九年级数学上册 3.1平行四边形（1）课件 北师大版.ppt

九年级数学 上 第三章证明 三 1 平行四边形 1 证明 一 二 回顾与思考 驶向胜利的彼岸 直观是把 双刃剑 直观是重要的 但它有时也会骗人 你还能找到这样的例子吗 要判断一个数学结论是否正确 仅仅依靠经验 观察 或实验是不够的 必需一步一步 有根有据地进行推理 每个命题都由条件 condition 和结论 conclusion 两部分组成 条件是已知事项 结论是由已事项推断出的事项 一般地 命题可以写成 如果 那么 的形式 其中 如果 引出的部分是条件 那么 引出的部分是结论 正确的命题称为真命题 truestatement 不正确的的命题称为假命题 falsestatement 要说明一个命题是假命题 通常可以举出一个例子 使之具备命题的条件 而不具备命题的结论 这种例子称为反例 counterexample 原名 知多少 定义 对名称和术语的含义加以描述 作出明确的规定 也就是给出它们的定义 definition 命题 判断一件事情的句子 叫做命题 statement 原名 某些数学名词称为原名 公理 公认的真命题称为公理 axiom 证明 除了公理外 其它真命题的正确性都通过推理的方法证实 推理的过程称为证明 定理 经过证明的真命题称为定理 theorem 推论 由一个公理或定理直接推出的定理 叫做这个公理或定理的推论 corollary 推论可以当作定理使用 原名 知多少 公理 公认的真命题称为公理 axiom 证明 除了公理外 其它真命题的正确性都通过推理的方法证实 推理的过程称为证明 定理 经过证明的真命题称为定理 theorem 本套教材选用如下命题作为公理 1 两直线被第三条直线所截 如果同位角相等 那么这两条直线平行 2 两条平行线被第三条直线所截 同位角相等 3 两边夹角对应相等的两个三角形全等 4 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 5 三边对应相等的两个三角形全等 6 全等三角形的对应边相等 对应角相等 原名 知多少 平行线的判定 公理 同位角相等 两直线平行 1 2 a b 判定定理1 内错角相等 两直线平行 1 2 a b 判定定理2 同旁内角互补 两直线平行 1 2 1800 a b 这里的结论 以后可以直接运用 平行线的性质 公理 两直线平行 同位角相等 a b 1 2 性质定理1 两直线平行 内错角相等 a b 1 2 性质定理2 两直线平行 同旁内角互补 a b 1 2 1800 这里的结论 以后可以直接运用 三角形内角和定理 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1800 abc中 a b c 1800 a b c 1800的几种变形 a 1800 b c b 1800 a c c 1800 a b a b 1800 c b c 1800 a a c 1800 b 这里的结论 以后可以直接运用 三角形的外角 三角形内角和定理的推论 推论1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 推论2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 推论3 直角三角形的两锐角互余 abc中 1 2 3 1 2 1 3 这个结论以后可以直接运用 驶向胜利的彼岸 学好几何标志是会 证明 证明命题的一般步骤 1 理解题意 分清命题的条件 已知 结论 求证 2 根据题意 画出图形 3 结合图形 用符号语言写出 已知 和 求证 4 分析题意 探索证明思路 由 因 导 果 执 果 索 因 5 依据思路 运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程 6 检查表达过程是否正确 完善 等腰三角形性质 定理 等腰三角形的两个底角相等 等边对等角 如图 在 abc中 ab ac 已知 b c 等角对等边 等腰三角形性质 推论 等腰三角形顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 三线合一 如图 在 abc中 ab ac 1 2 已知 bd cd ad bc 三线合一 如图 在 abc中 ab ac bd cd 已知 1 2 ad bc 三线合一 如图 在 abc中 ab ac ad bc 已知 bd cd 1 2 三线合一 轮换条件 1 2 bd cd ad bc可得三线合一的三种不同形式的运用 等腰三角形性质 等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600 如图 在 abc中 ab ac bc 已知 a b c 600 等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600 等腰三角形性质 等腰三角形两底角的平分线相等 等腰三角形两腰上的中线相等 等腰三角形两腰上的高相等 如图 在 abc中 ab ac bc 已知 a b c 600 等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600 等腰三角形的判定 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形 等角对等边 在 abc中 b c 已知 ab ac 等角对等边 反证法 在证明时 先假设命题的结论不成立 然后推导出与定义 公理 已证定理或已知条件相矛盾的结果 从而证明命题的结论一定成立 这种证明方法称为反证法 reductiontoabsurdity 用反证法证明的一般步骤 1 假设 先假设命题的结论不成立 2 归谬 从这个假设出发 应用正确的推论方法 得出与定义 公理 已证定理或已知条件相矛盾的结果 3 结论 由矛盾的结果判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 反证法是一种重要的数学证明方法 在解决某些问题时常常会有出人意料的作用 等边三角形的判定 定理 