分组分解法因式分解(5课时)

分组分解法（第一教时）（一）复习把下列多项式因式分解(1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n) (3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y) （二）新课讲解1引入 提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。练习：把下列各式分解因式(1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n)2应用举例例1把a2-ab+ac-bc分解因式分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可继续提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx）=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能，请你看一下结果是否相同？练习：把下列各式分解因式(1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz(5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n(9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2四、课外作业 把下列各式分解因式1 a(mn)b(mn) xy(ab)x(ab)3 n(xy)xy abq(ab)5 p(mn)mn 2a4bm(a2b)7 a2acabbc 3a6bax2bx9 2x3x26x3 2ax6bx7ay21by xyxy1 ax2bx2 ay2by2 x32x2y4xy28y3 3m3ymaay 4x34x2y9xy29y3 x3y3x22x2y26xy分组分解法（第二教时）（一）复习1提问：什么是分组分解法？分组时有什么要求？2用分组分解法因式分解：(1)ax+ay+bx+by (2)mx-my+nx-ny (3)ab+ac-b2-bc (4)2x-4y-xy+2y2 (5)5am-a+b-5bm (6)x3-x2-4x+4（二）新课讲解1例题分析例3：把3ax+4by+4ay+3bx分解因式分析：如果象上节课一样，分别把前后两项分别分成两组，则无法继续分解，但把一、三两项和二、四两项分别分成两组，是可以分解下去的。解：3ax+4by+4ay+3bx=3ax+4ay+3bx+4by 加法交换律=(3ax+4ay)+(3bx+4by) 分组=a(3x+4y)+b(3x+4y) 提公因式=(3x+4y)(a+b) 再提公因式练习:用分组分解法因式分解：(1)ac+2b+2a+bc (2)ad-bc+ab-cd (3)5ax+6by+5ay+6bx (4)ab-4xy+4ay-bx例4：把m2+5n-mn-5m分解因式分析：如果把前后两项分别分成两组，虽然后两项有公因式，但前后两组之间却没有公因式，不好继续分解。如果把一、四两项和二、三两项分成两组，就可以继续分解了。解：m2+5n-mn-5m=m2-5m+5n-mn=(m2-5m)+(5n-mn) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)练习：把下列各式分解因式(1)x2+y-xy-x (2)5ax2-b2-b2x+5ax (3)x2+yz-xy-xz (4)4x2+3z-3xz-4x (5)5am+b-a-5bm (6)x2-yz+xy-xz四、课外作业 把下列各式分解因式1 mnmn1 23mx4ny4my3nx3 m3m2m1 4m3m2m1 5 a22bab2a 6axbyaybx7 xyzyxz 8a2xbyayabx9mx3mx2mxm 10a2ba2ca3abc分组分解法（第三教时）（一）复习1什么是分组分解法？2把下列各式分解因式(1)ac-ad+bc-bd (2)ay2-ax+bx-by2 (3)5ax+6by+10ay+3bx (4)5x2+7a-7ax-5x3.填空(1)a2-b2=_ (2)a2+2ab+b2=_ (3)a2-2ab+b2=_（二）新课讲解1例题与练习 例5：把x2-y2+ax+ay分解因式分析：显然无论如何分组都无法用前面的知识来分解，是不是无法分解呢？不是。由于第一、二两项满足平方差公式x2-y2=(x+y)(x-y),而三、四两项有公因式a,而ax+ay=a(x+y).这时可以看出(x+y)(x-y)与a(x+y)有公因式(x+y)。解：x2-y2+ax+ay=(x2-y2)+(ax+ay）=(x+y)(x-y)+a(x+y) =(x+y)+(x-y)+a=(x+y)(x-y+a)练习：把下列各式分解因式(1)4a2-b2+6a-3b (2)9m2-6m+2n-n2 (3)x2y2-4+xy2-2y (4)a2b2-c2+abd+cd例6：把a2-2ab+b2-c2分解因式分析：用刚才的方法不能见效。我们发现a2-2ab+b2是完全平方式(a-b)2,此时，原式就变为(a-b)2- c2，再用平方差公式。解：a2-2ab+b2-c2=( a2-2ab+b2)- c2 分组=( a-b)2- c2 运用完全平方公式 =(a-b)+c(a-b)-c 运用平方差公式 =(a-b+c)(a-b-c)练习：把下列各式分解因式(1)4a2+4ab+b2-1 (2)c2-a2-2ab-b2 (3)x2-4y2+12yz-9z2 (4)a2b2-c2+2ab+1四、课外作业 把下列各式分解因式4x2y24x2y b2a2axbxm2nm24n2 p3q9q2p2s2t23s3t x22x2yy24a2b22ab9a26a2bb2x22x1y2 m22mnn2p24x24xyy216z2a2b22bcc2x24y24y1x2y2z22yz分组分解法（第四教时）（一）复习把下列各式分解因式(1)a2-2a+2b-b2 (2)4m2-9n2+3n-2m (3)m2-2mn+n2-4c2 (4)a2-b2+2bc- c2提问：什么样的多项式可以用分组后运用公式法？