F 状 态 处于 F 状态的系统经过维修 又会转移到 S 状态 其状态转移图如图 4 16 所示 在一个随机过程中 如果在某一时刻 由一种状态转移到另一种状态的转移概率 只与现在处于什么状态有关 而与在这时刻之前所处的状态完全无关 这种过程称 为马尔柯夫过程 换句话说 当过程在时刻 t0所处的状态为已知的条件下 过程在 时刻 t t t0 所处的状态与过程在 t0时刻之前的状态无关 这种性质称为 无记忆 性 或 无后效性 一般 马尔柯夫过程的参数和状态空间可以是离散的或连续的 具有离散参数 即时间参数 和离散状态空间的马尔柯夫过程 称为马尔柯夫链 Markov chain 若一个马尔柯夫链 X t 从 u 时刻处于状态 i 转移到 t u 时刻时处于状态 j 的 转移概率与转移的起始时间无关 即 0 ij P X tuj X uiP X tj XiP t 4 27 则称此马尔柯夫链是齐次的 式中 Pij t 称为齐次马尔柯夫链在时刻 t 这段时间 内从状态 i 转移到状态 j 的转移概率 42 下面以一个单元的简单可修系统为例 计算齐次马尔柯夫链可修系统的可靠性特 征量 为了讨论方便 假定 各个单元所处的状态是相互独立的 且组成系统单元 的寿命和维修时间均服从指数分布 如果系统是由一个单元和一组维修人员组成 此时单元工作 系统也工作 单元 故障 系统也故障 若系统处于修复状态 则单元修复后 系统重新开始工作 处 于工作状态 用 e1表示系统的正常状态 e2表示表示故障状态 则 e1 时刻 t 是系统工作 X T 4 28 e2 时刻 t 是系统故障 假设单元的故障率及修复率分别为 和 根据状态转移图 如图 4 16 所示 可列出马尔柯夫链的微系数矩阵 P t 图 4 16 单部件系统状态转移图 4 29 1 1 tt Pt tt 经过一系列的数学推导后 得到系统的瞬时有效度为 4 30 1 t A tP te 当时 即可得到系统的稳定有效度t 4 31 A 可见 若系统已经运行了很长一段时间后 系统所处的状态与开始状态无关 处 于平衡状态 系统平均有效度为 4 32 2 0 1 1 t tt m A tedte t 若系统发生故障后不再修复 即为系统进入吸收状态 其状态转移如图 4 17 图 4 17 吸收状态转移图 此时 再由可靠度即可求出其它特征量 马尔柯夫链详细分析 t R tA te 过程可参考文献 2 1 e 2 e t t 1t 1t 1 e 2 e t 11t 43 4 3 3 串联可修复系统串联可修复系统 由n个单元构成的串联系统 每个单元的失效及维修时间均服从指数分布 n个 单元全部正常工作时系统处于正常状态 当其中一个单元出现故障时 系统就处于 故障状态 此时立刻进行修复 修复期间 未发生故障的单元也处于停止状态 当 故障单元修复后 n个单元又进入工作状态 系统恢复正常工作 修复后的单元仍服 从指数分布 当 n 个单元失效相互独立 在 t 到时间内 n 个单元失效率均未 修复tt 率均为 该串联系统的状态转移图如图 4 18 所示 其中表示系统正常工作 1 e 表示系统处于故障状态 2 e 图 4 18 相同 n 个单元串联系统状态转移图 1 2 e X t e 式中 X t 是一个齐次马尔柯夫链 正常工作状态 E 1 e 可推得系统的微系统矩阵为 4 33 1 1 ntnt Pt tt 此时 系统的状态在形式上与前述单一设备的情况一样 只是 n 个单元以 的概率由状态向状态转移 因此 单一设备的有效度分析结果可以用到这nt 1 e 2 e 里 只要把 改为 n 即可 所以 该系统的瞬时有效度 稳态有效度分别为 4 34 1 nt n A tP te nn 4 35 A n 吸收状态时 系统可靠度及首次故障前平均工作时间分别为 4 36 n t R te 4 37 1 n 当 n 个单元的失效率和维修率不同时 该串联系统的状态转移图比较复杂 在 此不予讨论 祥见文献 2 1 e 2 e t nt 1t 1 nt 44 4 3 4 并联可修复系统并联可修复系统 如果系统由n个相同单元组成 n个单元服从参数为 的指数分布 维修时间服 从参数为 的指数分布 且n个单元的失效及维修时间均相互独立 故障单元修复后 的寿命仍服从参数为 的指数分布 系统的可能状态ei i 0 1 n 状态转移图如图 4 19所示 图 4 19 n 个相同单元并联状态转移图 定义 X t j 时刻有 j 个单元故障 j 0 1 n 可以证明 X t 是一个齐次马尔柯夫链 系统的微系数转移阵为 P t 10 1 1 1 00 01 2 00 001 001 00 0 0 n n ntnt ntnt t tnt tt tt 经求解得系统的稳态有效度为 4 38 1 0 0 1 1 n i i n i i ni A ni 4 3 5 表决可修复系统表决可修复系统 如果系统由 n 个相同单元组成 n 个单元服从参数为 的指数分布 维修时间 服从参数为 的指数分布 且 n 个单元的失效及维修时间均相互独立 故障单元修 复后的寿命仍服从参数为 的指数分布 当一个单元处于维修状态时 其它故障单 元必然处于待修状态 而且 当且仅当至少 r 个单元工作时 系统处于正常工作状态 当有 n r 1 个单元故障时 系统处于故障状态 为发生故障的 r 1 个单元也停止工作 直到有 1 个单元被修复后又有 r 个单元同时进入工作状态 系统又重新进入工作状态 0 e 1 e t nt 1t 1 nt 1 1 nt 1 2 nt 2 e t 1 nt 1n e n e t t 1 t 45 一般来将 r n 表决系统应有 n r 2 个不同的状态 状态 e0 n 个单元均处于工作状态 系统正常工作 状态 e1 n 1 个单元均处于工作状态 有一个单元失效 故障单元进入维修 但系统仍正常工作 状态 e2 n 2 个单元均处于工作状态 有 2 个单元失效 其中一个单元处于 维修状态 另一个单元处于待修状态 但系统仍正常工作 状态 en r r 个单元均处于工作状态 有 n r 个单元失效 其中 1 个单元处于 维修状态 其余故障单元处于待修状态 但系统仍正常工作 状态 en r 1 r 1 个单元均处于工作状态 有 n r 1 个单元失效 系统处于故障 状态 定义 X t j 时刻 有 j 个单元故障 j n m 1 时 系统处于故障状0 1 1jnr 态 可以证明 X t 是一个齐次马尔柯夫链 系统的状态转移图 012 n r Eee ee 如图 4 20 所示 图 4 20 相同单元 r n 表决系统状态转移图 此时 系统的微系数矩阵为 经求解得系统的稳态有效度为 4 39 0 1 0 1 1 n r j j n r j j nj A nj 4 3 6 旁联可修复系统旁联可修复系统 假设转换开关完全可靠 分别就贮备单元在