高等数学 空间曲面和曲线ppt课件.ppt

曲面在空间解析几何中被看作点的轨迹 曲面方程的定义 8 3空间曲面和曲线 8 3 1空间曲面方程 2 不在曲面上的点的坐标都不满足方程 1 曲面上任一点的坐标都满足方程 如果曲面与三元方程有下述关系 而曲面S称为方程的图形 那么 方程就称为曲面S的方程 11 解 由题意 有 所求方程为 特别地 球心在原点的球面方程为 即 设是球面上任一点 例1建立球心在点半径为R 的球面方程 21 球面的一般方程为 经配方 可化为球面的标准方程 例如 配方后得 例如 与 分别表示上 下半球面 31 定义 绕其平面上的一条直线 这条定直线叫旋转曲面的轴 此曲线称母线 称为旋转曲面 旋转一周所成的曲面 为方便 常把曲线所在 一条平面曲线 母线 轴 作坐标轴 平面取作坐标面 旋转轴取 41 将代入 得所求方程为 现求yOz坐标面上的已知曲线 绕z轴旋转一周的旋转曲面方程 2 点M到z轴的距离 51 xOz坐标面上的已知曲线 绕x轴旋转一周的旋转曲面方程为 绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为 同理 yOz坐标面上的已知曲线 61 解 圆锥面方程 所得旋转曲面称为圆锥面 两直线的交点称为 圆锥面的顶点 两直线的夹角 圆锥面的半顶角 称为 试建立顶点在坐标原点O 旋 半顶角为的 圆锥面的方程 转轴为z轴 面上直线方程为 例2直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周 71 圆锥面的方程也可写成 圆锥面的几种常用形式 与 分别表示开口朝上与朝下的半锥面 81 旋转椭球面 旋转抛物面 例3将下列各曲线绕对应的轴旋转一周 求生成的旋转曲面的方程 1 yoz面上的椭圆绕y轴和z轴 2 yoz面上的抛物线绕z轴 绕y轴旋转 绕z轴旋转 91 定义 平行于定直线并沿定曲线C 这条定曲线C称为柱面的准线 动直线L称为柱面的母线 所形成的曲面称为柱面 移动的直线L 准线 母线 101 柱面举例 抛物柱面 平面 从柱面方程看柱面的特征 其他类推 在空间直角坐标系中表示平行于z轴的柱面 其准线为xOy面上的曲线C 111 椭球面 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面 121 与同号 椭圆抛物面 131 特殊地 当时 方程变为 旋转抛物面 分别表示开口朝上与朝下的旋转抛物面 例如 与 141 与同号 双曲抛物面 马鞍面 设 图形如下 151 单叶双曲面 161 双叶双曲面 171 空间曲线的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线 特点 曲线上的点都满足方程 满足方程的点都在曲线上 不在曲线上的点不能 同时满足两个方程 8 3 2空间曲线方程 181 例4方程组表示怎样的曲线 解 表示圆柱面 表示平面 交线为椭圆 C 191 例5方程组表示怎样的曲线 解 上半球面 如图 圆柱面 如图 交线为蓝色部分 如图 201 称为空间曲线的参数方程 随着参数的变化可得到曲线上的 就得到曲线上的一个点 全部点 211 动点从A点出发 螺旋线的参数方程 取时间t为参数 解 经过t时间 运动到M点 那末点M构 成的图形称为螺旋线 试建立其参数方程 M在xOy面的投影 轴的正方向上升 例6如果空间一点M在圆柱面 上以 角速度 绕z轴旋转 同时又以线速度v沿平行于z 221 消去变量z后得 曲线关于xOy的投影柱面 设空间曲线C的一般方程 投影柱面的特征 此柱面必包含曲线C 以曲线C为准线 C 母线垂直于所投影的坐标面 231 类似地 可定义空间曲线在其它坐标面上的投影 yOz面上的投影曲线 xOz面上的投影曲线 空间曲线在xOy面上的投影曲线 或称投影 即为曲线关于xOy面的投影柱面 即为xOy面 C 即为投影柱面与xOy面的交线 241 解交线方程为 消去z得投影柱面 的交线关于xOy面的投影柱面和 在xOy面上的投