高考数学椭圆性质

祝各位莘莘学子高考成功 高考数学考出好成绩 第 1 页 椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质 必背的经典结论 必背的经典结论 椭椭 圆圆 1 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角外角 2 PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆 除去长轴的两个端点 3 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离相离 4 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切内切 5 若在椭圆上 则过的椭圆的切线方程是 000 P xy 22 22 1 xy ab 0 P 00 22 1 x xy y ab 6 若在椭圆外 则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1 P2 则切 000 P xy 22 22 1 xy ab 点弦 P1P2的直线方程是 00 22 1 x xy y ab 7 椭圆 a b 0 的左右焦点分别为 F1 F 2 点 P 为椭圆上任意一点 22 22 1 xy ab 则椭圆的焦点角形的面积为 12 FPF 12 2 tan 2 F PF Sb 8 椭圆椭圆 a b 0 的焦半径公式 的焦半径公式 22 22 1 xy ab 10 MFaex 20 MFaex 1 0 Fc 2 0 F c 00 M xy 9 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P Q 两点 A 为椭圆长轴上一个顶点 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 两点 则 MF NF 10 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P Q A1 A2为椭圆长轴上的顶点 A1P 和 A2Q 交于点 M A2P 和 A1Q 交于点 N 则 MF NF 11 AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦 M为 AB 的中点 则 22 22 1 xy ab 00 yx 2 2 OMAB b kk a 即 0 2 0 2 ya xb KAB 12 若在椭圆内 则被 Po 所平分的中点弦的方程是 000 P xy 22 22 1 xy ab 22 0000 2222 x xy yxy abab 13 若在椭圆内 则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 000 P xy 22 22 1 xy ab 祝各位莘莘学子高考成功 高考数学考出好成绩 第 2 页 22 00 2222 x xy yxy abab 双曲线双曲线 1 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角内角 2 PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长 轴为直径的圆 除去长轴的两个端点 3 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交相交 4 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切相切 内切 P 在右支 外切 P 在左支 5 若在双曲线 a 0 b 0 上 则过的双曲线的切线方 000 P xy 22 22 1 xy ab 0 P 程是 00 22 1 x xy y ab 6 若在双曲线 a 0 b 0 外 则过 Po 作双曲线的两条 000 P xy 22 22 1 xy ab 切线切点为 P1 P2 则切点弦 P1P2的直线方程是 00 22 1 x xy y ab 7 双曲线 a 0 b o 的左右焦点分别为 F1 F 2 点 P 为双曲线上任 22 22 1 xy ab 意一点 则双曲线的焦点角形的面积为 12 FPF 12 2 t 2 F PF Sb co 8 双曲线双曲线 a 0 b o 的焦半径公式 的焦半径公式 22 22 1 xy ab 1 0 Fc 2 0 F c 当当在右支上时 在右支上时 00 M xy 10 MFexa 20 MFexa 当当在左支上时 在左支上时 00 M xy 10 MFexa 20 MFexa 9 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P Q 两点 A 为双曲线长轴上一个顶点 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M N 两点 则 MF NF 10 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P Q A1 A2为双曲线实轴上的 顶点 A1P 和 A2Q 交于点 M A2P 和 A1Q 交于点 N 则 MF NF 11 AB 是双曲线 a 0 b 0 的不平行于对称轴的弦 M为 22 22 1 xy ab 00 yx AB 的中点 则 即 0 2 0 2 ya xb KK ABOM 0 2 0 2 ya xb KAB 12 若在双曲线 a 0 b 0 内 则被 Po 所平分的中点弦的 000 P xy 22 22 1 xy ab 方程是 22 0000 2222 x xy yxy abab 祝各位莘莘学子高考成功 高考数学考出好成绩 第 3 页 13 若在双曲线 a 0 b 0 内 则过 Po 的弦中点的轨迹方 000 P xy 22 22 1 xy ab 程是 22 00 2222 x xy yxy abab 椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质 会推导的经典结论 会推导的经典结论 高三数学备课组 椭椭 圆圆 1 椭圆 a b o 的两个顶点为 与 y 轴平行的 22 22 1 xy ab 1 0 Aa 2 0 A a 直线交椭圆于 P1 P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab 2 过椭圆 a 0 b 0 上任一点任意作两条倾斜角互补的直线 22 22 1 xy ab 00 A xy 交椭圆于 B C 两点 则直线 BC 有定向且 常数 2 0 2 0 BC b x k a y 3 若 P 为椭圆 a b 0 上异于长轴端点的任一点 F1 F 2是焦点 22 22 1 xy ab 则 12 PFF 21 PF F tant 22 ac co ac 4 设椭圆 a b 0 的两个焦点为 F1 F2 P 异于长轴端点 为椭圆 22 22 1 xy ab 上任意一点 在 PF1F2中 记 则有 12 FPF 12 PFF 12 FF P sin sinsin c e a 5 若椭圆 