八年级 十八章勾股定理教案

八年级 十八章勾股定理教案 十八章勾股定理教学目标一:能说出勾股定理，并能应用其进行简单的计算和实际运用。 二:掌握直角三角形的判别条件熟记一些勾股数掌握勾股定理的逆定理的探究方法三:用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想四:通过对Rt判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神五:了解证明勾股定理逆定理的方法理解逆定理，互递定理的概念六:能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题教学重点一:探索勾股定理。 二:运用勾股定理的逆定理解决实际问题三:勾股定理逆定理的证明，及互逆定理的概念教学难点一:将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题二:利用数形结合的方法验证勾股定理。 三:经历将实际问题转化为敷学模型的过程，体会用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法，四:能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题知识回顾1:直角三角形的两锐角互余2:直角三角形中300的锐角所对的直角边等于斜边的一半.3:斜边直角边对应相等的两直角三角形全等.4:三角形的面积:底高/2正方形的面积:边长的平方梯形的面积(上底+下底)高/2教学过程一基础知识点1勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 （即a2+b2c2）要点诠释勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用 （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC?中，90C?，则22c a b?，22b c a?，22a cb?） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c，则有关系a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意 （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2a2+b2，则ABC是以C为直角的直角三角形（若c2a2+b2，则ABC是以C为钝角的钝角三角形；若c2 （定理中a，b，c及222a b c?只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222a cb?，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）3勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4:勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形5:勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC?中，90C?，则22ca b?，22bca?，22a cb?勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解6勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论7.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决8勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a bc?中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等用含字母的代数式表示n组勾股数221,2,1n n n?（2,n?n为正整数）；2221,22,221n n nnn?（n为正整数）2222,2,m nmn m n?（,mn?m，n为正整数）9互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导1勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4.勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系a2+b2c2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 （例勾股定理与勾股定理逆定理） 二、经典例题精讲题型一直接考查勾股定理例.在ABC?中，90C?已知6AC?，8BC?求AB的长已知17AB?，15AC?，求BC的长分析直接应用勾股定理222abc?解2210AB AC BC?228BC ABAC?例2（xx年贵州遵义）如图1，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC，则ABC中BC边上的高是错误！未找到引用源。 _.解析由题意知，B，C分别为EF，FD的中点，所以SABC=S正方形AEFDSAEBSBFCSCDA=22-2121?-1121?-2121?=23.又BC=21122?，所以ABC中BC边上的高是23故填23或错误！未找图1到引用源。 题型二利用勾股定理测量长度例题3如图 （8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.解析同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2.由题意可知ACD中,ACD=90,在RtACD中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下（仅供参考）解如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2设水深AC=x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=（x+0.5）2解之得x=2.故水深为2米.题型三勾股定理和逆定理并用例题4如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且AB FB41?那么DEF是直角三角形吗？为什么？解析这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。 仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由AB FB41?可以设AB=4a，那么BE=CE=2a,AF=3a,BF=a,那么在RtAFD、RtBEF和RtCDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断DEF是否是直角三角形。 详细解题步骤如下解设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2a,AF=3a,BF=a在RtCDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2a)2=20a2同理EF2=5a2,DF2=25a2在DEF中，EF2+DE2=5a2+20a2=25a2=DF2DEF是直角三角形，且DEF=90.注本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。 例5（xx年四川眉山）如图2，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则ABC的度数为()A90B60C45D30解析连接AC，因为每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，所以分别由勾股定理求得AC25，BC25，所以ACBC.又AB210，所以AC2+BC2AB2，所以ABC是等腰直角三角形，所以ABC45，故选C.题型四利用勾股定理求线段长度例题6如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析解题之前先弄清楚折叠中的不变量。 合理设元是关键。 详细解题过程如下解根据题意得RtADERtAEFAFE=90,AF=10cm,EF=DE设CE=xcm，则DE=EF=CDCE=8x在RtABF中由勾股定理得AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，BF=6cmCF=BCBF=106=4(cm)在RtECF中由勾股定理可得EF2=CE2+CF2，即(8x)2=x2+426416x+x2=2+16x=3(cm),即CE=3cm注本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。 