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第九章 多元函数的积分学习题二重积分的计算说明：所有的积分区域均未画出，请自己补上求下列二重积分：；其中D是矩形：；其中D是三角形，其三边为；其中是由直线及抛物线所围成的区域；其中是由抛物线及直线所围成的区域；其中D是由两条抛物线围成的区域；其中D是由两条抛物线围成的区域；其中D是由直线及围成 ；其中由抛物线直线及轴围成抛物线与直线的交点坐标为但所以求下列重积分，并绘出积分区域：说明：积分区域未绘出，但指出了区域；积分区域由抛物线，三次抛物线及直线x围成；积分区域是由三直线围成的三角形区域；积分区域是由及水平直线围出的三角形区域；积分区域是余弦曲线在上的一段与x轴及y轴围出的试利用极坐标计算下列积分：，其中是围成的区域用极坐标表示的积分区域：；其中D是圆所包含的第一象限的区域用极坐标表示积分区域为；其中是圆环采用极坐标，其中是圆环，计算以圆周围成的区域为底而以曲面为顶的曲顶柱体的体积由二重积分的几何意义，即知所求体积（计算见第题）求两个底面半径都等于的直交圆柱所组成的立体体积设圆柱面的方程分别为与利用对称性，只须求出位于第一卦限部分的体积，然后倍即可位于第一卦限部分的立体是以在第一象限部分为底、而顶是，故位于第一卦限部分的体积所以，所求体积为计算由平面所围成的柱体，被平面及抛物面截得的立体体积问题是求以围成的区域为底，为顶的曲顶柱体体积设有一块薄平板，它所占据的区域D由直线及抛物线所围成，并且它的面密度，求这块薄平板的质量在一个形状为旋转抛物面的容器内，已经盛有的溶液现在又倒进去的溶液，问液面比原来的液面升高了多少厘米？我们先求出溶液体积V与液面高度h的关系当液面高度为h时，液面在xoy面上投影区域为故当时，；时，故问题中的液面升高了cm三重积分的定义及计算计算下列三重积分：（）；（）；（）；求的值，其中是柱面及平面所围成的第一卦限内的区域使用柱面坐标，则求的值，其中是由圆柱面，平面所围成的区域采用柱面坐标，则，故求，其中是球面围成区域用球坐标形式，则，从而.求的值，其中是两个半球面，及平面所围成的区域用球坐标表示，则，所以求由圆柱面，旋转抛物面及平面所围成的立体体积可用二重积分的方法求得，我们这里采用三重积分的方法用柱面坐标，则积分区域可取为故所求体积为求上面是平面，下面是锥面所围成的体积同样可由二重积分求得，此处采用柱坐标，故所求体积为有一个半径为a的球体，其中任一点的密度与该点到球心的距离成正比（设比例常数为k），试求这球体的质量设球体表面的方程为，则由题意，知密度为故用球坐标，得该球体的质量重积分的应用求曲面被圆柱面截下来的那部分面积直接使用曲面域的面积公式，得所求面积求球面含在圆柱面内部的面积由对称性，可先求位于第一卦限部分的面积，然后倍即可，圆周，包围的区域故所求面积为求柱面被柱面所截部分的面积根据对称性，可先求位于第一卦限部分的面积，然后倍即可，故求四面体的重心由于重心坐标满足，而，故，由对称性，所以立体的重心坐标为求均匀半球体的重心由图形的对称，可知重心坐标中的，只要求即可用球坐标，又半球体体积，故，所以，所求重心坐标为求由球面与顶点在坐标原点且半顶角为的内接锥面所围成的均匀物体的重心锥面方程为由图形的对称，可知重心坐标中的，只要求即可用球坐标，而所以故重心坐标为，求一均匀圆柱被平面所截部分的重心用柱坐标，由于对坐标面的力矩，由的对称性，求密度为的均匀球体对坐标轴的转动惯量用球坐标计算，对x轴的转动惯量由对称性，即知对y轴和z轴的转动惯量仍为求半径为r，高为h的均匀圆柱体，绕过中心而平行于母线的轴的转动惯量设柱面方程为，上下底为平面用柱坐标计算所求转动惯量即为（取密度值）设有一密度为的物体，受到位于原点而质量为的质点的引力作用，且原点不在物体内部，如果象上面确定物体重心坐标那样，把近似地化成是由n个质点组成的质点系那么在这质点系中每个质点所受的引力大小是与该点与原点的距离的平方成反比，而与点的质量成正比，引力的方向是从该点指向原点，试求整个物体所受的引力的公式我们用元素法求出引力公式在物体内任取一小块（也表示其体积），设是该小块内一点，则该小块的质量近似为，而该小块到原点的距离为，由牛顿的万有引力公式，即知处于原点处的质点对该小块的引力大小为，是万有引力常数方向为，方向余弦是故该引力在三个坐标轴方向上的分力为，.所以，曲线积分计算下列曲线积分：，是圆弧因为，所以，为旋轮线的一拱由于，是以和为顶点的三角形的边界，而，所以，是由圆，直线及x轴在第一象限中所围成图形的边界设，则但，是椭圆在第一象限中的弧段，沿曲线；，其中起点为原点，终点为（）；（）；（）；（），是抛物线上从到一段弧，为圆弧，其中是从点到的直线段直线的参数方程为，是依逆时针方向绕圆周一圈的线路令，则，是依逆时针方向绕圆周一圈的线路令，则利用格林公式计算曲线积分：（），是椭圆；，显然满足格林公式的条件，故（），是三角形的边界，其中，试用格林公式计算，再直接用曲线积分验证所得结果这里是及在与间组成的封闭曲线由格林公式，有；直接计算 证明只与的起点和终点有关而与所取线路无关且求的值故曲线积分只与起点和终点有关，而与积分路径无关我们积分时可选特殊路线进行设，的方程分别为，则证明只与的起点和终点有关而与所取线路无关且求的值所以曲线积分只与的起点和终点有关而与所取线路无关取积分路径为折线段，则一物体呈半圆环形，其上每一点密度等于该点的纵坐标，求这个物体的质量长为ds的圆弧段的质量为yds，故半圆环的质量为试求半径为R，且圆心角为的均匀圆弧的重心设圆弧的方程为，密度为（常数），所求重心坐标为由对称性，知而对y轴的力矩，该圆弧的质量为，所以该圆弧的重心坐标为，即圆心角的分角线上距圆心的点在椭圆