第19章第08课时矩形的判定.doc

第8课时 矩形的性质（3）【目标导航】1会证明矩形的两个判定定理2会根据矩形的定义和判定定理判定一个四边形是矩形，并能进行有关的论证或计算3经历探究矩形判定条件的过程，通过观察总结猜想证明，发展学生的合情推理能力，培养主动探究的习惯4让学生在探究过程中加深对矩形的理解，激发他们的求知欲望；【要点梳理】1有一个角是 的平行四边形叫矩形2（1） 相等的平行四边形是矩形（2）有三个角是 的四边形是矩形【问题探究】例1：已知如图1,在ABCD中，对角线AC，BD相交于点，且OBC=OCB求证：四边形ABCD是矩形 图1 变式：已知：如图2，ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H求证：四边形EFGH是矩形 图2例2：农村家庭建房打地基时，不像城市盖大楼有专门的仪器放样，他们往往采用土办法，先用绳子拉成四边形，分别量出房基的长a和宽b（如图3），但还要一道重要的工序，才能保证房基是矩形，你能根据所学知识说出这道工序吗？请说明理由. 图3变式：工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图4），使AB=CD，EF=GH； 摆放成如图4的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ； 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图4），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： 图4【课堂操练】1要使成为矩形，需添加的条件是（ ）AB C D2下列给出的条件中，不能判断一个四边形是矩形的是（ ） A一组对边平行且相等，有一个内角是直角B有3个角是直角C两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形D一组对边平行，另一组对边相等，且两条对角线相等3在给定的条件中，能画出矩形的是 （ ）A以6 cm为一条对角线，3 cm、10 cm为两条邻边B以10 cm、10 cm为对角线，12 cm为一边C以14 cm为对角线，7 cm、8 cm为两条邻边D以50cm为一条对角线，30 cm、40 cm为两条邻边4已知四边形ABCD中，A=B=C=90，则该四边形的形状是_5工人师傅在做门框或矩形零件时，常用测量平行四边形两条对角线是否相等来检测直角的精度，请问工人师傅根据的几何道理是 6已知如图5,平行四边形ABCD中，M为AD的中点，且BMCM试说明：四边形ABCD是矩形7 如图6，在四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF（1）若四边形AECF是平行四边形，求证四边形ABCD也是平行四边形；（2）若四边形AECF是矩形，试判断四边形ABCD是否也是矩形. 不必写理由. 图6【每课一测】一、选择题（每题65分，共30分）1下列说法错误的是（ ） A有一个内角是直角的平行四边形是矩形B矩形的四个角都是直角，并且对角线相等 C对角线相等的平行四边形是矩形 D有两个角是直角的四边形是矩形2如图7，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）AAB=CDBAD=BC CAB=BCDAC=BD3平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（ ） A梯形 B矩形 C正方形 D不是平行四边形4在四边形ABCD中，AC和BD的交点为O，则不能判断四边形ABCD是矩形的是（ ）AABCD，ADBC，ACBDBAOCO，BODO，A90CAC，BC180，AOBBOCDABCD，ABCD，A905如图8，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是（ ） A一组对边平行而另一组对边不平行B对角线相等C对角线互相垂直; D对角线互相平分图7OADCB 图8 图9二、填空题（每空6分，共24分）6延长等腰ABC的腰BA到D，CA到E，分别使AD=AB，AE=AC，则四边形BCDE是_，其判定根据是_ 7 如图，在四边形ABCD中，ABDC， C=90，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是 （写出一种情况即可）8 如图9，在矩形ABCD中，过对角线BD上任一点K作MNAD分别交AB，DC于M，N，作PQAB，分别交AD，BC于P，Q，则图中面积相等的矩形共有_对 三、解答题（9-11每题12分，12题10共46分）9如图10，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AEBFCGDH求证： 四边形EFGH是矩形10如图11，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF（1） 求证：BD=CD；（2） 如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论 图1111如图12，在ABC中，C=,AC=BC,自AB上任一点P,作PEBC于E, PFAC于F,M为AB的中点.求证：MEF是等腰三角形 图1212如图13，ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于E，交BCA的外角平分线于点F（1）求证：EOFO（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论 图13【参考答案】【要点梳理】1直角2（1）对角线；（2）直角【问题探究】例1：证明：四边形ABCD是平行四边形，AOCO，BODO又OBC=OC，OBOC，AOBOCODO，AO+COBO+DO，即ACBD，平行四边形ABCD是矩形变式：证明：四边形ABCD是平行四边形，BAD+ABC=90，BAD+ADC=90又AE平分BAD，BF平分ABC，BAF+ABF=90，AFB=90同理可得AED=90，BGC=90，四边形EFGH是矩形例2：分析：判断一个四边形是否是矩形时，在无法根据矩形定义判定时，可先根据它是否是平行四边形，然后再根据判定方法判定是否是矩形.解：由两组对边分别相等，可知图1是平行四边形，然后重要的一道工序应该是使对角线相等或使任意一个角是直角.因为对角线相等的平行四边形是矩形或一个角为直角的平行四边形是矩形.变式：分析:本题是以实际问题为背景，设计的一道考查特殊四边形性质的问题.将特殊四边形的有关性质与具体的实际问题相结合，使得考题具有创新性.解:根据已知条件AB=CD，EF=GH，当摆成图4时，所得到的图形是平行四边形.根据是两组对边相等的四边形是平行四边形.如图4 ，这时说明平行四边形有一个角是直角，其它的三个角也可知是直角，这时四边形是矩形，根据：有一个角是直角的平行四边形是矩形.【课堂操练】1答案：C2 答案：C解析：四条边都相等的菱形也被对角线分成两对全等的等腰三角形3答案：D二、填空题4.矩形5.对角线相等的平行四边形是矩形三、解答题7四边形ABCD是平行四边形， ABCD，AD180， M为AD的中点，且BMCM ABMDCM， AD，AD90 四边形ABCD是矩形8解： 连接AC交BD于点O. (1)因为四边形AECF是平行四边形，所以OE = OF，OA = OC，因为BE = DF，所以OB = OD，所以四边形ABCD是平行四边形；(2)不是矩形，还是平行四边形. 【每课一测】1D2D3B4C5C6. 矩形 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 7 答案不唯一，如：AB = CD 8 答案：3解析：AMKP与KQCN，ABQP与MBCN，AMND与PQCD的面积相等9证明 四边形ABCD是矩形， ACBD（矩形的对角相等），AOBOCODO（矩形的对角线互相平分）. AEBFCGDH， OEOFOGOH， 四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） EOOGFOOH，即EGFH， 四边形EFGH是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）10（1），是的中点， ，AEFDEC，BDCD （2）四边形是矩形 ABAC，D是的中点，ADBC，ADB90，四边形是平行四边形又 四边形是矩形11分析：本题考查矩形的有关知识，以及直角三角形的中线定理，等腰三角形的知识.思路比较明显，就是利用中点M,连结MC,证明CMFBME(或AFMCEM),由中线定理易证一边相等，只要再能找出其他条件，就可以得到结论，证题时，注意结合图形，灵活运用知识，连结CM, ACB=,M是AB的中点,CM=MB=MA, B=MCB, A=MCA.又AC=CB, A=B=MCA=B.PFAC, P EBC, PFC=PEC=ACB.四边形PECF为矩形.FEMCBA图5PE=FC 且PEAC, BPE=A=B.P