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形 在 abc中 ab ac b 600 已知 abc是等边三角形 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形 等边三角形的判定 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形 在 abc中 a b c 已知 abc是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 特殊的直角三角形的性质 定理 在直角三角形中 如果有一个锐角等于300 那么它所对的直角边等于斜边的一半 在 abc中 acb 900 a 300 bc ab 在直角三角形中 300角所对的直角边等于斜边的一半 特殊的直角三角形的性质 定理 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么它所对的锐角等于300 在 abc中 acb 900 bc ab 2 已知 a 300 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么它所对的锐角等于300 勾股定理 定理如果直角三角形两直角边分别为a b 斜边为c 那么a2 b2 c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理 pythagorastheorem 在 abc中 acb 900 已知 a2 b2 c2 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理的逆定理 定理如果三角形两边的平方和等于第三边平方 那么这个三角形是直角三角形 在 abc中 ac2 bc2 ab2 已知 abc是直角三角形 如果三角形两边的平方和等于第三边平方 那么这个三角形是直角三角形 命题与逆命题定理与逆定理 在两个命题中 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 那么这两个命题称为互逆命题 其中一个命题称为另一个命题的逆命题 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题 那么它是一个定理 这两个定理称为互逆定理 其中一个定理称另一个定理的逆定理 直角三角形全等的判定定理 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 斜边 直角边或hl 如图 在 abc和 a b c 中 c c 900 ac a c ab a b 已知 rt abc rt a b c hl 直角三角形全等的判定方法 直角三角形全等的判定方法 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 斜边 直角边或hl 公理 三边对应相等的两个三角形全等 sss 公理 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 sas 公理 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 asa 推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 aas 综上所述 直角三角形全等的判定条件可归纳为 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 两边对应相等的两个直角三角形全等 切记 命题 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等 即 ssa 是一个假冒产品 线段垂直平分线的性质 定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等 如图 ac bc mn ab p是mn上任意一点 已知 pa pb 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等 线段垂直平分线的性质 逆定理到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 如图 pa pb 已知 点p在ab的垂直平分线上 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 三角形的外心 定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点 并且这一点到三个顶点的距离相等 如图 在 abc中 c a b分别是ab bc ac的垂直平分线 已知 c a b相交于一点p 且pa pb pc 三角形三条边的垂直平分线相交于一点 并且这一点到三个顶点的距离相等 角平分线的性质 定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等 如图 oc是 aob的平分线 p是oc上任意一点 pd oa pe ob 垂足分别是d e 已知 pd pe 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 角平分线的性质 逆定理在一个角的内部 且到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上 如图 pa pb pd oa pe ob 垂足分别是d e 已知 点p在 aob的平分线上 在一个角的内部 且到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上 三角形的内心 定理 三角形的三条角平分线相交于一点 并且这一点到三边的距离相等 如图 在 abc中 bm cn ah分别是 abc的三条角平分线 且pd ab pe bc pf ac 已知 bm cn ah相交于一点p 且pd pe pf 三角形的三条角平分线相交于一点 并且这一点到三边的距离相等 尺规作图 尺规作图的基本作