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 左准线为 L 则当 22 22 1 xy ab 0 e 时 可在椭圆上求一点 P 使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF221 的比例中项 6 P 为椭圆 a b 0 上任一点 F1 F2为二焦点 A 为椭圆内一定点 22 22 1 xy ab 则 当且仅当三点共线时 等号成 211 2 2 aAFPAPFaAF 2 A F P 立 祝各位莘莘学子高考成功 高考数学考出好成绩 第 4 页 7 椭圆与直线有公共点的充要条件是 22 00 22 1 xxyy ab 0AxByC 22222 00 A aB bAxByC 8 已知椭圆 a b 0 O 为坐标原点 P Q 为椭圆上两动点 且 22 22 1 xy ab 1 2 OP 2 OQ 2的最大值为OPOQ 2222 1111 OPOQab 3 的最小值是 22 22 4a b ab OPQ S 22 22 a b ab 9 过椭圆 a b 0 的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M N 两点 弦 22 22 1 xy ab MN 的垂直平分线交 x 轴于 P 则 2 PFe MN 10 已知椭圆 a b 0 A B 是椭圆上的两点 线段 AB 的垂直 22 22 1 xy ab 平分线与 x 轴相交于点 则 0 0 P x 2222 0 abab x aa 11 设 P 点是椭圆 a b 0 上异于长轴端点的任一点 F1 F2为其焦 22 22 1 xy ab 点记 则 1 2 12 FPF 2 12 2 1 cos b PFPF 1 2 2 tan 2 PF F Sb 12 设 A B 是椭圆 a b 0 的长轴两端点 P 是椭圆上的一点 22 22 1 xy ab c e 分别是椭圆的半焦距离心率 则有 1 PAB PBA BPA 2 222 2 cos s ab PA ac co 2 3 2 tantan1 e 22 22 2 cot PAB a b S ba 13 已知椭圆 a b 0 的右准线 与 x 轴相交于点 过椭圆右焦点 22 22 1 xy ab lE 的直线与椭圆相交于 A B 两点 点在右准线 上 且轴 则直线FClBCx AC 经过线段 EF 的中点 14 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线 与以长轴为直径的圆相交 则相应交点与相 应焦点的连线必与切线垂直 15 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点 则该点与焦点的连线必与 祝各位莘莘学子高考成功 高考数学考出好成绩 第 5 页 焦半径互相垂直 16 椭圆焦三角形中 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e 离心率 注 在椭圆焦三角形中 非焦顶点的内 外角平分线与长轴交点分别称为内 外点 17 椭圆焦三角形中 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e 18 椭圆焦三角形中 半焦距必为内 外点到椭圆中心的比例中项 椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质 会推导的经典结论 会推导的经典结论 高三数学备课组 双曲线双曲线 1 双曲线 a 0 b 0 的两个顶点为 与 y 轴 22 22 1 xy ab 1 0 Aa 2 0 A a 平行的直线交双曲线于 P1 P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab 2 过双曲线 a 0 b o 上任一点任意作两条倾斜角互 22 22 1 xy ab 00 A xy 补的直线交双曲线于 B C 两点 则直线 BC 有定向且 常数 2 0 2 0 BC b x k a y 3 若 P 为双曲线 a 0 b 0 右 或左 支上除顶点外的任一点 22 22 1 xy ab F1 F 2是焦点 则 或 12 PFF 21 PF F tant 22 ca co ca tant 22 ca co ca 4 设双曲线 a 0 b 0 的两个焦点为 F1 F2 P 异于长轴端点 22 22 1 xy ab 为双曲线上任意一点 在 PF1F2中 记 12 FPF 12 PFF 则有 12 FF P sin sinsin c e a 祝各位莘莘学子高考成功 高考数学考出好成绩 第 6 页 5 若双曲线 a 0 b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 左准线为 22 22 1 xy ab L 则当 1 e 时 可在双曲线上求一点 P 使得 PF1是 P 到对应准21 线距离 d 与 PF2的比例中项 6 P 为双曲线 a 0 b 0 上任一点 F1 F2为二焦点 A 为双曲线 22 22 1 xy ab 内一定点 则 当且仅当三点共线且和 21 2 AFaPAPF 2 A F PP 在 y 轴同侧时 等号成立 2 A F 7 双曲线 a 0 b 0 与直线有公共点的充要 22 22 1 xy ab 0AxByC 条件是 22222 A aB bC 8 已知双曲线 b a 0 O 为坐标原点 P Q 为双曲线上两 22 22 1 xy ab 动点 且 OPOQ 1 2 OP 2 OQ 2的最小值为 3 2222 1111 OPOQab 22 22 4a b ba 的最小值是 OPQ S 22 22 a b ba 9 过双曲线 a 0 b 0 的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 22 22 1 xy ab M N 两点 弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P 则 2 PFe MN 10 已知双曲线 a 0 b 0 A B 是双曲线上的两点 线段 AB 22 22 1 xy ab 的垂直平分线与 x 轴相交于点 则或 0 0 P x 22 0 ab x a 22 0 ab x a 11 设 P 点是双曲线 a 0 b 0 上异于实轴端点的任一点 F1 F2 22 22 1 xy ab 为其焦点记 则 1 2 12 FPF 2 12 2 1 cos b PFPF 1 2 2 cot 2 PF F Sb 12 设 A B 是双曲线 a 0 b 0 的长轴两端点 P 是双曲线上 22 22 1 xy ab 的一点 c e 分别是双曲线的半焦PAB PBA BPA 距离心率 则有 1 2 222 2 cos s ab PA ac co 祝各位莘莘学子高考成功 高考数学考出好成绩 第 7 页 2 3 2 tantan1 e 22 22 2 cot PAB a b S ba 13 已知双曲线 a 0 b 0 的右准线 与 x 轴相交于点 过双 22 22 1 xy ab lE 曲线右焦点的直线与双曲线相交于 A B 两点 点在右准线 上 且FCl 轴 则直线