（二）新课讲解1例题与练习例7把下列各式分解因式(1)(x2-4y2)+(4y-1) (2)(x2+y2-z2)2-4x2y2分析：在第（1）题分好的两组中，虽然第一组可用平方差公式，但与第二组却无公因式，因此无法分解。如果将括号去掉，再重新分组，得x2-（4y2-4y+1) ,此题可用分组后直接用公式法分解因式。在第（2）题中，先用平方差公式分解，再用分组分解法。注意：必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。解：(1)(x2-4y2)+(4y-1)= x2-4y2+4y-1= x2-（4y2-4y+1) = x2 (2y-1)2=x+(2y-1)x-(2y-1) =(x+2y-1)(x-2y+1)(2) (x2+y2-z2)2-4x2y2=(x2+y2-z2)2-(2xy)2 =(x2+y2-z2)+2xy(x2+y2-z2)-2xy =(x2+y2-z2+2xy)(x2+y2-z2-2xy) =(x2+y2 +2xy)-z2(x2+y2-2xy)-z2 =(x+y)2-z2(x-y)2-z2 =(x+y)+z(x+y)-z(x-y)+z(x-y)-z =(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z)练习：把下列各式分解因式(1) (2ab-a2)+(c2-b2) (2) (ax+by)2+(bx-ay)2(3) 4a2b2-(a2+b2-c2)2 例8：把下列多项式分解因式 (1) x3+x2y-xy2-y3 (2)a3-ab2+4abc-4ac2解：(1)x3+x2y-xy2-y3=(x3+x2y)-(xy2+y3) 分组=x2(x+y)-y2(x+y) 分别提公因式 =(x+y)(x2-y2) 提公因式 =(x+y)(x+y)(x-y) 运用平方差公式 =(x+y)2(x-y) 相同因式写成幂的形式提问：还有其他解法吗？ (2) a3-ab2+4abc-4ac2=a(a2-b2+4bc-4c2) 先提公因式 =aa2-(b2-4bc+4c2) 分组 =aa2-(b-2c)2 运用完全平方公式 =aa+(b-2c)a-(b-2c) 运用平方差公式 =a(a+b-2c)(a-b+2c) 整理练习：把下列各式分解因式(1)a2b2+x2y2-a2x2-b2y2 (2)x3-x2y-xy2+y3 (3)x2y-y3-2xyz+yz2 (4)a3+a2-a-13作业：把下列各式分解因式(1)x3y3-x2y2-xy+1 (2)(2xy-a2)+(x2+y2) (3)(x2-y2+z2)2-4x2z2四、课外作业把下列各式分解因式3ax5ay6bx10by a2b24a4b m24mn4n24 4x22xyy2 ax2ay2a2xa2y a32a2bab2aa2b2a22abb2 x3x2yxy2y3 9.（axby）2（bxay）210（m24n2）（4n1） 11（a2m2n2）24m2n2分组分解法（第五教时）（一）复习1.什么是分组分解法？怎样才是正确的分组？2.把下列多项式分解因式(1)x2+2x+nx+2n (2)x2-y2+2yz-z2 (3)x2+px+qx+pq（二）新课讲解1.引入（1）把x2+(p+q)x+pq分解因式分析 此式不好直接用已学的知识来分解因式，可以把式子展开为x2+px+qx+pq。这时，可以用分组分解法。 x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p) =(x+p)(x+q)另外：我们知道(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq,于是有 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)（2）特点 式子x2+(p+q)x+pq的特点为： （1）二次项的系数是1。 （2）常数项是两个数之积。 （3）一次项系数是常数项的两个因数之和。说明：根据上面的结果，可以直接将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。2.应用举例例：把下列各式分解因式(1)x2+3x+2 (2)x2-7x+6 (3)x2+x-2 (4)x2-2x-15 分析:（1）x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=12，一次项系数3=1+2。这是一个x2+(p+q)x+pq型式子。 （2）x2-7x+6的二次项系数是1，常数项6=(-1)(-6)，一次项系数-7=(-1)+(-6)。这也是一个x2+(p+q)x+pq型式子。 （3）x2+x-2的二次项系数是1，常数项-2=(-1)2，一次项系数1=(-1)+2。这也是一个x2+(p+q)x+pq型式子。 （4）x2-2x-15的二次项系数是1，常数项-15=(-5)3，一次项系数-2=(-5)+3，这也是一个x2+(p+q)x+pq型式子。解：(1)因为2=12，并且3=1+2，所以x2+3x+2=(x+1)(x+2) (2) 因为6=(-1)(-6)，并且-7=(-1)+(-6)，所以 x2-7x+6=(x-1)(x-6) （3）因为-2=(-1)2，并且1=(-1)+2，所以 x2+x-2=(x-1)(x+2)（4）因为-15=(-5)3，并且-2=(-5)+3，所以 x2-2x-15=(x-5)(x+3)3.归纳与小结 (1)常数项是正数时，它分解成两个_号因数，它们和一次项系数符号_。 (2)常数项是负数时，它分解成两个_号因数，其中绝对值较_的因数的符号和一次项系数的符号相同。思考题 把x4-5x2+4因式分解四、