题型五利用勾股定理逆定理判断垂直例题7如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？解析由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。 我们通常截取部分长度来验证。 如图4，矩形ABCD表示桌面形状，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度？)，连结MN，测量MN的长度。 如果MN=15,则AM2+AN2=MN2,所以AD边与AB边垂直；如果MN=a15,则92+122=81+144=225,a2225,即92+122a2，所以A不是直角。 利用勾股定理解决实际问题例题8有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应该是头先距离灯5米。 转化为数学模型，如图6所示，A点表示控制灯，BM表示人的高度，BCMN,BCAN当头（B点）距离A有5米时，求BC的长度。 已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。 题型六旋转问题例 1、如图，ABC是直角三角形，BC是斜边，将ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP重合，若AP=3，求PP的长。 变式1如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求ABC的边长.分析利用旋转变换，将BPA绕点B逆时针选择60，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.变式 2、如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，E、F是BC上的点，且EAF=45，试探究222BE CFEF、间的关系，并说明理由.题型七关于翻折问题例 1、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.变式如图，AD是ABC的中线，ADC=45，把ADC沿直线AD翻折，点C落在点C的位置，BC=4,求BC的长.题型八关于勾股定理在实际中的应用例 1、如图，公路MN和公路在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？例2（xx年浙江丽水）如图3，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A600m B500m C400m D300m解析因为BCAD，所以DAE=ACB.因为BCAB，DEAC，所以ABC=DEA=90.又AB=DE=400，所以ABCDEA.所以EA=BC=300.在RtABC中，AC=50022?BC AB，所以CE=ACAE=200.从B到E有两种走法BA+AE=700；BC+CE=500.所以最近的路程是500m故选B题型九关于最短性问题例 5、如右图119，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？图3例4(xx年湖北荆州，改编)如图4，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为cm；如果从P点开始经过4个侧面绕n圈到达Q点，那么所爬行的最短路径长为cm.图4图5分析这是求立体图形上两点间的最短路线问题，需要将立体图形展开，转化为平面图形，然后利用两点之间线段最短求解解如图5是长方体的侧面展开图，其中OP=42+22=12，OQ=5在RtO中，由勾股定理，得=22OP OQ?=22125?=13(cm)；如果从P点开始经过4个侧面绕n圈到达Q点，则OP=（42+22）n=12n.在RtO中，由勾股定理，得=22OP OQ?=251445)12(222?nn（cm）.故填13，251442?n.误区点拨 一、错在添加条件例1在ABC中，三边的长分别为a，b，c，且a=3，b=4，c为质数，求c.错解:由勾股定理，得.5432222?b ac剖析:因ABC是一般三角形，故不能用勾股定理来解，只能根据三角形的三边关系定理来解.只有在直角三角形中，勾股定理才是成立的.造成错解的原因是受“勾3股4弦5”思维定势的影响.正解由三角形的三边关系定理，得b-acb+a，即4-3c4+3，则1c7.因为c为质数，所以c=2，或c=3，或c=5. 二、未弄清最大边，出现错判例2ABC中，已知a=n2-1,b=n2+1,c=2n(n1)，试判断ABC是否为直角三角形.错解:因为a2+b2=（n2-1）2+（n2+1）2=n4-2n2+1+n4+2n2+1=2n4+2,而c2=(2n)2=4n2,所以a2+b2c2.故这个三角形不是直角三角形.剖析错因在于没有弄清楚哪条边是最大边,只是简单地考查了其中两边的平方和是否等于第三边的平方就得出结论.在运用勾股定理的逆定理判断能否组成直角三角形时,应先确定最大边,再考查最大边的平方是否等于其他两边的平方和.正解:因为n1，所以ba，bc.又a2+c2=（n2-1）2+(2n)2=n4+2n2+1，b2=（n2+1）2=n4+2n2+1，所以a2+c2=b2.故ABC是直角三角形,且B=90. 三、忽视分类讨论，出现漏解例3等腰三角形中，一边长是6，另一边长是8，求一腰上的高错解如图1，作BDAC于点D，则在RtABD和RtCBD中，分别由勾股定理，得BD2AB2AD2BC2CD2，即AB2AD2BC2(ACAD)2，所以82AD262(8AD)2，则AD234，所以BD22AB AD?222384?16495剖析对于已知等腰三角形的两边应分类讨论，漏解的原因是只对图1中的一种情况计算，而忽视了如图2的情形正解分两种情况讨论若以6cm为底，8cm为腰，则如图1，得BD16495；若以8cm为底，6cm为腰，则如图2，在RtABD和RtCBD中，分别由勾股定理，得BD2AB2AD2BC2CD2，即AB2AD2BC2(ACAD)2，所以62AD282(6AD)2，则AD23，所以BD22AB AD?22263?9320所以一腰上的高为16495或9320.8图1A DCB6图2B DC68A勾股定理练习一填空题1.在RtABC中，C=90 （1）若a=5，b=12，则c=_； （2）b=8，c=17，则SABC=_。 2.若一个三角形的三边之比为51213，则这个三角形是_（按角分类）。 3.直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为_。 4传说,古埃及人曾用拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_厘米,_厘米,_厘米,其中的道理是_.5.命题“对顶角相等”的逆命题为_,它是_命题.(填“真”或“假”)6观察下列各式32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；?；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子_。 7利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图(最早由三国时期的数学家赵爽给出的)从图中可以看到大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积因而c2,化简后即为c28一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_。 二选择题9观察下列几组数据: (1)8,15,17; (2)7,12,15; (3)12,15,20; (4)7,24,25.其中能作为直角三角形的三边长的有()组A.1B.2C.3D.410三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（）A.6B.C.64D.811.已知直角三角形的两条边长分别是5和12，则第三边为（）119或119不能确定12.下列命题如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；如果直角三角形的两边是 5、12，那么斜边必是13；如果一个三角形的三边是 12、 25、21，那么此三角形必是直角三角形；一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（ab=c），那么a2abc AB第8题图A106b2c2=211。 其中正确的是（）A、B、C、D、13.三角形的三边长为（a+b